【期中讲练测】北师大版七年级下册数学 专题04 三角形（压轴专练）.zip

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一．选择题（共10小题）
1．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【答案】B
【解答】解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠ABD＝∠E，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，
∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，
∴BD＝5，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：
①∠DEC＝∠BDA；
②若AB＝DC，则AD＝DE；
③当DE⊥AC时，则D为BC中点；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；
正确的有_____个．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正确；
②∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
由①知：∠DEC＝∠BDA，
∵AB＝DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE，故②正确；
③∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴D为BC中点，故③正确；
④∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE或AD＝DE，
当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝30°，
故④不正确．
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
【答案】D
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
4．如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，则AC的长为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】A
【解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（SAS），
∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，
又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，
∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，
∴AE＝AF，BN＝BE，
∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，
∵AB＝8，CF＝10，
∴AC＝2FC﹣AB＝20﹣8＝12．
故选：A．
5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
6．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
∵BD＝2AB，
∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵AC＝AF，
∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，
∵EC＝3BC，
∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，
∵AC＝AF，
∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，
∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，
∴m＝2，
∴△ABC的面积为2，
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：
①∠AMB＝∠CMD；
②HN＝HD；
③BN＝AD；
④∠BNH＝∠MDC；
错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
【答案】A
【解答】解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，
∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，
∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．
故选：A．
8．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点，则以下结论中：（1）∠BPC＝120°，（2）BD+CE＝BC，（3）S△PBD+S△PCE＝S△PBC，（4）连接AP，AP平分∠BAC，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，故（1）正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，故（4）正确；
∵∠BAC＝60°，
∵∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，
，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，
∵PF＝PG＝PH，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，故（2）正确；
∴S△PBD+S△PCE＝S△PBC，故（3）正确；
∴正确的个数有4个，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝3AC，△BDE的面积为9，则△ABC的面积是（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【解答】解：过点D作DG⊥AB于G，DF⊥AC，交AC延长线于F，
∵AD是∠BAC的平分线，DG⊥AB，DF⊥AC，
∴DG＝DF，
∵AB＝3AC，
∴S△ABD＝3S△ACD，
∵AD＝DE，
∴S△ABD＝S△BDE＝9，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝3+9＝12，
故选：C．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：如图，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，
同理可证FG2+LK2＝HL2＝1，
∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 64 ．
【答案】64．
【解答】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF＝S△BDE，
∵，
∵BF＝×20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96，
∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．
故答案为：64．
12．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H．
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAH，
∵∠C＝∠AHD，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADH（AAS），
∴AC＝AH＝6，
∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°，
∴∠EDM＝∠CAB，
∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠E，
∴DA＝DE，
∵DH⊥AE，
∴AH＝HE＝6，
∵BE＝2，
∴BH＝4，
∴AB＝10，
故答案为：10．
13．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．
【答案】．
【解答】解：过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P，
∴∠P＝∠AHB＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAP＝∠CBA，
在△AEP和△BAH中，
，
∴△AEP≌△BAH（AAS），
∴PE＝AH，
在Rt△DEP和Rt△CAH中，
，
∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL），
∴CH＝DP，S△ACH＝S△DPE，
∵S△ABC＝S△ABH+S△AHC＝2S△ABH+S△ADE＝5S△ADE，
∴S△ABH：S△ADE＝2：1，
∴BH：AD＝2：1，
∵BH＝1，
∴AD＝，
∴DP＝CH＝1+＝，
∴BC＝BH+CH＝1+＝，
故答案为：．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
【答案】②③④．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△BFD中，
∵BF＝10，DF＝6，
∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），
∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
∵，
BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，
∴BE＝＝＝．
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t s，那么当t＝ 2或 s时，△APE的面积等于8．
【答案】2或．
【解答】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝4t＝8，
解得：t＝2；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，
∴S△APE＝PE•AC＝×（10﹣2t）×6＝8，
解得：t＝．
故答案为：2或．
17．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 70° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，
∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，
则有，
解得，
∴∠C＝70°，
故答案为70°．
18．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 或3或或 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为t s，
①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝8﹣3t，
t＝，
此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）；
综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；
故答案为：或3或或．
19．如图所示，△ABC中，∠A＝m，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1点，则∠A1的大小是 ，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A2015BC与∠A2015CD的角平分线相交于A2016点，则∠A2016的大小是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A＝，
同法可得：∠A2＝∠A1＝∠A，
…
以此类推∠A2016＝∠A＝．
故答案为，．
20．已知：等腰△ABC，BA＝BC，点D在AB上，点E在BC的延长线上，AD＝CE，连接DE交AC于点F，作DH⊥AC于点H，∠HDF﹣∠E＝30°，CE＝6，CF＝2，则HF的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA，
∵DG∥BC，
∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，
∴∠A＝∠DGA，
∴DA＝DG，
∵AD＝CE，
∴DG＝CE＝6，
在△△DFG和△EFC中，
，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GF＝CF＝2，∠GDF＝∠E，
∵∠HDF﹣∠E＝30°，
∴∠HDG＝∠HDF﹣∠GDF＝30°，
∵DH⊥AC，
∴GH＝DG＝3，
∴HF＝GH+GF＝3+2＝5．
故答案为：5．
三．解答题（共18小题）
21．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
22．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）当BC＝AB+AD时，求∠BAC的度数；
（2）当∠BAC＝108°时，求证：BC＝AB+CD．
【答案】（1）当BC＝AB+AD时，∠BAC的度数为90°；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∴∠DEB＝90°，
当∠A＝90°时，
∴DA⊥AB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴AD＝ED，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∴BC＝BE+CE＝AB+CE，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴CE＝DE，
∴BC＝AB+DE＝AB+AD．
∴当BC＝AB+AD时，∠BAC的度数为90°；
（2）证明：在BC上截取BF＝AB，连接DF，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴∠BAD＝∠BFD＝108°，
∴∠CDF＝180°﹣108°＝72°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠CFD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CD．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝ 20 °，∠AED＝ 62 °；
（2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）20；62；
（2）见解答；
（3）当∠BDA的度数为84°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝42°，
∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°，
故答案为：20；62；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝3，DC＝3，
∴AB＝DC，
∵∠C＝42°，
∴∠DEC+∠EDC＝138°，
∵∠ADE＝42°，
∴∠ADB+∠EDC＝138°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C，
此时，点D与点B重合，不合题意；
②当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝42°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°；
综上所述，当∠BDA的度数为84°时，△ADE的形状是等腰三角形．
25．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【答案】（1）6；
（2）1.2或2．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE，
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），
∴BO＝AC＝6．
（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，
∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，
∴t＝4t﹣6，解得t＝2．
综上，t＝1.2或2．
26．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
27．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
28．在△ABC中，
（1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC和么ACB的平分线相交于点P，那么∠BPC＝ 120° ；
（2）如图②所示，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，试说明∠BPC＝∠A；
（3）如图③所示，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想.
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BP、CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），
∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，
∴2∠BPC＝180°+∠A，
∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC．
又∵CP是∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∴∠BPC＝∠A；
（3）90°﹣∠A．
证明：∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP＝∠CBD，∠BCP＝∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP
＝∠CBD+∠BCE
＝（∠CBD+∠BCE）
＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝（180°+∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A．
29．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
30．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）在AB上取一点M，使得AM＝AH，连接DM，
∵，
∴△AHD≌△AMD（SAS），
∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD，
∵HD＝DB，
∴DB＝MD，
∴∠DMB＝∠B，
∵∠AMD+∠DMB＝180°，
∴∠AHD+∠B＝180°，
即∠B与∠AHD互补．
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°，
∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA，
∴∠AMD＝2∠DGM，
又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM，
∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM，
∴MD＝MG，
∴HD＝MG，
∵AG＝AM+MG，
∴AG＝AH+HD．
31．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠EBF＝∠ADC，若E、F分别在AD、DC的延长线上．
（1）找出∠EBF与∠ABC间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠EBF＝60°，找出线段AE，EF，CF之间的数量关系并证明．
【答案】（1）∠EBF+∠ABC＝180°．证明见解答；
（2）AE＝EF+CF．证明见解答．
【解答】解：（1）∠EBF+∠ABC＝180°．
证明：∵∠A＝∠BCD＝90°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠EBF＝∠ADC，
∴∠EBF+∠ABC＝180°；
（2）AE＝EF+CF．
证明：在AE上截取AM＝CF，连接BM，如图，
在△ABM和△CBF中，
，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴∠ABM＝∠CBF，BM＝BF
∵∠EBF＝60°，由（1）知∠EBF+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠FBM＝∠FBC+∠CBM＝∠ABM+∠CBM＝∠ABC＝120°，
∵∠FBE＝60°，
∴∠MBE＝60°，
∴∠MBE＝∠FBE，
在△BME和△BFE中，
，
∴△BME≌△BFE（SAS），
∴EF＝EM，
∵AE＝EM+AM，
∴AE＝EF+CF．
32．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 DE＝BD+CE ；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF是等边三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形，理由如下，
∵α＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AB＝AF＝AC，
∴△ABF和△ACF是等边三角形，
∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，
同（2）可得，△BDA≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，
∴∠FAD＝∠FCE，
∴△FAD≌△FCE（SAS），
∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
33．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，证明：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）6；
（3）45°；
（4）2∠P＝∠D+∠B．理由见解析部分．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）解：关系：∠D+∠1＝∠P+∠3①，
∠B+∠4＝∠P+∠2②，
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠P＝∠D+∠B．
34．直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】（1）135°；
（2）①45°；
②不变，45°；
（3）45°或36°．
【解答】解：（1）如图1中，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）如图2中，
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
（3）如图3中，
∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，
∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，
∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，
①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝45°．
②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．
③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，
∴∠ABO＝2∠D＝36°．
④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，
∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
35．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）9．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∴∠FDG＝∠E，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE；
（2）解：如图2，过点D作DG∥AE，交BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DB＝DG，
∴BH＝GH，
由（1）知△DGF≌△ECF，
∴GF＝CF，
∴HF＝BC＝3，
∵DH⊥BC，∠DFB＝45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH＝HF＝3，
∴S△CDB＝BC•DH＝6×3＝9．
36．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 ＝ △ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 20 ．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴，，
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为：＝；
（2）解方程组得，
∴S△AOD＝S△BOD＝10，
∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，
故答案为：得，20；
（3）如图3，连接AO，
∵AD：DB＝1：3，
∴S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，
∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为：，
解得：，
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13．
37．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
38．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 C ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△MDB中
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
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