【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题02 三角恒等变换（考点梳理）.zip

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【考点题型一】两角和与差公式的正用
1、两角和的余弦公式：
2、两角差的余弦公式：
3、两角和的正弦公式：
4、两角差的正弦公式：
5、两角和的正切公式：.
6、两角差的正切公式：.
【例1】（2024·安徽黄山·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高二上·江西·期末）若，，则 （ ）
A． B． C．4 D．1
【变式1-2】（2023·全国·高三模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型二】两角和与差公式的逆用
方法点拨：在两角和与差的公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体。除此之外，常常结合诱导公式进行化简。
【例2】（22-23高一下·江苏苏州·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高一上·安徽·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高三上·山东威海·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
【考点题型三】二倍角公式的正用
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
【例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（22-23高三上·全国·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，则 ．
【考点题型四】二倍角公式的逆用
1、、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
【例4】（23-24高一下·河南新乡·开学考试）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高一下·山西朔州·阶段练习） ．
【变式4-2】（23-24高一上·山西·期末）（多选）下列各式中值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）（多选）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型五】积化和差与和差化积
1、积化和差公式


2、和差化积公式

、
3、应用和差化积公式时的注意事项
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
= 1 \* GB3 ①运用公式之后，能否出现特殊角；
= 2 \* GB3 ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，
如
【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）把下列各式化成积的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式5-1】（22-23高一·全国·随堂练习）把下列各式化成积的形式：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（22-23高一下·江苏淮安·期末）若，，则（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点题型六】半角公式及万能公式
1、半角公式：
＝±， ＝±，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
2、万能公式
； ；
3、利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围；
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。
（4）下结论，结合（2）求值。
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式6-1】（22-23高一·全国·课时练习）设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型七】三角恒等变换给角求值
方法点拨：给角求值问题，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式。
【例7】（23-24高一上·重庆·期末）（ ）
A． B． C． D．2
【变式7-1】（22-23高一下·湖北武汉·月考）计算：（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（22-23高一下·江苏·月考）求 .
【变式7-3】（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.
（1）;
（2）.
【考点题型八】三角恒等变换给值求值
方法点拨：“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
（2）常见的配角技巧：，，
，等．
【例8】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，，，，则 ．
【变式8-1】（23-24高一下·广东惠州·开学考试）已知为锐角，若，则 .
【变式8-2】（23-24高一上·河南新乡·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型九】三角恒等变换给值求角
方法点拨：三角函数给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；
若角的范围是，选正弦较好.
【例9】（2024高一上·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 .
【变式9-1】（22-23高三·全国·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，，且，，求的值.
【考点题型十】三角函数式的化简与证明
方法点拨：三角函数化简要遵循“三看”原则
【例10】（22-23高一下·湖北荆州·阶段练习）求证：
．
【变式10-1】（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：
（1）；
（2）
【变式10-2】（22-23高一·全国·课堂例题）化简：
（1）；
（2），其中．
【变式10-3】（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式.
（1）;
（2）.
【考点题型十一】辅助角公式综合应用
方法点拨：1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
2、辅助角公式应用的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)；
（4）利用研究三角函数的性质；
（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
【例11】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，若函数的最大值为2，则 .
【变式11-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值.若，则 ， .
【考点题型十二】三角形中的三角恒等变换应用
【例12】（23-24高二上·河南南阳·月考）在中，内角满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
【变式12-1】（23-24高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式12-2】（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-3】（22-23高三上·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形．
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，，求的最小值．
【考点题型十三】三角恒等变换与三角函数综合
【例13】（23-24高一上·河南洛阳·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的对称中心为
C．的对称轴为直线
D．的单调递增区间为
【变式13-1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像的一个对称中心是
C．在区间上单调递减
D．若的最大值为，则的最小值为
【变式13-2】（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）求图象的对称中心的坐标；
（3）若求的值．
【变式13-3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数图像的两个相邻的对称中心的距离为.
（1）求的单调递增区间；
（2）求方程在区间上的所有实数根之和.
【考点题型十四】三角恒等变换与平面向量综合
【例14】（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知向量，,．
（1）若，求的值；
（2）若向量，求x的值．
【变式14-1】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知向量，，记函数.
（1）求使成立的x的取值集合；
（2）已知，均为锐角，，，求的值.
【变式14-2】（22-23高一下·广东珠海·期中）已知向量，.设函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求函数的最小值及取到最小值时的值.
【变式14-3】（22-23高一下·四川遂宁·阶段练习）已知向量，，函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【考点题型十五】三角恒等变换在实际中的应用
【例15】（22-23高一下·江苏南京·月考）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（ ）．
A． B． C． D．
【变式15-1】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【变式15-2】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为 .
【变式15-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=.
（1）设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域；
（2）在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.