2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5讲椭圆第2课时提能训练，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·湖北荆州沙市中学模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(7),6) D．eq \f(\r(6),6)
[解析] 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，故四边形AFBF2为平行四边形，
设|AF|＝m，∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，
|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝eq \f(2,3)a，
在△BFF2中，
(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cs 120°，整理得到4c2＝eq \f(28a2,9)，即c＝eq \f(\r(7),3)a，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3).故选A.
2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2eq \r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆的标准方程为( A )
A．x2＋eq \f(y2,3)＝1
B．x2＋3y2＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)＝1
D．x2＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,3)＋y2＝1
[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，
直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq \f(4,7)，
所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq \f(4,7)－2＝－eq \f(6,7)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),m)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),n)＝0，
整理得eq \f(x1＋x2x1－x2,m)＝－eq \f(y1＋y2y1－y2,n)，所以2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2n,3m)，即n＝3m.
又c＝n－m＝eq \r(2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3，,m＝1，))
故椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1.故选A.
3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为( A )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 当x＝c时，eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq \f(b2,a)，
∴A(－a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
又eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \f(c－a,2)·eq \f(b2,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故选A.
4．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( C )
A．2 B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(4\r(10),5) D．eq \f(8\r(10),5)
[解析] 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4t2－1,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).故选C.
5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为eq \f(π,6)的直线交椭圆于A，B两点，且eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( C )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(2),3)
[解析] 设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为eq \f(π,6)的直线方程为x＝eq \r(3)y－c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq \r(3)b2cy－b4＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq \f(b4,a2＋3b2)，①
因为eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，②
由①②得eq \f(3c2,a2＋3b2)＝eq \f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq \f(1,3)⇒e＝eq \f(\r(3),3).故选C.
6．(2024·江苏南通海安中学月考)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆另一焦点为E，由于B是短轴的一个端点，所以|BF|＝|BE|＝eq \r(|BO|2＋|OF|2)＝eq \r(b2＋c2)＝a，又eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以|FD|＝eq \f(1,2)a，由椭圆定义可得|DE|＝2a－|DF|＝2a－eq \f(1,2)a＝eq \f(3,2)a，由于∠DBE＝2∠FBO，所以cs∠DBE＝cs 2∠FBO，故eq \f(|BD|2＋|BE|2－|DE|2,2|BD||BE|)＝1－2sin2∠FBO＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，即eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))a)＝1－2e2，解得e＝eq \f(\r(3),3)，故选A.
7．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆E上存在点P满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，则椭圆E离心率的取值范围( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
[解析] 设P(x0，y0)，由椭圆的方程可得F1(－c,0)，F2(c,0)，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，
则(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝eq \f(a2,2)，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(a2,2)＋c2，
由P在椭圆上得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))，
所以可得eq \f(c2,a2)·xeq \\al(2,0)＋b2＝eq \f(a2,2)＋c2，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(4a2c2－a4,2c2).又xeq \\al(2,0)∈[0，a2]，
0≤eq \f(4a2c2－a4,2c2)≤a2，解得：eq \f(1,2)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2)，
即e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故选B.
二、多选题
8．如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝eq \f(π,3)，则下列说法正确的是( BCD )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)
C．椭圆的标准方程可以是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2eq \r(3)
[解析] 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq \f(π,3)得：2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq \r(3)，D正确．故选BCD.
9．(2024·河北沧州联考)已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m2)＝1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为线段MN的中点，则下列说法正确的是( AC )
A．m2＝6
B．椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),3)
C．直线l的方程为3x＋y－2＝0
D．△F2MN的周长为4eq \r(2)
[解析] 根据题意，因为焦点在y轴上，所以m2－2＝4，则m2＝6，故选项A正确；椭圆C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3)，故选项B不正确；根据点差法的结论可得kl·kOP＝－eq \f(6,2)＝－3，所以kl＝－3，所以直线l的方程为y－eq \f(1,2)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即3x＋y－2＝0，故选项C正确；因为直线l过F1，所以△F2MN的周长为4a＝4eq \r(6)，故选项D不正确，故选AC.
10．(2024·黑龙江佳木斯一中期中)已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则下列说法正确的有( AC )
A.eq \f(1,2)B．C的离心率为eq \r(\f(2m,1－m))
C．C的短轴长的取值范围是(2,2eq \r(2))
D．m的值越小，C的焦距越大
[解析] 曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则曲线C的标准方程为eq \f(y2,\f(1,1－m))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，其中a2＝eq \f(1,1－m)，b2＝eq \f(1,m)，
因为C的焦点在y轴上，所以eq \f(1,1－m)>eq \f(1,m)>0，即eq \f(1,2)C的离心率为e＝eq \r(\f(\f(1,1－m)－\f(1,m),\f(1,1－m)))＝eq \r(\f(2m－1,m))，故B错误；
C的短轴长2b＝2eq \r(\f(1,m))，当eq \f(1,2)C的焦距2c＝2eq \r(\f(1,1－m)－\f(1,m))，当m＝eq \f(2,3)时，2c＝eq \r(6)；当m＝eq \f(3,4)时，2c＝eq \f(4\r(6),3)>eq \r(6)，故D错误．故选AC.
三、填空题
11．设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 －5 .
[解析] 由题意可知F2(3,0)，
由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|.
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a(当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号)，
又|MF2|＝eq \r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
12．(2024·山东济南摸底)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点为B，两个焦点为F1，F2，线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为 eq \f(1,2) .
[解析] 由题意知|BF1|＝|F1F2|，
∴eq \r(b2＋c2)＝2c，即a＝2c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
四、解答题
13．(2022·西南四省名校联考改编)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，左，右焦点分别为F1，F2，在椭圆E上任取一点P，△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求|AB|的取值范围．
[解析] (1)由△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1)，得
2a＋2c＝4(eq \r(2)＋1)，即a＋c＝2(eq \r(2)＋1)．①
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，②
由①②解得：a＝2eq \r(2)，c＝2.
所以b2＝a2－c2＝4.
故椭圆E的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率为0时，AB的方程为y＝0，
将y＝0代入椭圆方程得：x＝±2eq \r(2).
∴|AB|＝4eq \r(2).
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2－8＝0，,x＝ty＋2))消去x整理得：
(t2＋2)y2＋4ty－4＝0，Δ＝16t2＋16(t2＋2)>0⇒t∈R，
由根与系数的关系得：y1＋y2＝－eq \f(4t,t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,t2＋2)，
|AB|＝eq \r(1＋t2[y1＋y22－4y1y2])＝eq \f(4\r(2)t2＋1,t2＋2)
＝4eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,t2＋2))).
∵0∴2eq \r(2)≤|AB|<4eq \r(2).
综上，|AB|的取值范围为[2eq \r(2)，4eq \r(2)]．
14．(2024·四川巴中诊断)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆C上，且eq \(MA1,\s\up6(→))·eq \(MA2,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积．
[解析] (1)由题意知A1(－a,0)，A2(a,0)，
又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，则eq \(MA1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a－1，－\f(3,2)))，eq \(MA2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1，－\f(3,2)))，
∴(－a－1)(a－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＝－eq \f(3,4)，解得a＝2(负值舍去)，
由Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆C上及a＝2得eq \f(1,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，
解得b2＝3，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由(1)知，右焦点为F(1,0)，
据题意设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)，
则k1＝eq \f(y1－\f(3,2),my1)＝eq \f(2y1－3,2my1)，k2＝eq \f(y2－\f(3,2),my2)＝eq \f(2y2－3,2my2)，
于是由k1＋k2＝0得eq \f(2y1－3,2my1)＋eq \f(2y2－3,2my2)＝0，
化简得4y1y2＝3(y1＋y2)(*)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,3x2＋4y2－12＝0，))消去x整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝－eq \f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4)，
代入(*)式得－eq \f(18m,3m2＋4)＝－eq \f(36,3m2＋4)，
解得m＝2，
∴直线l的方程为x－2y－1＝0，
解法一：Δ＝144(22＋1)＝720，y1＋y2＝－eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(9,16)，
|PQ|＝eq \r(1＋22)|y1－y2|＝eq \f(\r(5)\r(720),16)＝eq \f(15,4)，
又点M到直线l的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(3,2)－1)),\r(1＋－22))＝eq \f(3\r(5),5)，
∴S△MPQ＝eq \f(1,2)|PQ|d＝eq \f(1,2)×eq \f(15,4)×eq \f(3\r(5),5)＝eq \f(9\r(5),8).
解法二：由题意可知S△MPQ＝S△MPF＋S△MQF＝eq \f(1,2)|MF|(|xP|＋|xQ|)＝eq \f(3,4)(|xP|＋|xQ|)，
将x－2y－1＝0代入3x2＋4y2－12＝0消去y得4x2＋2x－11＝0，
∴Δ＝22－4×4×(－11)＝180>0，
xP＋xQ＝－eq \f(1,2)，xPxQ＝－eq \f(11,4)<0，
∴S△MPQ＝eq \f(3,4)(|xP|＋|xQ|)＝eq \f(3,4)|xP－xQ|
＝eq \f(3,4)eq \r(xP＋xQ2－4xPxQ)＝eq \f(3,4)×eq \f(\r(180),4)＝eq \f(9\r(5),8).
注：也可直接解出xP，xQ求解．
B组能力提升
1．(2024·河北邢台五校质检联盟期中)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A、B，P为C上异于A、B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，则|MN|的最小值为( D )
A.eq \f(15,2) B．7
C．eq \f(13,2) D．6
[解析] 设P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，易知A(－2，0)，B(2,0)，直线PA和直线PB的斜率之积kPA·kPB＝eq \f(y0,x0＋2)·eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝－eq \f(3,4)，设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，则M(4,6k)，直线PB的方程为y＝－eq \f(3,4k)(x－2)，则Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－\f(3,2k)))，所以|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6k＋\f(3,2k)))≥2eq \r(6k·\f(3,2k))＝6.故选D.
2．(2023·河南濮阳摸底)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析] 由题意及椭圆的对称性知∠F1MF2＝eq \f(π,2).设椭圆上顶点为H，则∠F1HF2>eq \f(π,2)，即∠OHF2>eq \f(π,4)，∴c>b，∴c2>a2－c2，解得e＝eq \f(c,a)>eq \f(\r(2),2)，又03．(2024·河北保定部分学校月考)已知过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)左焦点F且与长轴垂直的弦长为3eq \r(2)，过点P(2,1)且斜率为－1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为( D )
A．6 B．2eq \r(2)＋3
C．2eq \r(3)＋3 D．3eq \r(2)＋3
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，∴a2＝2b2.①
又点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(3\r(2),2)))在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(9,2b2)＝1，
即1－eq \f(b2,a2)＋eq \f(9,2b2)＝1，∴eq \f(b2,a)＝eq \f(3\r(2),2).②
由①②可得a＝3eq \r(2)，b＝3，从而c＝3，
∴所求最大值为a＋c＝3eq \r(2)＋3.故选D.
4．(2023·浙江温州适应性考试)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 eq \f(\r(2),2) .
[解析] |MF1|·|MF2|＝|MF1|(2a－|MF1|)＝－|MF1|2＋2a|MF1|＝－(|MF1|－a)2＋a2，|MF1|＝a时，|MF1|·|MF2|取最大值a2，|MF1|∈[a－c，a＋c]，|MF1|·|MF2|最小值－c2＋a2＝b2，∴a2＝2b2＝2c2，∴e＝eq \f(\r(2),2).
5．(2023·四川内江零模)已知A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1上的两点．
(1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值；
(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围．
[解析] (1)设直线AB的方程为y＝x＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x2＋3y2＝3，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－eq \f(3m,2)，x1x2＝eq \f(3m2－3,4)，
Δ＝48－12m2>0，
所以|AB|＝eq \r(2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3m,2)))2－3m2－3)))＝eq \r(6－\f(3m2,2))≤eq \r(6).
当m＝0(满足Δ>0)时，|AB|取得最大值eq \r(6).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
第一种情况，若直线AB平行于x轴，则线段AB的垂直平分线为y轴，即t＝0，
第二种情况，若直线AB不平行于x轴，
又因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x1≠x2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),3)＋y\\al(2,1)＝1，,\f(x\\al(2,2),3)＋y\\al(2,2)＝1，))两式相减整理得
eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq \f(1,3)， ①
因为M(x0，y0)是AB的中点，
所以2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
因为MN⊥AB，
所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,kMN)＝eq \f(t－x0,y0)，
所以①变形为eq \f(t－x0,y0)·eq \f(2y0,2x0)＝－eq \f(1,3)，化简得t＝eq \f(2,3)x0，
其中－eq \r(3)所以－eq \f(2\r(3),3)综上两种情况，t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).