【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 专题02 相交线与平行线（易错专练）.zip

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相交线
垂线
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定
对顶角、邻补角
点到直线的距离
平行线
平行线的性质
一．相交线（共1小题）
1．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个B．135个C．190个D．200个
【答案】C
【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190．
故选：C．
二．对顶角、邻补角（共1小题）
2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．
（1）写出图中与∠COE互补的所有的角（不用说明理由）．
（2）问：∠COE与∠AOF相等吗？请说明理由；
（3）如果∠AOC＝∠EOF，求∠AOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠COE+∠DOE＝180°，
又∵∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴与∠COE互补的所有的角为∠DOE，∠BOF；
（2）∠COE与∠AOF相等，
理由：∵∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∴∠AOE﹣∠AOC＝∠COF﹣∠AOC，
∴∠COE＝∠AOF；
（3）设∠AOC＝x，则∠EOF＝5x，
∵∠COE＝∠AOF，
∴∠COE＝∠AOF＝（5x﹣x）＝2x，
∵∠AOE＝90°，
∴x+2x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠AOC＝30°．
三．垂线（共1小题）
3．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．90°
【答案】C
【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB＝60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．
故选：C．
四．点到直线的距离（共1小题）
4．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A．10cmB．4cmC．10cm或4cmD．至少4cm
【答案】D
【解答】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3＝4cm，其它情况下大于4cm，
当A、B在直线l的两侧时，AB＞4cm，
故选：D．
五．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③B．①②③C．①②④D．①④
【答案】C
【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
六．平行线（共1小题）
6．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交D．以上都不对
【答案】D
【解答】解：当b∥d时a∥c；
当b和d相交但不垂直时，a与c相交；
当b和d垂直时，a与c垂直；
a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直，
故选：D．
七．平行线的判定（共6小题）
7．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
【答案】C
【解答】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1＝∠2，
∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确．
故选：C．
8．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
9．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30°或150° 时，CD∥AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2（角平分线定义），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
11．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又∵∠1＝∠B（ 已知 ）
∴ CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ 180° （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
【答案】垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
12．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，求证：BE∥CF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC﹣∠1＝∠DCB﹣∠2，
∴∠CBE＝∠BCF，
∴BE∥CF．
八．平行线的性质（共21小题）
13．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
A．42°、138°B．都是10°
C．42°、138°或10°、10°D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：如图1，∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2．
如图2，∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°
∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，
（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，
解得x＝10°，
4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；
（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，
解得x＝42°，
4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°．
故选：C．
14．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
15．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°
【答案】D
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5＝180°，
又∵∠5＝∠4，
∴∠3+∠4＝180°，
故选：D．
16．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180°B．α﹣β+γ＝180°
C．α+β﹣γ＝180°D．α+β+γ＝360°
【答案】C
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
17．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112°B．110°C．108°D．106°
【答案】D
【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°，
∴∠DGE＝148°，
由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°，
故选：D．
18．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（ ）个．
A．2B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，与∠1相等的角有：
∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．
故选：C．
19．如图，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，∠EPF＝90°，∠BEP＝∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝2∠2C．∠1＝3∠2D．∠1＝4∠2
【答案】B
【解答】解：如图，过P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠2＝∠FPH，∠BEP＝∠EPH，
∴∠BEP+∠2＝∠EPF＝90°，
∴∠BEP＝90°﹣∠2．
又∵∠BEP＝∠GEP，
∴∠1＝180°﹣2∠BEP＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，
即∠1＝2∠2．
故选：B．
20．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．向右拐85°，再向右拐95°
B．向右拐85°，再向左拐85°
C．向右拐85°，再向右拐85°
D．向右拐85°，再向左拐95°
【答案】A
【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：A．
21．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（ ）
A．170°B．160°C．150°D．140°
【答案】B
【解答】解：如图，过点B作BD∥AE，
由已知可得：AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°．
故选：B．
22．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF＝105°，∠BCE＝55°，则∠ABC的度数为（ ）
A．110°B．115°C．130°D．135°
【答案】C
【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠ECD+∠CEF＝180°，
∵∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°，
故选：C．
23．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105°B．120°C．130°D．145°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
24．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为 55° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
∴∠E＝（∠BAD+∠BCD）＝（70°+40°）＝55°．
故答案为：55°．
25．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 40°或140° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
26．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝35°，那么∠BED的度数为 70° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5＝∠ABE，∠3＝∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6＝∠CDE，∠4＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BFD＝35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠BED＝∠5+∠6＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
27．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 74° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2＝∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，
∴∠2＝90°﹣37°＝53°；
∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．
故答案为：74°．
28．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠CEF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∴∠2＝∠1．
29．问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
30．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN，
∴∠C＝∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABG，
∴∠C＝90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG＝90°＝∠D，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABG，
∴∠ABD＝∠C；
（2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x，
设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y，
∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC，
∴∠AFB+2x＝2x+y，
∴∠AFB＝y＝∠ABF；
②∵∠CBA＝90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°，
∴，
∴，
∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°．
31．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案为：．
32．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
33．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．
（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．
（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC＝180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°，
∵∠CDB＝∠DBC，∠EDF＝∠FDC，
∴2∠FDC+2∠CDB＝180°，
∴∠FDC+∠CDB＝90°，
∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB＝90°．
（2）如图2，
∵∠BGC＝50°，FD⊥BD，
∴∠DHG＝40°，
∴∠FDC+∠HCD＝40°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，
∴∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．
（3）不变，如图3，
∵∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN，
∴＝＝2．