四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试文科数学试题

这是一份四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试文科数学试题，共11页。试卷主要包含了设集合，已知复数满足，苏格拉数学家科林，函数的部分图像大致为等内容，欢迎下载使用。

数学（文科）
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合.则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A.3 B. C.5 D.
3.在直角坐标系中，向量，其中，若三点共线，则实数的值为（ ）
A. B.-7 C. D.2
4.苏格拉数学家科林.麦克劳林（Clin Maclaurin）研究出了著名的Maclauin级数展开式，其中一个为，据此展开式，如图所示的程序框图的输出结果约为（ ）
A.2 B.1 C.0.5
5.函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知等比数列的第二项为1，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度.现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间恰有两个零点，则的值为（ ）
A.4 B.5 C.-5 D.3
9.已知双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，若，（是椭圆的两个焦点），则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（ ）
A. B. C.2 D.1
11.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知满足线性约束条件，若，则的最大值为__________.
14.若命题“”为假命题，则实数的取值范围为__________.
15.已知圆，圆，直线.若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则__________.
16.已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为__________.
三､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（12分）
2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则这2人中至少有1人为女生的概率.
附：
①，其中；
②当时有的把握认为两变量有关联.
18.（12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数.
19.（12分）
在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为､的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥，如图所示.
（1）在三棱锥中，求证：；
（2）求四棱锥的体积.
20.（12分）
已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）若对任意的和，不等式恒成立，求的最大值.
21.（12分）
如图，已知曲线是以原点为中心､为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线的一部分，是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线称为“月蚀圆”.设.
（1）求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
（2）过点作一条与轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于四点，记为的中点，为的中点.问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）若为直线上距离为2的两动点，点为曲线上的动点，求面积的最大值.
23.[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）令的最小值为，若正数满足，求证：.
绵阳南山中学高2021级高三下期绵阳三诊热身考试
数学（文科）
参考答案：
1-5DDCBD 6-10ACAAC 11.A 12.B
13.3 14. 15. 16.
17.（1）没有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异（2）
【详解】（1）根据列联表中的数据，得
3.841，所以没有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异
（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生有2人，
设男生为；女生为.
则从这5人中选出2人的组合有，共10种，
其中至少有1人为女生的组合有，共7种，
故所求概率为.
18.（1）证明见解析（2）2023
【详解】（1），
可得，
又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
设数列的前项和为，
则
，
若，即，因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为2023.
19.（1）证明见解析
（2）.
【详解】（1）在三棱锥中，
因为面，
所以面.又平面，所以；
（2）因为在中，分别为的中点，
所以四边形的面积是面积的.
又三棱锥与四棱锥的高相等，
所以，四棱锥的体积是三棱锥的体积的，
因为，所以.
因为.
所以，故四棱锥的体积为.
20.（1）（2）2
【详解】（1）当时，，
所以，
易知在上单调递增，且，
所以当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以在处取得极小值.
（2）因为，所以恒成立等价于恒成立.
设，则，易知在上单调递增，且当时，，当时，，
所以在内存在唯一零点，即，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以.
结合式，可知：
，
当且仅当时取等号，
即当时，的最小值为2，
要使恒成立，须，即的最大值为2.
21.（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为
（2）是定值，为，理由见解析
【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为，
双曲线所在的标准方程为，
因为，所以可得，解得，所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为；
（2）是定值，为，理由如下，
由（1）椭圆所在的标准方程为，
双曲线所在的标准方程为，
因为直线与“月蚀圆”依次交于四点，所以直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，所以，
可得，
直线的方程与椭圆方程联立，整理得
，
所以，
所以，
直线的方程与双曲线方程联立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，所以是定值.
22.（1）（2）
【详解】（1）由（为参数）得，
即曲线的普通方程为.
由得，则直线的直角坐标方程为，即.
（2）设曲线任一点，
则点到直线的距离
，
当时，，
面积的最大值为.
23.（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）当时，，解得；
当，得；
当时，，可得.
综上所述，的解集为.
（2）由（1）知，当时，；
当时，；当时，，
则的最小值为2，即.
故，
，
当且仅当等号成立，所以.不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100