2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示提能训练，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( B )
A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq \f(1,2)e2
[解析] 由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝eq \f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D,2e1＋e2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq \f(1,2)e2共线，不满足题意，故选B.
2．已知点A(1,0)，B(2,2)，向量eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－1)，则向量eq \(AC,\s\up6(→))＝( C )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(3,1) D．(－3，－1)
[解析] 根据点A，B的坐标可求出向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐标，然后根据eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))即可求出向量eq \(AC,\s\up6(→))的坐标.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(－1，－2)＝(3,1)．故选C.
3．(2024·陕西汉中月考)已知向a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，则b＝( C )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
[解析] ∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，
∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故选C.
4．(2022·山西晋中市新一双语学校月考)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( B )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
[解析] 设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2.))解得：λ＝3，μ＝－1，
则c＝3a－b
故选B.
5．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6,8)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
[解析] 因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．
6．如图所示，若向量e1、e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为( A )
A．(3,4) B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
[解析] 以向量a、b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))且b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标．以向量a、b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，∴a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，∵b＝(1,3)，∴2a＋b＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))＋(1,3)＝(3,4)，即2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A.
7．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( B )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,2) D．eq \f(2π,3)
[解析] 因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，因为08．(2023·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝( D )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(2,9) D．eq \f(9,2)
[解析] ∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq \f(1,3)，μ＝eq \f(2,3)，∴eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).故选D.
二、多选题
9．(2023·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( ABD )
A.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b B．eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b
C.eq \(BM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a＋b
[解析] eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b，故A正确；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b，故B正确；
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，故C错误；
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a＋b，故D正确．
10．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( ABD )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
[解析] 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
11．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq \(MP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(MN,\s\up6(→))|，则P点的坐标为( BD )
A．(－8,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，－\f(5,2)))
[解析] 设P(x，y)，则eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，
而eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－8,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(1,2)))，当eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))时，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))
所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).
同理当eq \(MP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))时，可解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，－\f(5,2))).故选BD.
三、填空题
12．已知点A(1,3)，B(4，－1)，写出一个与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量坐标为 (6，－8)(答案不唯一) .
[解析] 因为A(1,3)，B(4，－1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量的坐标可以是(3λ，－4λ)，λ∈R.
13．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为 (2,4) .
[解析] ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
∴eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).
设点D的坐标为(x，y)，则eq \(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x ,2－y)＝(2，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
故点D的坐标为(2,4)．
14．(2023·广西贺州联考)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，则mn＝ 7 .
[解析] ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，
∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.
15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为 (0,2) .
[解析] 因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
四、解答题
16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解析] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)解法一：∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
解法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，∴m＝eq \f(3,2).
B组能力提升
1．(多选题)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( AB )
A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
[解析] ∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，
∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．
故选AB.
2．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为( B )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
[解析] 设P(x，y)，
则由eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，
得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)．
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq \f(2,3).
3．(2023·湖北四校调研)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(λ,μ)＝( B )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．2 D．eq \f(2,3)
[解析] 本题考查向量的线性运算.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝eq \f(3,4)，从而求得eq \f(λ,μ)＝eq \f(1,3)，故选B.
4．(2023·豫南九校联考)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有( B )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→)) B．eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)) D．eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up6(→))
[解析] 在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA(图略)，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，其终点不在阴影区域内，排除A，同理排除C，D，故选B.
5．在△ABC中已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)) .
[解析] 如图，
∵O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,5)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,3)，
∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(0,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，
eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－\f(7,4)))，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2)))，
设点M(x，y)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(x－4，y－3)，
∵AD与BC交于点M，
∴A，M，D三点共线，且B、M、C三点共线，
∴eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线，eq \(BM,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y－5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)))x＝0，,－4y－3－x－4·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋4y－20＝0，,7x－16y＋20＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(12,7)，,y＝2，))
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)).
6．已知向量a＝(sin θ，cs θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
[解析] (1)因为a∥b，所以2sin θ＝cs θ－2sin θ，于是4sin θ＝cs θ，故tan θ＝eq \f(1,4).
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cs θ－2sin θ)2＝12＋22＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cs 2θ)＝4，
即sin 2θ＋cs 2θ＝－1，
于是sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2).
又由0<θ<π知，eq \f(π,4)<2θ＋eq \f(π,4)所以2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,4)或2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,4).
因此θ＝eq \f(π,2)或θ＝eq \f(3π,4).