新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题07一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式有解能成立问题全题型压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题07一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式有解能成立问题全题型压轴题（教师版），共19页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数，当时，单调递增；等内容，欢迎下载使用。
①已知函数在区间上存在单调区间
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
，∴在x∈上有解，即ax+0在x∈上有解，
即a在x∈上有解．令g(x)，则g′(x)，∴g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，∴g(x)的最小值为g(e)=，∴a＞．
故选：B．
2．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
【答案】
，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，
即在上有解，
因为，且在上单调递减，
所以当时，，
所以.
故答案为：
3．（2022·福建龙岩·高二期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
解：，
因为函数在上存在单调递减区间，
所以在上有解，
即不等式在上有解，
令，
令，
则，
所以，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
4．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________．
【答案】
根据题意，函数，其导数，
若函数在定义域内存在单调递减区间，
则在上有解；
若，变形可得，
则在上能成立，
设，则，则，
则必有，
故的取值范围为；
故答案为：．
5．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
【答案】
，其中，则．
由于函数存在单调递增区间，则，使得，
即，，构造函数，则．
，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，
所以，，故答案为．
6．（2022·山东泰安·高二期中）已知函数.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若在存在单调递减区间，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以.
当，即，或时，函数可能有极值.
由题意，当时，函数有极大值，所以.
当变化时，，的变化情况如下表所示：
因此，当时，有极大值，此时，
所以.
(2)由（1）可知：，
当时，，或.
由题意，在存在单调递减区间，
所以在上有解，
由（1）知，在上单调递减，所以，
解得，或，即.
综上所述，的取值范围是.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在的切线与直线垂直，函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
【答案】（1）；（2）
（1）
,又函数在的切线与直线垂直
（2），
函数存在单调递减区间，则在上成立,
即在上成立
（当且仅当时等号成立）
，检验当时函数在单增，不满足题意，
②变量分离法
1．（2022·山西大附中高二期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
∵在上有解，
∴在上有解，
令，，则即可．
又，
令，解得，
∴当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
∴当时，取得最小值．
∴，则实数的取值范围是．
故选：B．
2．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
的定义域为，
，
∵当时， ，当时， ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即，
又∵存在，使得成立，
∴ ，解得，
则实数的取值范围为，
故选：D.
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
令得，∴，
将化简得，
令，则，令，
∵，∴为增函数，
当时，，为增函数，；
当时，，为减函数，；
因此最小值为1，从而，即．
故选：A．
4．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））若关于x的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
当时，不等式可化为
令，则，
令可得，
当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，
又，．
由此可得函数的图象如下：
由已知不等式在区间上有且只有一个整数解，
∴
∴ ，
即实数k的取值范围为．
故选：D.
5．（2022·全国·高二）已知函数，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由，得．设，则．令，得；令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，
故．
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）关于x的不等式有且仅有两个整数解，则正数a的取值范围是_______．
【答案】
设，，有，
所以函数在上单调递减，上单调递增
当时，；当时，，
由题可得：，据此，作出函数，图象，如图．
观察图象可知：若要使不等式有且仅有两个整数解，
则满足，且
解得．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是________.
【答案】(－∞，e2－2]
由f(x)－m≥0得f(x)≥m，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
，
当x∈[1，e]时，，
此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).
即1≤f(x)≤e2－2，
要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.
故答案为：(－∞，e2－2]
8．（2022·全国·高二）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数在上存在1级“平移点”，则实数的最小值为___________.
【答案】
由在上存在1级“平移点”，则有解，即：，得：，
∴在上有解，
令，，则，
∴在上单调递增，则，
∴，即.
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．
【答案】
由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，
不妨设，因为，
所以，即．
令，则，则函数在上存在增区间，
则在上有解，即在上有解，
所以．
令，则，令，则，
又，所以单调递增，
所以，所以．
所以实数的取值范围为
故答案为：
10．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)
(1)．当时，单调递增；
当时，令，得．若单调递减，
若单调递增．
综上，当时，函数单调递增区间为，无减区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为上．
(2)由题设，在上，，设，则．
当时恒成立，所以在上单调递增，．于是，故．
11．（2022·广东实验中学附属天河学校高二期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)极小值为，无极大值(2)
(1)∵，定义域为
∴
设，可得或（舍），
由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当x变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.
(2)在内存在x，使不等式成立
等价于，由（1）知
所以，即a的取值范围为
12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减(2)
(1)函数的定义域是
.
当时，由，得或，
由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减.
(2)至少存在一个，使得成立，即当时，
有解
∵当时，，∴有解，
令，则.
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数a的取值范围.
③双变量型
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[，4]
C．D．
【答案】B
解：的导函数为，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，
故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，
所以对于任意的，．
因为开口向下，对称轴为轴，
所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得，，
可得，解得．
故选：B.
2．（2020·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（文））已知函数f（x）＝x2﹣3x，g（x）＝mx+1，对任意x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），则实数m的取值范围为（ ）
A．[，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[）
【答案】A
由题意在区间上的值域为,
当时，的值域为，所以，无解;
当时,显然不成立；当时，的值域为,
所以,解得,
综上.
故选:.
3．（2021·北京二中高一期末）已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.
当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）, y=的值域为[a+2,-a+2],
因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,
所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,
由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.
当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],
当a≥时，-a+2≤2a,由题得.
当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.
综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，
故选C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，.
若，使得，则实数的取值范围是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
当时，，，
当，时，，
当，时，.
令，则，，
当时，，；
当时，，；
综上所述，；
由题意，得两个函数的值域的交集非空，
所以，解得.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数满足，且当时，，，对任意，存在，使得，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当时，，
此时单调递减，所以，
当时，
在恒成立，
此时单调递增，所以，
在上的值域为，
，，
当时，，
在上的值域为，
为正实数，在上为增函数，
在上的值域为，
依题意，
，解得，
故a的取值范围是.
故选：A.
6．（2020·上海·模拟预测）已知函数（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
由题意得
故答案为：
7．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是______ ．
【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）
若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调．
①当a=0时,，其图象如图所示，满足题意
②当a0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调
则只要二次函数的对称轴x=a0且a≠2，
实数的取值范围，，．
2．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当有最小值，且最小值小于时，求a的取值范围
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)函数的定义域为R，，
若，则，所以在R上单调递增；
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知，当时，在R上没有最小值，
当时，在处取得最小值，最小值为，即.
设，
当时，，不符合条件；
当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以当，时，，当时，.
因此a的取值范围是.单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
-
0
+
单调递减
单调递增