【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 专题07分式的运算（考点清单）.zip

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【分式的相关概念】
分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母.
对于分式AB来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义.
②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.
③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.
④若AB>0，则A、B同号; 若AB<0，则A、B异号.
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.
最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
确定最简公分母的方法：
【分式的运算】
【考点题型一】分式的判断
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式x-yx，x2，2x+3，13x+y中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、x2+12、xyπ、3x-y、b+1m中，分式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
-3x，xy，x+y3π，23x2y，-7xy2，-18x，35+y，x-y5，a-1a，-5，x2+xx．
【考点题型二】根据分式方程有/无意义的条件求未知数的值或取值范围
4．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>0B．x≠2C．x>2D．x≥2
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）若代数式x-2x-3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2且x≠3B．x≥2
C．x≠3 D．x≥2且x≠3
6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知x=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（ ）
A．x-2B．x+2C．xD．2x
7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式x-bx+a，当x=-1时，其值为0，当x=1时，此分式没有意义，那么a,b的值分别是（ ）
A．-1,-1B．1，1C．1,-1D．-1,1
【考点题型三】分式值为0的条件
8．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若分式x2-4x+2的值为0，则x是（ ）
A．x=-2B．x=2C．x≠-2D．x≠±2
9．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x=2时，x+1x-2的值为0
B．当x≠3时，x-3x有意义
C．无论x为何值，3x+1的值不可能是正整数
D．无论x为何值，1x2+1总有意义
10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如果分式5a-ba+b的值是零，则下列正确的是（ ）
A．a≠-bB．a≠0C．b=5aD．b=5a，且a≠0
【考点题型四】分式求值
11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知x2-x-6=0，则2xx2+3x-6的值是（ ）
A．13B．12C．23D．1
12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知x>y>0，x2+y2=52xy，则分式x+yx-y值为（ ）
A．3B．-3C．±3D．9
13．（23-24八年级上·福建福州·期末）若2a-2b=ab，则1a-1b的值是______．
A．12B．2C．-12D．-2
14．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知xx2+1=13，则x2x4+x2+1的值是（ ）
A．18B．8C．16D．6
【考点题型五】求分式值为正/负数时未知数的取值范围
15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式2x+1x2的值为正，则x的取值范围是( )
A．x>0B．x>-12C．x≠-12D．x>-12且x≠0
16．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式2x-5x2+4的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x≠52B．x≤-52C．x>52D．x<52
17．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式x+13x-2有意义?
（2）当x取什么值时，分式-15-x的值为负?
（3）当y取什么值时，分式-y21+y2的值为负?
（4）当x取什么值时，分式x2-1x+1的值为0?
【考点题型六】求使分式值为整数时未知数的整数值
18．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，若x为正整数，则表示分式x2+3xx+3x+1的值落在（ ）
A．线①处B．线②处C．线③处D．线④处
19．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9B．8C．7D．5
20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，x-1x+1，x+1x-2，x2x+2，x2x-1这样的分式就是假分式；
再如：3x+1,1x-2,xx2-1,2xx2+1这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：x-1x+1=x+1-2x+1=1-2x+1；x+1x-2=x-2+3x-2=1+3x-2，
再如：x2x-1=x2-1+1x-1=x+1x-1+1x-1=x+1+1x-1．
解决下列问题：
(1)分式2x是 分式(填“真”或“假”)；
(2)先将假分式2x-1x+1化为带分式 ，再当2x-1x+1的值为整数，求x的整数值．(写出过程)
(3)将假分式-x4-6x2+8-x2+1化为带分式，当-121．（23-24八年级下·重庆万州·阶段练习）已知x为整数，且3x+4+34-x+6x+48x2-16为正整数，求所有符合条件的x值的和．
【考点题型七】分式的规律型问题
22．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于x的分式，探究其规律：2x,5x3,8x5,11x7,⋯，按着上述规律，第n个分式是 ．
23．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：-2a，5a4，-10a7，17a10，……（a≠0），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数）
24．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：x3y,x5y2,x7y3,x9y4，…（其中x≠0）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
【考点题型八】约分与通分
25．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式6a4c29a2b2约分后的结果是 .
26．（22-23八年级下·全国·假期作业）当2x-1xy=2M3x2y3时，M= ．
27．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算．
(1)约分：a2+4ab+4b2a2-4b2 ；
(2)通分：ba2-ab，a-ba2+ab．
28．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)x-y，2y2x+y；
(2)aa2-b2，b2b-2a；
(3)29-3a，a-1a2-9，9a2-6a+9．
【考点题型九】判断最简公式或最简公分母
29．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．12x与13x的最简公分母是6x
B．12a2b与2ab3c的最简公分母是2a2bc
C．1x2-4与1x+2的最简公分母是x+2x-2
D．m3m-3n与nm-n的最简公分母是3m-n
30．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式1a2-9和a9-3a进行通分时，最简公分母是
31．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式12b2c4a、5（x+y）2y+x、a2+b23(a+b)、4a2-b22a-b、a-bb-a中，最简分式的个数是 个．
32．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个．
①11-x；②4y+22x；③x3π；④10+4a5+2a；⑤ 4y2+10y2y+5
【分式的基本性质】
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：AB=A•CB•C（C≠0）或AB=A÷CB÷C（C≠0），其中A，B，C是整式.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB=-A-B=--AB=-A-B.
【考点题型十】利用分式的基本性质进行变形
33．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）下列各式一定成立的是（ ）
A．ab=a-1b-1B．ba=babC．nm=na2+1ma2+1D．nm=n+am+a
34．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式：①b-aa+b；②-b-aa-b；③b-a-a-b；④-a-b-a-b．其中与a-ba+b相等的是（ ）
A．①②③B．②③④C．②③D．③④
35．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．x-12y12x+y=2x-yx+2yB．0.2a+ba+0.2b=2a+ba+2b
C．x+1x-y=x-1x-yD．a+ba-b=a-ba+b
36．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）下列等式中：①ba=b2a2；②ba=2b2a；③ba=b+2a+2；④ba=b-2a-2，成立的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化
37．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）将分式m-3nmn中的m、n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小为原来的13D．缩小为原来的19
38．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式与分式ab相等的是（ ）
A．-abB．--abC．a-bD．--a-b
39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如果将分式x+yx2中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．缩小到原来的12D．不变
40．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式2xx+y中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为-2，则原分式的值为 ．
【考点题型十二】将分式的分子分母各项系数化为整数
41．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式12a-+b的分子与分母的各项系数化为整数为 ．
42．（23-24八年级上·全国·课时练习）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．
（1）0.2x-+0.3y= ；（2）12a-23ba= ；（3）x+13y25x-12y= ．
43．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：
(1)0.5x-13y0.25x-0.2y；
(2)54x+y34x-13y．
【考点题型十三】已知分式的恒等式确定分子或分母
44．（2020·河北·模拟预测）已知4x2-1=Px+1+Qx-1是恒等式,则（ ）
A．P=2,Q=-2B．P=-2,Q=2C．P=Q=2D．P=Q=-2
45．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已如3x2-7x+2x-1x+1=3+ax-1+bx+1是恒等式，请分别求的a、b的值．
【分式的运算】
【考点题型十四】分式的混合运算
46．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)2a+3a+1-a+2a+1
(2)a2b2c⋅-bc22a
(3)25-a2a2+10a+25÷a2-1a+5⋅a2+2a+1a-5
(4)x-3x-2÷x+2-5x-2
47．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)a2-4a2+2a-8÷a2-4⋅a2-4a+4a-2；
(2)x2-1x2-4x+4÷x+1⋅x2-3x+2x-1；
(3)a2-16a2+8a+16÷a-42a+8⋅a-2a+2．
48．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）计算：
(1)1x+1-2xx2-1；
(2)m+2+52-m÷2m+6m2-4m+4
【考点题型十五】分式化简求值
49．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
(-x2-1x2+2x+1)÷xx+1=x2-x+1x
(1)求所捂部分化简后的结果；
(2)若x2-x-1=0，求（1）所得代数式的值．
50．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简a2a+2-a+2÷4aa2-4，然后从-651．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简：x-1-3x+1÷x2+4x+4x+1，再从-2，-1，0，1中选择一个适合的数作为x代入求值．
52．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：16a2-4+a+2a-2-a2-4a2+4a+4，其中a是不等式组x-1≥3-x①3x-1<2x+3②的最大整数解．
【考点题型十六】判断分式混合运算的错误步骤
53．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
x-1x+1-x2-1x2-2x+1÷xx-1
=x-1x+1-x-1x+1x-12÷xx-1第一步
=x-1x+1-x+1x-1÷xx-1第二步
=x-12-x+12x+1x-1÷xx-1第三步
=x2-2x+1-x2+2x+1x+1x-1⋅x-1x第四步
=2xx+1第五步
=2x2+x第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
54．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
m2-4m+4m-1÷3m-1-m-1
=m-22m-1÷3m-1-m-1 第一步
=m-22m-1÷3m-1-m-12m-1 第二步
=m-22m-1÷-m2+2m+2m-1 第三步
=m-22m-1⋅m-1-m2+2m+2 第四步
=m-22-m2+2m+2 第五步
任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出正确的化简过程；
任务三：请你从0,1,2中选择一个合适的数作为m的值代入求值．
55．（23-24八年级上·河北邢台·期中）嘉淇在计算a-1a+1+1÷aa+1时，给出如下计算过程：
原式=a-1a+1÷aa+1+1÷aa+1 第一步
=a-1a+1×a+1a+1×a+1a 第二步
=a-1a+a+1a 第三步
=2a2a 第四步
=1． 第五步
已知嘉淇的解法是错误的．
(1)她开始出现错误的步骤是第_____________步．
(2)请给出正确的解答过程．
【考点题型十七】比较分式的大小
56．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知A=m+12，B=2mm+1．
(1)当m>0时，比较A-B与0的大小，并说明理由；
(2)设y=2A+B，
①当y=4时，求m的值；
②若m为整数，求正整数y的值．
57．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式A=2a+3a+2，整式B=a+2．
(1)若A=1，求a的值；
(2)当a取哪些整数时，分式A的值为整数；
(3)试判断A与B的大小关系，并说明理由．
58．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知M=x+12，N=2xx+1．
(1)当x>0时，判断M-N与0的大小关系，并说明理由；
(2)设y=2M+N，若x是整数，求y的正整数值．
【考点题型十八】分式加减的应用
59．（23-24八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且a≠b），谁的购买方式更合算？请说明理由．
60．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米(0<9b(1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ．
(2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由．
61．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
(2)谁的购买方式平均单价较低？
类型
方法步骤
分母为单项式
1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
分母为多项式
1）对每个分母因式分解;
2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;
3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.