2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数提能训练，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( C )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
[解析] 由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果．若α是第一象限角，则：90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限，故选C．
2．(2024·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( B )
A．60度 B．75度
C．270度 D．285度
[解析] 春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B．
3．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由题意知tan α<0，cs α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B．
4．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S的最大值为( B )
A．100 cm2 B．625 cm2
C．1 250 cm2 D．2 500 cm2
[解析] 由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可以应用均值定理求解．方法一：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r＋l＝100，面积为S＝eq \f(1,2)lr，因为S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(100－2r)r＝－r2＋50r＝－(r－25)2＋625，所以当r＝25时，Smax＝625；方法二(应用均值定理)：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(100－2r)r＝(50－r)r≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(50－r＋r,2)))2＝625，当且仅当50－r＝r，即r＝25时等号成立，故选B．
5．已知角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则sin α＋cs α＝( B )
A．－eq \f(\r(5),5) B．±eq \f(\r(5),5)
C．－eq \f(3,5) D．±eq \f(3,5)
[解析] ∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，
∴当m>0时，sin α＝eq \f(－2m,\r(5)m)＝－eq \f(2,\r(5))，cs α＝eq \f(m,\r(5)m)＝eq \f(1,\r(5))，
∴sin α＋cs α＝－eq \f(\r(5),5).
当m<0时，sin α＝eq \f(－2m,－\r(5)m)＝eq \f(2,\r(5))，
cs α＝eq \f(m,－\r(5)m)＝－eq \f(1,\r(5))，∴sin α＋cs α＝eq \f(\r(5),5)，
∴sin α＋cs α＝±eq \f(\r(5),5)，故选B．
6．(2023·济南市三中摸底)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] ∵θ为第三象限角，∴eq \f(θ,2)为第二或第四象限角．又∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，∴cs eq \f(θ,2)<0，∴eq \f(θ,2)是第二象限角．
7．(2023·山东威海月考)已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( C )
A．eq \f(5π,6) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(11π,6) D．eq \f(5π,3)
[解析] 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，所以θ＝eq \f(11π,6).
8. (2024·浙江杭州市模拟)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6 cm，∠ACB＝eq \f(2π,3)，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( C )
A．12.6 B．4π
C．4.2π D．4.3π
[解析] 画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图，设圆心为O，依题意，OA⊥AC，OB⊥BC，O，A，C，B四点共圆，
∵∠ACB＝eq \f(2π,3)，∴∠AOB＝eq \f(π,3).
∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA＝AB＝12.6 cm.
∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×eq \f(π,3)＝4.2π(cm)．故选C．
二、多选题
9．下列各式中结果为正值的是( ACD )
A．sin 1 125° B．tan eq \f(37,12)π·sin eq \f(37,12)π
C．eq \f(sin 5,tan 5) D．sin|－1|
[解析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
对于A，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；
对于B，因为eq \f(37,12)π＝2π＋eq \f(13,12)π，则eq \f(37,12)π是第三象限角，
所以tan eq \f(37,12)π>0，sin eq \f(37,12)π<0，故tan eq \f(37,12)π·sin eq \f(37,12)π<0；
对于C，因为5弧度的角在第四象限，
所以sin 5<0，tan 5<0，故eq \f(sin 5,tan 5)>0；
对于D，因为eq \f(π,4)<10.
10．(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是( AD )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，或α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))
B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))
[解析] 因为直线x＋y＝0的倾斜角是eq \f(3π,4)，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,4)))))或α＝2kπ＋eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，k∈Z))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故选AD．
11．在平面直角坐标系xOy中，角α以x的非负半轴为始边，且终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是( CD )
A．sin α＋cs α B．sin α－cs α
C．sin αcs α D．eq \f(sin α,tan α)
[解析] 由已知得r＝|OP|＝eq \r(m2＋1)，则sin α＝eq \f(m,\r(m2＋1))>0，cs α＝－eq \f(1,\r(m2＋1))<0，tan α＝－m<0，则sin α＋cs α的符号不确定，sin α－cs α>0，sin αcs α<0，eq \f(sin α,tan α)＝cs α<0.故选CD．
三、填空题
12．2 025°角是第 三 象限角，与2 025°角终边相同的最小正角是 225° ，最大负角是 －135° .
[解析] 因为2 025°＝6×360°－135°，所以2 025°角的终边与－135°角的终边相同．所以2 025°角是第三象限角，与2 025°角终边相同的最大负角是－135°.又－135°＋360°＝225°，故与2 025°终边相同的最小正角是225°.
13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)))<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)) .
[解析] ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，∴所求角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)))<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)).
14．如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α，\f(3,5)))，则cs α－sin α＝ －eq \f(7,5) .
[解析] 由题意得cs2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝1，cs2α＝eq \f(16,25).又cs α<0，所以cs α＝－eq \f(4,5)，又sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α－sin α＝－eq \f(7,5).
15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径等于4 m的弧田，则矢是 2 m，所得弧田面积是 4eq \r(3)＋2 m2.
[解析] 根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．如图所示，由题意可得：∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，OD＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×4＝2，可得：矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin eq \f(π,3)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，可得：弦＝2AD＝4eq \r(3)，所以：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2.
16．函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z) .
[解析] ∵2sin x－1≥0，∴sin x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分)．
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
B组能力提升
1．(多选题)下列结论中正确的是( BCD )
A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝eq \f(4,5)
B．若α是第一象限角，则eq \f(α,2)为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D．若0<α[解析] 当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－eq \f(4,5)，故A错误；
∵2kπ<α<2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴kπ∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角，故B正确；
|α|＝eq \f(l,r)＝eq \f(6－4,2)＝1，故C正确；
∵0<α2．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么( B )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
[解析] 由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
3．(多选题)(2023·唐山模拟)函数f(x)＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)＋eq \f(tan x,|tan x|)的值可能为( BC )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[解析] 由sin x≠0，cs x≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角，f(x)＝eq \f(sin x,sin x)＋eq \f(cs x,cs x)＋eq \f(tan x,tan x)＝3.
若x为第二象限角，f(x)＝eq \f(sin x,sin x)＋eq \f(cs x,－cs x)＋eq \f(tan x,－tan x)＝－1.
若x为第三象限角，f(x)＝eq \f(sin x,－sin x)＋eq \f(cs x,－cs x)＋eq \f(tan x,tan x)＝－1.
若x为第四象限角，f(x)＝eq \f(sin x,－sin x)＋eq \f(cs x,cs x)＋eq \f(tan x,－tan x)＝－1.
故选BC．
4．(2024·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝eq \f(2π,3)，南北距离AB的长大约60eq \r(3) m，则该月牙泉的面积约为 2 028 m2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，eq \r(3)≈1.73)
[解析] 设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝eq \f(AB,sin \f(2π,3))＝eq \f(60\r(3),\f(\r(3),2))＝120，得r＝60，
因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)，
所以内弧的弧长l＝60×eq \f(2π,3)＝40π，
所以弓形ABC的面积为
S1＝eq \f(1,2)×40π×60－eq \f(1,2)×60×60×sin eq \f(2π,3)＝1 200π－900eq \r(3)，
以AB为直径的半圆的面积为eq \f(1,2)π×(30eq \r(3))2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为
1 350π－(1 200π－900eq \r(3))＝150π＋900eq \r(3)≈2 028.
5．(2023·兰州模拟)已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
[解析] (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为OM＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－eq \f(4,5)，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,OM)＝－eq \f(4,5).