2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系提能训练，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( B )
A．0 B．1
C．3 D．4
[解析] 只有②正确，故选B.
2．(2022·湖北名师联盟模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是( C )
A．直线EF，AO是异面直线
B．直线EF，BB1是相交直线
C．直线EF与BC1所成的角为30°
D．直线EF与BB1所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3)
[解析] OF綉AE，EF、AO是相交直线，A错；
EF、BB1是异面直线，B错；
如图，OF綉BE，
∴EF∥BO，
∴∠C1BO(或其补角)即为EF与BC1所成的角，
设正方体棱长为2，
则BC1＝2eq \r(2)，OC1＝eq \r(2)，BO＝eq \r(6)，
∴BCeq \\al(2,1)＝OCeq \\al(2,1)＋BO2，即BO⊥OC1，
∴∠OBC1＝30°，C对；
EF与BB1所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)，D错；故选C.
3．(2023·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( C )
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D．直线c与平面α可能平行
[解析] 因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ，因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，A、B错误，C正确；D选项，假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．故选C.
4．(2024·四川仁寿一中调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则直线A1C1与CE所成角的余弦值为( A )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(10),10) D．eq \f(4\r(5),15)
[解析] 解法一：连接AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，即四边形ACC1A1为平行四边形，故A1C1∥AC，则直线AC与CE所成角即为直线A1C1与CE所成角，即∠ECA即为所求角或其补角；设正方体棱长为2，连接AE，EC1，则AE＝EC1＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，EC＝eq \r(CC12＋EC12)＝3，又AC＝2eq \r(2)，∴cs∠ECA＝eq \f(EC2＋AC2－AE2,2EC·AC)＝eq \f(9＋8－5,2×3×2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，而异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故直线A1C1与CE所成角的余弦值为eq \f(\r(2),2).故选A.
解法二：如图建立空间直角坐标系，设AB＝2，则eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(1，－2,2)，记A1C1与CE所成角为θ，则cs θ＝eq \f(|\(A1C1,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→))|,|\(A1C1,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝eq \f(6,2\r(2)×3)＝eq \f(\r(2),2).故选A.
5．(2023·宁夏中卫市模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则( B )
A．直线A1E与直线C1F异面，且m＝eq \f(\r(2),3)
B．直线A1E与直线C1F共面，且m＝eq \f(\r(2),3)
C．直线A1E与直线C1F异面，且m＝eq \f(\r(3),3)
D．直线A1E与直线C1F共面，且m＝eq \f(\r(3),3)
[解析] ∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC∥A1C1，∴A1、C1、E、F共面，
∴直线A1E与C1F共面．
连接C1D，则C1D∥AB1，
∴∠DC1F为AB1与C1F所成的角(或其补角)，
连接DF，不妨令AA1＝eq \r(2)，则DF＝eq \r(5)，
C1F＝eq \r(3)，DC1＝eq \r(6)，
∴cs∠DC1F＝eq \f(3＋6－5,2×\r(3)×\r(6))＝eq \f(\r(2),3)，故选B.
6．(2024·陕西汉中联考)在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝4，△BCD的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为( C )
A.eq \f(\r(22),44) B．eq \f(\r(22),22)
C.eq \f(3\r(22),44) D．eq \f(\r(22),11)
[解析] 如图，取AD中点E，连接PE，EC，∵P是AB的中点，∴PE∥BD，PE＝eq \f(1,2)AB＝3，则∠CPE是PC与BD所成角(或补角)，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，由余弦定理，cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AC×AB)＝eq \f(42＋42－62,2×4×4)＝－eq \f(1,8)，在△APC中，PC2＝AP2＋AC2－2×AP×AC×cs A＝22＋42－2×2×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝22，∴PC＝eq \r(22)，同理，CE＝eq \r(22)，在△PEC中，由余弦定理可得，cs∠CPE＝eq \f(PC2＋PE2－CE2,2×PC×PE)＝eq \f(22＋9－22,2×\r(22)×3)＝eq \f(3\r(22),44)，∴异面直线PC与BD所成角的余弦为eq \f(3\r(22),44).故选C.
7．(2023·江西南昌一模)如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是( C )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
[解析] ∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AH,DH)＝eq \f(1,2)，
则EH∥BD，且EH＝eq \f(1,3)BD，
又CF＝2FB，CG＝2GD，∴eq \f(CF,BF)＝eq \f(CG,GD)＝2，
则FG∥BD，且FG＝eq \f(2,3)BD，
∴EH∥FG，且EH≠FG，
∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；
由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝eq \f(1,3)BD，FG＝eq \f(2,3)BD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，
而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．故选C.
8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( D )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[解析] 如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为eq \r(2).
联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，
所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，
同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，即过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．故选D.
二、多选题
9．(2022·吉林长春质检改编)下列命题中的真命题是( AC )
A．若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线
B．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线
C．若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面
D．对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥a，则c∥b
[解析] 由公理3，A正确；易知B错误；C正确；若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则D错误，故选AC.
10．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的是( ACD )
[解析] 在A、D中AB∥CD，在C中AB、CD相交，在B中AB、CD异面，故选ACD.
11．(2024·河北秦皇岛部分学校联考)如图为一正方体的展开图、则在原正方体中( BCD )
A．AB∥CD
B．AB⊥CD
C．直线AB与EF所成的角为60°
D．直线CD与EF所成的角为60°
[解析] 画出原正方体如图所示，由图可知：AB与CD不平行，A选项错误；根据正方体的性质可知BH∥AG，BH＝AG，所以四边形ABHG是平行四边形，所以AB∥GH，而GH⊥CD，所以AB⊥CD，所以B选项正确；根据正方体的性质可知，△ABC是等边三角形，直线AB与EF所成的角为∠BAC，所以直线AB与EF所成的角为60°，C选项正确；又△EFD是等边三角形，直线CD与EF所成的角为∠FCD，所以直线CD与EF所成的角为60°，D选项正确．故选BCD.
12．(2024·江苏泰州中学调研)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(\r(2),2)a，以下结论正确的有( ABC )
A.AC⊥BE
B．点A到平面BEF的距离为定值
C．三棱锥A－BEF的体积是正方体ABCD－A1B1C1D1体积的eq \f(1,12)
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
[解析] 对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，而BE⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离为定值，所以点A到△BEF的距离为定值，所以B正确；对于C，三棱锥A－BEF的体积为VA－BEF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)EF·AB·BB1·sin 45°＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)a·a×eq \f(\r(2),2)a＝eq \f(1,12)a3，三棱锥A－BEF的体积是正方体ABCD－A1B1C1D1体积的eq \f(1,12)，所以C正确；对于D，当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在D1B1的中点时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1，显然两个角不相等，命题D错误．故选ABC.
三、填空题
13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为上底面的中心，则AO与B1C所成角的余弦值为 eq \f(\r(3),6) .
[解析] 解法一：设AB、B1C1，C1C的中点分别为H、M、N，连接OM，MH，HN，MN，易知MH∥AO，MN∥B1C，∴∠HMN或其补角为AO与B1C所成的角，设AB＝2，则MN＝eq \r(2)，MH＝NH＝eq \r(6).∴cs∠HMN＝eq \f(\f(MN,2),MH)＝eq \f(\r(3),6).
解法二：如图建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，eq \(CB1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，记AO与B1C所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|\(OA,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→))|,|\(OA,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(6)×2\r(2))＝eq \f(\r(3),6).
14.(2022·浙江百校高三下学期开学联考)如图，在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱CD，DD1的中点，则平面BEF截该正方体所得截面的面积为 eq \f(9,2) .
[解析] 连接BA1、CD1，由E、F分别为CD、DD1的中点知EF綉eq \f(1,2)CD1綉eq \f(1,2)A1B，所以平面截正方体所得截面为等腰梯形A1BEF，且EF＝eq \r(2)，A1B＝2eq \r(2)，BE＝eq \r(5)，该梯形的高h＝eq \r(BE2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A1B－EF,2)))2)＝eq \f(3\r(2),2)，∴该截面的面积为eq \f(1,2)(A1B＋EF)·h＝eq \f(9,2).
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点D作直线l与异面直线AC和BC1所成的角均为θ，则θ的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) .
[解析] 如图，因为AC∥A1C1，所以∠BC1A1或其补角为异面直线AC和BC1所成的角．因为A1C1＝BC1＝A1B，所以△A1BC1是等边三角形，所以∠BC1A1＝60°，过点B作直线l的平行线l′，则当l′与∠BC1A1的角平分线平行时，θ取得最小值为30°.故θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
B组能力提升
1．(2022·甘肃诊断)在棱长均相等的四面体OABC中，M，N分别是棱OA，BC的中点，则异面直线MN与AB所成的角的大小为( B )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 解法一：取OB的中点H，连接MH、NH、ON、AN，因M为OA为中点，∴MH綉eq \f(1,2)AB，∴∠HMN或其补角为MN与AB所成的角．设四面体的棱长均为2a，则由题意易知MH＝HN＝a，MN＝eq \r(2)a，∴MH2＋HN2＝MN2，∴∠MHN＝90°，从而∠HMN＝45°.故选B.
解法二：不妨设四面体棱长均为2，记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AO,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝b·c＝a·c＝2，又eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b－c)，记异面直线MN与AB所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·a|,|\(MN,\s\up6(→))|·|a|)＝eq \f(2,\r(2)×2)＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝eq \f(π,4).故选B.
2．(2024·河南实验中学开学考)如图，在直三棱柱ABD－A1B1D1中，AD＝BD＝AA1，∠DAB＝45°，P为B1D1的中点，则直线BP与AD1所成的角的余弦值为( B )
A.eq \f(\r(15),5) B．eq \f(\r(10),5)
C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(\r(7),3)
[解析] 解法一：取BD中点E，连接ED1，AE，直三棱柱ABD－A1B1D1中，AD＝BD＝AA1，∠DAB＝45°，P为B1D1的中点，∴PD1∥BE，PD1＝BE，∴四边形BED1P是平行四边形，∴PB∥D1E，∴∠AD1E是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，令AD＝BD＝AA1＝2，则∠ABD＝45°，且AD⊥DE，∴AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(5)，AD1＝eq \r(AD2＋DD\\al(2,1))＝2eq \r(2)，D1E＝eq \r(DE2＋DD\\al(2,1))＝eq \r(5)，∴cs∠AD1E＝eq \f(AD\\al(2,1)＋D1E2－AE2,2AD1·D1E)＝eq \f(\r(10),5)，∴直线PB与AD1所成的角的余弦值为eq \f(\r(10),5).故选B.
解法二：由题意可知AD、BD、DD1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设AD＝2，BP与AD1所成角为θ.则eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，∴cs θ＝eq \f(|\(AD1,\s\up6(→))·\(BP,\s\up6(→))|,|\(AD1,\s\up6(→))|·|\(BP,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(\r(10),5).故选B.
3．(多选题)(2024·广东广州执信中学摸底)已知a，b，c是两两异面的三条直线，a⊥b，c⊥a，直线d满足d⊥a，d⊥b，a∩d＝P，b∩d＝Q，则c与d的位置关系可以是( BC )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线a，b，d如图所示．c为ED1(E为AA1上不与A、A1重合的点)时与d异面，B正确；c为DD1时与d平行，C正确；若c与d相交，则a垂直于c，d确定的平面，又a垂直于b，d确定的平面，则b，c，d在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；若c与d垂直，则c垂直于a，d确定的平面，而b垂直于a，d确定的平面，推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选BC.
4．(多选题)用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是( ACD )
A．长方体 B．圆台
C．四棱台 D．正四面体
[解析] 对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；
对于D：如图所示正四面体S－ABC，将其放到正方体中，取SB的中点E，SC的中点D，取AB的中点F，AC的中点G，依次连接EF、FG、GD、DE，则截面DEFG为正方形，故D正确；故选ACD.
5．(多选题)(2023·河北衡水中学模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以下结论正确的是( ABD )
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A－A1CD的体积为eq \f(1,6)
[解析] 连接B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，所以∠AB1C(或其补角)为异面直线A1D与AB1所成的角，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝B1C＝AB1＝eq \r(2)，所以△AB1C为等边三角形，所以∠AB1C＝60°，故A正确；连接B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，所以直线A1D与BC1垂直，故选项B正确；若直线A1D与BD1平行，则A1，B，D，D1四点共面．又A1，D，D1在侧面ADD1A1上，则点B也应在侧面ADD1A1上，这与正方体相矛盾．所以直线A1D与BD1不平行，故选项C不正确；三棱锥A－A1CD的体积VA－A1CD＝VC－AA1D＝eq \f(1,3)×S△AA1D×AB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)，所以选项D正确．故选ABD.
6．(2024·安徽皖东智校协作联盟联考)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积．
[解析] (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
∵DM∩D1A1＝E，∴E∈DM⊂平面DMN，E∈D1A1⊂平面A1B1C1D1，
∴E∈平面DMN∩平面A1B1C1D1，∴EN⊂平面DMN∩平面A1B1C1D1，则NE即为直线l的位置．(也可根据线面平行性质确定直线位置)．
(2)设直线l与A1B1交于点P，则P为A1B1四等分点，正方体被平面DMN截成两部分，较小部分为三棱台A1PM－D1ND，V＝eq \f(1,3)(S△A1PM＋S△D1ND＋eq \r(S△A1PM·S△D1DN))·A1D1＝eq \f(1,3)a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)a2＋\f(1,4)a2＋\f(1,8)a2))＝eq \f(7,48)a3.