2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系提能训练，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为( B )
A．x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0
C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0
[解析] 设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.可得要求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选B.
2．(2023·安徽合肥)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是( B )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[解析] ∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B.
3．(2024·河北保定重点中学开学考)已知直线l1：2x－ay＋1＝0，l2：(a－1)x－y＋a＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的( C )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－1＝2,a2≠1))⇔a＝2.故选C.
4．(2024·甘肃酒泉实验中学期中)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为( A )
A．2x＋3y－5＝0 B．2x＋y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x－y－7＝0
[解析] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1))⇒x＝y＝1，即交点为(1,1)，又斜率k＝－eq \f(2,3)，∴所求直线方程为y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选A.
5．(2024·河南顶尖名校联盟期中)已知直线l过点(2,3)和(－2,1)，则原点到直线l的距离为( C )
A.eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C．eq \f(4\r(5),5) D．3
[解析] kl＝eq \f(3－1,2－－2)＝eq \f(1,2)，∴l：y－1＝eq \f(1,2)[x－(－2)]，即l：x－2y＋4＝0，∴d＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5).故选C.
6．(2024·广东深圳外国语学校月考)已知直线2x＋y－3＝0与直线4x－my－3＝0平行，则它们之间的距离是( C )
A.eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(\r(5),10)
C．eq \f(3\r(5),10) D．eq \f(\r(5),5)
[解析] ∵直线2x＋y－3＝0与直线4x－my－3＝0，即2x－eq \f(m,2)y－eq \f(3,2)＝0平行，∴两平行线之间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))))),\r(22＋1))＝eq \f(3\r(5),10).故选C.
7．(2024·江苏苏州三校阶段测试)已知两定点A(－3,5)、B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为( D )
A．5eq \r(13) B．eq \r(34)
C．5eq \r(5) D．2eq \r(26)
[解析] 如下图所示：
由图形可知，点A、B在直线x－y＋1＝0的同侧，且直线x－y＋1＝0的斜率为1，设点B关于直线x－y＋1＝0的对称点为点B′(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)－\f(b＋8,2)＋1＝0，,\f(b－8,a－2)＝－1，))解得a＝7，b＝3，即点B′(7,3)，由对称性可知|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|＝eq \r(－3－72＋5－32)＝2eq \r(26)，故选D.
8．(2024·山东学情质检)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，若直线l：ax＋(a－3)y＋1＝0与△ABC的欧拉线垂直，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，－\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))
[解析] 由△ABC的顶点坐标，可知其重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋1＋1,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))).注意到kAB＝0，直线BC斜率不存在，则△ABC为直角三角形，则其垂心为其直角顶点B(1,0)，则△ABC的欧拉线方程为eq \f(y－\f(1,3),0－\f(1,3))＝eq \f(x－\f(1,3),1－\f(1,3))⇒y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).因其与l：ax＋(a－3)y＋1＝0⇒y＝eq \f(－a,a－3)x－eq \f(1,a－3)垂直，则eq \f(－a,a－3)＝2⇒a＝2.则l：y＝2x＋1，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝2x＋1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,5)，,y＝\f(3,5)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(3,5))).故选B.
二、多选题
9．已知A(1,2)，B(－3,4)，C(－2,0)，则( BD )
A．直线x－y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x－4y＋7＝0
[解析] 因为kOA＝2>1，kOB＝－eq \f(4,3)<0，所以直线x－y＝0与线段AB无公共点，A错误；因为kAB＝eq \f(4－2,－3－1)＝－eq \f(1,2)>－1，所以直线AB的倾斜角大于135°，B正确；因为线段BC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，2))，且直线BC的斜率为eq \f(4－0,－3＋2)＝－4，所以BC上的中垂线所在直线的方程为y－2＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,2)))，即y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(21,8)，C错误；因为kBC＝eq \f(4,－3＋2)＝－4，所以BC上的高所在直线的方程为y－2＝eq \f(1,4)(x－1)，即x－4y＋7＝0，D正确．
10．(2024·江西梧州一中月考)已知三条直线：直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是( ABC )
A．－2 B．1
C．2 D．3
[解析] 若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝－2；联立l2，l3可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,2x－y－5＝0，))可知l2，l3的交点为(2，－1)，若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2，故选ABC.
11．(2024·江西丰城中学月考)已知直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，下列说法正确的是( AD )
A．当a＝eq \f(2,5)时，l1⊥l2
B．当a＝－2时，l1∥l2
C．直线l1过定点(－3,0)，直线l2过定点(－1,1)
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为eq \f(5,13)eq \r(13)
[解析] 对于A，当a＝eq \f(2,5)时，那么直线l1为eq \f(2,5)x＋2y＋eq \f(6,5)＝0，直线l2为3x－eq \f(3,5)y＋7－eq \f(2,5)＝0，此时两直线的斜率分别为k1＝－eq \f(1,5)和k2＝5，所以有k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故A选项正确；对于B，当a＝－2时，那么直线l1为x－y＋3＝0，直线l2为x－y＋3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；对于C，由直线l1：ax＋2y＋3a＝0，整理可得a(x＋3)＋2y＝0，故直线l1过定点(－3,0)，直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，整理可得a(y－1)＋3x－y＋7＝0，故直线l2过定点(－2,1)，故C选项错误；对于D，当l1，l2平行时，两直线的斜率相等，即－eq \f(2,a)＝－eq \f(a－1,3)，解得a＝3或a＝－2，当a＝－2时，两直线重合，舍去；当a＝3时，直线l1为3x＋2y＋9＝0，l2为3x＋2y＋4＝0，此时两直线的距离d＝eq \f(|9－4|,\r(32＋22))＝eq \f(5\r(13),13)，故D选项正确．故选AD.
三、填空题
12．(2024·山东学情质检)若A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，则t＝ －eq \f(5,3)或－eq \f(7,9) .
[解析] 因为A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，所以eq \f(|3t＋4－3|,\r(1＋t2))＝eq \f(|－6t－3－3|,\r(t2＋1))，得到|3t＋1|＝|6t＋6|，解得t＝－eq \f(5,3)或t＝－eq \f(7,9).
13．(2024·江苏扬州高邮月考)点(1,2)关于直线2x－3y－9＝0对称的点的坐标为 (5，－4) .
[解析] 设点(1,2)关于直线2x－3y－9＝0对称的点的坐标是(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a－1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(1＋a,2)－3×\f(2＋b,2)－9＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－4，))所以点(1,2)关于直线2x－3y－9＝0对称的点的坐标是(5，－4)．
14．(2024·辽宁沈阳东北育才学校月考)过点P(1,2)引一直线l，使点A(2,3)和B(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是 3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 .
[解析] A，B的中点为Q(3，－1)，由几何意义知l∥AB或l是直线PQ时，满足题意．kAB＝eq \f(3－－5,2－4)＝－4，kPQ＝eq \f(2－－1,1－3)＝－eq \f(3,2)；l∥AB时，l方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，PQ方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0；故直线l的方程是3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.
四、解答题
15．(2024·辽宁部分学校联考)已知△ABC的顶点B(－2,0)，AB边上的高所在的直线方程为x＋3y－26＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为x＋y－2＝0；
②BC边上的中线所在的直线方程为y＝3.
若________________，求直线AC的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解析] (1)因为AB边上的高所在的直线方程为x＋3y－26＝0，
所以直线AB的斜率k＝3，
又因为△ABC的顶点B(－2,0)，
所以直线AB的方程为y＝3(x＋2)，
即3x－y＋6＝0.
(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x＋y－2＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,y＝3x＋6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，))
所以点A坐标为A(－1,3)，
设点B关于x＋y－2＝0的对称点为B′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－0,x0＋2)＝1，,\f(x0－2,2)＋\f(y0,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝4，))即B′(2,4)，
又点B′(2,4)在直线AC上，
所以AC的斜率kAC＝eq \f(4－3,2＋1)＝eq \f(1,3)，
所以直线AC的方程为y－4＝eq \f(1,3)(x－2)，
即x－3y＋10＝0.
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为y＝3，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3，,y＝3x＋6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，))所以点A(－1,3)，
设点C(x1，y1)，则BC的中点在直线y＝3上，
所以eq \f(y1＋0,2)＝3，即y1＝6，又点C(x1,6)在直线x＋3y－26＝0上，所以C(8,6)，
所以AC的斜率kAC＝eq \f(6－3,8＋1)＝eq \f(1,3)，所以直线AC的方程为y－6＝eq \f(1,3)(x－8)，即直线AC的方程为x－3y＋10＝0.
B组能力提升
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( B )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
[解析] 在△ABC中，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得eq \f(b,sin B)·eq \f(sin A,a)＝1.
又直线xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－eq \f(sin A,a)，直线bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝eq \f(b,sin B)，
所以k1·k2＝－eq \f(sin A,a)·eq \f(b,sin B)＝－1，
所以这两条直线垂直．故选B.
2．若直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则l的方程是( C )
A．3x－2y－5＝0 B．2x－3y－5＝0
C．2x＋3y＋1＝0 D．3x＋2y－1＝0
[解析] 设P(a,1)，则由题意知Q(2－a，－3)，∴2－a＋3－7＝0，即a＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝eq \f(1－－1,－2－1)＝－eq \f(2,3)，
∴l的方程为y＋1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y＋1＝0，故选C.
3．(多选题)(2024·浙江台州路桥中学月考)已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋my＝0将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是( ABD )
A．－1 B．－2
C．eq \f(1,2) D．0
[解析] 因为三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋my＝0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0，,x－2＝0，))解得x＝y＝2，此时2＋2m＝0，即m＝－1，当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，当l1∥l3时，m＝－2，当l2∥l3时，m＝0，所以m＝－2或m＝0.故选ABD.
4．(2024·浙江浙南名校联盟联考)已知A(－3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为( C )
A．2eq \r(10) B．6
C．eq \r(26) D．2eq \r(6)
[解析] 直线AB的方程为y＝x＋3，设点P(0,2)关于y＝x＋3的对称点为P1(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a)＝－1，,\f(b＋2,2)＝\f(a,2)＋3，))得a＝－1，b＝3，即P1(－1,3)，点P(0,2)关于x轴的对称点为P2(0，－2)，由题意可知，如图，点P1，P2都在光线CD上，并且利用对称性可知，|DP|＝|DP1|，|CP|＝|CP2|，所以光线经过的路程|PC|＋|CD|＋|DP|＝|P2C|＋|CD|＋|DP1|＝|P1P2|＝eq \r(26).故选C.
5．(2024·山东济南中学月考)若△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则BC边所在的直线方程为 2x－y＋5＝0 .
[解析] ∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，∴AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称，∴A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上，代入两点式方程可得eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－－1,－3－－1)，故所求直线BC的方程为2x－y＋5＝0.