2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第7讲抛物线提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第7讲抛物线提能训练，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2024·安徽皖江名校联考)设抛物线y＝eq \f(1,12)x2上一点P到x轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( B )
A．3 B．4
C．7 D．13
[解析] 因为x2＝12y，则准线方程为y＝－3，依题意，点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y＝－3的距离，即3＋1＝4.故选B.
2．(2024·广东南粤名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则p＝( C )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．6
[解析] 设抛物线的准线为l，作MB⊥l于B交y轴于A.由题意知3＝|MF|＝|MB|＝eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝eq \f(3p,4).∴p＝4.故选C.
3．(2024·重庆巴蜀中学月考)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为( B )
A．1 B．2
C．4 D．eq \r(2)
[解析] 由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，由对称性不妨设A(1,2)，所以S△ABF＝eq \f(1,2)|BF|·|yA|＝2，故选B.
4．(2023·福建宁德质检)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为3－(－1)＝4.故选B.
5．(2022·高考全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( B )
A．2 B．2eq \r(2)
C．3 D．3eq \r(2)
[解析] 由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2).故选B.
6．(2024·内蒙古包头调研)抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x＝2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为( C )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝12x
[解析] 由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则准线方程为x＝－eq \f(p,2)，当x＝2时，可得y＝±2eq \r(p)，可得P(2,2eq \r(p))，Q(2，－2eq \r(p))，又Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，PR⊥QR，所以eq \f(2\r(p),2＋\f(p,2))·eq \f(－2\r(p),2＋\f(p,2))＝－1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(p,2)))2＝4p，解得p＝4，所以C的方程为y2＝8x.故选C.
7．(2023·北京海淀一模)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点M的横坐标为4，则AB长为( A )
A．10 B．8
C．5 D．4
[解析] 设AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D，因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线，而|CD|＝xC＋1＝5，所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10.故选A.
8．(2024·辽宁朝阳期中)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为B，C的准线与y轴交于点A，P是C上的动点，则eq \f(|PA|,|PB|)的最大值为( B )
A.eq \r(3) B．eq \r(2)
C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
[解析] 作PN⊥准线(图略)，则|PN|＝|BP|，sin∠PAN＝eq \f(|PN|,|PA|)＝eq \f(|PB|,|PA|).当eq \f(|PA|,|PB|)取最大值时，sin∠PAN取得最小值，当且仅当PA与抛物线相切于点P时，等号成立．当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，可得x2－4kx＋4＝0.由Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1.不妨设点P在第一象限，则P(2,1)，|PN|＝2，|PA|＝eq \r(|PN|2＋|AN|2)＝2eq \r(2)，sin∠PAN＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(|PA|,|PB|)的最大值为eq \r(2).故选B.
二、多选题
9．(2024·辽宁鞍山质检)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是( BD )
A．若F(1,0)，则l：x＝－eq \f(1,2)
B．若F(1,0)，则弦AB最短长度为4
C．存在以AB为直径的圆与l相交
D．若直线AB：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，且A点在x轴的上方，则eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))
[解析] 若F(1,0)，则eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，故l：x＝－eq \f(p,2)＝－1，故A错误；若F(1,0)，则eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，设过点F(1,0)的直线方程为x＝ky＋1，联立其与抛物线的方程可得y2－4ky－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16>0，y1＋y2＝4k，故|AB|＝x1＋x2＋p＝k(y1＋y2)＋4＝4k2＋4≥4，故当k＝0时，此时弦AB最短长度为4，故B正确；设AM⊥l于M，BN⊥l于N，Q为AB中点，HQ⊥l于H，易知|QH|＝eq \f(1,2)(|AM|＋|BN|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(|AB|,2)，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误；(或AB的中点为E，设过点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线方程为x＝ky＋eq \f(p,2)，联立其与抛物线的方程可得y2－2pky－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝4p2k2＋4p2>0，y1＋y2＝2pk，因为Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，故Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(pk2＋\f(p,2)，pk))，则点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(pk2＋\f(p,2)，pk))到准线l：x＝－eq \f(p,2)的距离为pk2＋p，而eq \f(|AB|,2)＝eq \f(x1＋x2＋p,2)＝eq \f(ky1＋y2＋2p,2)＝eq \f(2pk2＋2p,2)＝pk2＋p，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误)联立AB：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))与抛物线方程可得3x2－5px＋eq \f(3p2,4)＝0，解得x＝eq \f(3p,2)，或x＝eq \f(p,6)，由于A点在x轴的上方，所以xA＝eq \f(3p,2)，xB＝eq \f(p,6)，故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)，\r(3)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,6)，－\f(\r(3)p,3)))，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则eq \(AF,\s\up6(→))＝(－p，－eq \r(3)p)，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,3)，－\f(\r(3)p,3)))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，D正确，故选BD.
10．(2024·贵州六校联盟联考)已知抛物线C：y＝ax2的顶点为O，准线为y＝－eq \f(1,2)，焦点为F，过F作直线l交抛物线于M，N两点(M在N的左边)，则( ACD )
A．a＝eq \f(1,2)
B．若直线l经过点(－1,0)，则|MN|＝eq \f(7,2)
C．线段|MN|的最小值为2
D．若eq \(FN,\s\up6(→))＝3eq \(MF,\s\up6(→))，则直线l的斜率为eq \f(\r(3),3)
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,a)y，准线为y＝－eq \f(1,2)，则a>0,2p＝eq \f(1,a)，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，∴y＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)＝－eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,2)，故A正确；又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，过F作直线l交抛物线于M，N两点，显然l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,2)，,y＝\f(1,2)x2，))整理得x2－2kx－1＝0，Δ＝4k2＋4>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，|MN|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(4k2＋4)＝2(k2＋1)；B选项，若直线l经过点(－1,0)，则k＝eq \f(1,2)，|MN|＝eq \f(5,2)，故B错误；C选项，当k＝0时，|MN|的最小值为2，故C正确；D选项，∵eq \(FN,\s\up6(→))＝3eq \(MF,\s\up6(→))，∴－3x1＝x2，又x1x2＝－1，x1<0，x2>0，解得x1＝－eq \f(\r(3),3)，又因为x1＋x2＝2k，所以k＝eq \f(\r(3),3)，故D正确．故选ACD.
11．(2024·贵州高三开学考试)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则|AB|＋|DE|可能的取值为( AB )
A．18 B．16
C．14 D．12
[解析] 解法一：由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0.因为抛物线C的焦点为F(1,0)，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2).由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2).同理可得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时，等号成立，所以|AB|＋|DE|∈[16，＋∞)，故选AB.
解法二：由图形对称性易知当kAB＝1时，|AB|＋|DE|取得最小值，且无最大值．此时AB：x－y－1＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－y－1＝0，))得x2－6x＋1＝0.从而x1＋x2＝6，∴|AB|min＝8.∴|AB|＋|DE|∈[16，＋∞)．故选AB.
三、填空题
12．(2023·高考全国乙卷)已知点A(1，eq \r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 eq \f(9,4) .
[解析] 由题意可得：(eq \r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq \f(5,4)，点A到C的准线的距离为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(9,4).
13．(2024·安徽安庆、池州、铜陵联考)过抛物线C：x2＝4y的焦点F的直线l与C交于A、B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝4eq \(FB,\s\up6(→))，O为坐标原点，则△OAB的面积为 eq \f(5,2) .
[解析] 易知，抛物线C的焦点为F(0,1)，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))可得x2－4kx－4＝0，
则Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝4k，①
x1x2＝－4，②
又eq \(AF,\s\up6(→))＝4eq \(FB,\s\up6(→))，
即(－x1,1－y1)＝4(x2，y2－1)，
即x1＝－4x2，③
由①②③得k＝eq \f(3,4)，∴x1＋x2＝3.
∴S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||x1－x2|
＝eq \f(1,2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(5,2).
14．(2024·湖南益阳月考)已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点，P为AB的中点，F为C的焦点，直线l与y轴交于点Q，则eq \(QF,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))的取值范围是 (16，＋∞).
[解析] 由x2＝8y可知：F(0,2)，
因为直线y＝kx－2在纵轴的截距为－2，
所以点Q的坐标为(0，－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,x2＝8y))⇒x2－8kx＋16＝0，
因为直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝(－8k)2－4×16>0⇒k2>1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝8k，x1x2＝16，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝8k2－4，所以P(4k,4k2－2)，
eq \(QF,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))＝(0,4)·(4k,4k2)＝16k2>16，
所以eq \(QF,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))的取值范围是(16，＋∞)．
四、解答题
15．(2019·全国新高考Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
[解析] 设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)，由题设可得x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq \f(4t－1,3).
从而－eq \f(4t－1,3)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
B组能力提升
1．(2024·湖北孝感重点中学模拟)设P为抛物线C：y2＝4x上的动点，A(2,4)关于P的对称点为B，记P到直线x＝－1，x＝－3的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＋|AB|的最小值为( A )
A．2eq \r(17)＋2 B．2eq \r(13)＋2
C.eq \r(17)＋2 D．eq \r(13)＋eq \r(17)＋2
[解析] 由题意知d2＝d1＋2，因为A(2,4)关于P的对称点为B，所以|PA|＝|PB|，所以d1＋d2＋|AB|＝2d1＋2＋2|PA|＝2(d1＋|PA|)＋2＝2(|PF|＋|PA|)＋2≥2|AF|＋2＝2eq \r(17)＋2，所以当P在线段AF上时，d1＋d2＋|AB|取得最小值，且最小值为2eq \r(17)＋2.
2．(2023·湖南郴州九校联盟适应性测试)经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，作斜率为2eq \r(2)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则λ＝( C )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)或3
C.eq \f(1,2)或2 D．3
[解析] 由题意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴直线l的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))可得4x2－5px＋p2＝0，解得x＝p或x＝eq \f(p,4)，∴λ＝eq \f(|\(AF,\s\up6(→))|,|\(BF,\s\up6(→))|)＝eq \f(p＋\f(p,2),\f(p,4)＋\f(p,2))＝2，或者λ＝eq \f(|\(AF,\s\up6(→))|,|\(BF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(p,4)＋\f(p,2),p＋\f(p,2))＝eq \f(1,2).故选C.
3.(2023·江苏扬州中学阶段测试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P在C上，直线2x－y－4＝0与坐标轴交于A，B两点，若△ABP面积的最小值为1，则p＝( B )
A．1 B．eq \f(3,2)
C．1或eq \f(5,2) D．eq \f(3,2)或eq \f(5,2)
[解析] 由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2py，,2x－y－4＝0，))⇒x2－4px＋8p＝0无解，否则若直线和抛物线有交点Q时，当P→Q时，△ABP面积将趋近0，故Δ＝16p2－32p<0，解得04．(2024·江西赣州模拟)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点(2,0)的直线交C于P、Q两点，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( A )
A.eq \f(\r(6),6) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2) D．1
[解析] 易知抛物线C的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若直线PQ与x轴重合，则直线PQ与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，设直线PQ的方程为x＝my＋2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2x，))可得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0，由韦达定理可得y1＋y2＝2m，则eq \f(x1＋x2,2)＝m·eq \f(y1＋y2,2)＋2＝m2＋2，故点M(m2＋2，m)，kMF＝eq \f(m,m2＋\f(3,2))，若直线MF的斜率取最大值，则m>0，所以，kMF＝eq \f(m,m2＋\f(3,2))＝eq \f(1,m＋\f(3,2m))≤eq \f(1,2\r(m·\f(3,2m)))＝eq \f(\r(6),6)，当且仅当m＝eq \f(3,2m)(m>0)时，即当m＝eq \f(\r(6),2)时，等号成立，故直线MF斜率的最大值为eq \f(\r(6),6).故选A.
5．(2024·辽宁六校协作体联考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)记P(4,0)，若抛物线C上存在两点B，D，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．
[解析] (1)由椭圆方程可得其右焦点为(1,0)，
∵抛物线与椭圆右焦点重合，∴eq \f(p,2)＝1，即p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x，准线为x＝－1.
(2)设直线BD的方程为y＝kx＋m，
联立直线与抛物线方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,y2＝4x，))可得
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2km－4)2－4k2m2>0，可得km<1，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(4－2km,k2)，x1x2＝eq \f(m2,k2)，
设BD的中点为M(x0，y0)，则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2－km,k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(2,k)，
∵△PBD为以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，
则kPM＝eq \f(\f(2,k)－0,\f(2－km,k2)－4)＝eq \f(2k,2－km－4k2)＝－eq \f(1,k)，整理可得km＝2－2k2，
∵km<1，则2－2k2<1，解得k<－eq \f(\r(2),2)或k>eq \f(\r(2),2)，
故直线BD的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).