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2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系提能训练
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系提能训练，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为( D )
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
[解析] 由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为eq \f(1,2)，所以l的方程为：y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D.
2．(2024·山西三重教育联盟联考)已知直线l过点P(－1，0)，且l与圆x2＋y2－2x＝0有两个公共点，则l斜率的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
[解析] 设l：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由题意知eq \f(|2k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq \f(\r(3),3)3．(2024·重庆名校联盟期中)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( A )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[解析] 因为过点A(1，－1)与B(－1,1)，
所以线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq \f(1－－1,－1－1)＝－1，
所以线段AB的中垂线的斜率为k＝1，
所以线段AB的中垂线的方程为y＝x，
又因为圆心在直线x＋y－2＝0上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,y＝x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
所以圆心为(1,1)，r＝eq \r(1－12＋1＋12)＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选A.
4．(2024·河北示范性高中期中联考)已知点A，B在直线l：x＋y－2＝0上运动，且|AB|＝2eq \r(2)，点C在圆(x＋1)2＋y2＝1上，则△ABC的面积的最大值为( A )
A．3＋eq \r(2) B．3
C．2 D．3－eq \r(2)
[解析] 圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心M(－1,0)，半径为1，圆心M(－1,0)到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋0－2|,\r(12＋12))＝eq \f(3\r(2),2)，∵△ABC的面积最大时，点C到直线AB的距离最长，该最长距离即圆心到直线AB的距离加上圆的半径，∴△ABC边AB上高的最大值为eq \f(3\r(2),2)＋1，则△ABC的最大值为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)＋1))×2eq \r(2)＝3＋eq \r(2)，故选A.
5．(2024·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2eq \r(2)x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝( A )
A．8－2eq \r(2)或－10－2eq \r(2)
B．－11或9
C．11或－9
D．－8＋2eq \r(2)或10＋2eq \r(2)
[解析] 依题知圆心C(1，－1)，半径为3，则eq \f(|2\r(2)－－1＋b|,\r(2\r(2)2＋－12))＝3，解得b＝8－2eq \r(2)或b＝－10－2eq \r(2).故选A.
6．(2024·山东济南摸底)过点(－2,0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝( D )
A．－4 B．－2eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4
[解析] 圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq \r(4＋m)，过点(－2,0)与圆相切的两条直线垂直，则点(－2,0)到圆心(2,0)的距离为eq \r(2)r，即4＝eq \r(2)×eq \r(4＋m)，解得m＝4.故选D.
7．(2024·湖南部分校摸底)若圆心在第一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x＋y－11＝0的距离为( D )
A．1 B．eq \f(6\r(5),5)
C．2 D．eq \r(5)
[解析] 由题设可设圆心为(a，a)(a>0)，则圆的半径为a.故圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，再把点(2,0)代入得(2－a)2＋(0－a)2＝a2，解得a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，故所求圆的圆心为(2,2)，故圆心到直线2x＋y－11＝0的距离d＝eq \f(|2×2＋2－11|,\r(22＋12))＝eq \r(5).故选D.
8．(2024·河北邢台五校质检联盟期中)已知圆C与y轴相切于点A(0,2)，且与直线4x－3y＋9＝0相切，则圆C的标准方程为( C )
A．(x－3)2＋(y－2)2＝9
B．(x＋3)2＋(y－2)2＝9
C．(x－3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9)
D．(x＋3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9)
[解析] 因为圆C与y轴相切于点A(0,2)，所以可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2.因为圆C与直线4x－3y＋9＝0相切，所以d＝eq \f(|4a＋3|,5)＝|a|，所以a＝3或a＝－eq \f(1,3)，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9).
9．(2024·江苏连云港高级中学月考)已知圆x2＋y2＝4上有四个点到直线y＝x＋b的距离等于1，则实数b的取值范围为( A )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．[－eq \r(2)，eq \r(2)]
C．(－2,2) D．(－1,1)
[解析] 由圆的方程x2＋y2＝4，可得圆心为原点O(0,0)，半径为2，若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y＝x＋b的距离d小于1，∴d＝eq \f(|b|,\r(2))<1，解得－eq \r(2)二、多选题
10．(2023·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则( AB )
A．直线l与圆C一定相交
B．直线l过定点(－2,2)
C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq \r(2)
D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条
[解析] 由题意可知直线l过定点A(－2,2)，圆心C的坐标为(0,1)，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A，B正确；设圆心C到直线l的距离为d，则d≤|AC|＝eq \r(5)，则C错误；因eq \f(|2m|,\r(m＋12＋4))＝2得m＝－eq \f(5,2)，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误．
11．(2023·河北沧州模拟)已知点P(2,4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上的动点，则( ABD )
A．|AB|的最小值为2eq \r(5)
B．P到l的距离的最大值为2eq \r(5)
C.eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))的最小值为12－2eq \r(5)
D．|PR|的最大值为4eq \r(2)＋3
[解析] 如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2eq \r(5)，故A正确；
当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|＝2eq \r(5)，故B正确；
设R(6＋3cs θ，3sin θ)，则eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))＝(2，－4)·(4＋3cs θ，3sin θ－4)＝6cs θ－12sin θ＋24＝6eq \r(5)cs(θ＋φ)＋24，则eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))的最小值为24－6eq \r(5)，故C错误；
当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|＋r＝4eq \r(2)＋3，所以D正确．故选ABD.
三、填空题
12．(2024·江西新余一中期中)已知实数x，y满足x2－2x＋y2＝0，则eq \f(2y,x＋1)的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) .
[解析] 设eq \f(y,x＋1)＝k，则kx－y＋k＝0，又x2－2x＋y2＝0⇔(x－1)2＋y2＝1，由eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤1得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(2y,x＋1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).
13．(2024·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程 x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4(写出其中的一个即可) .
①圆M与x轴相切；
②圆M与直线l相切；
③圆M的半径为2.
[解析] 当圆心为M(a,2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a－10|,\r(42＋32))＝2，解得a＝0或a＝5.当圆心为M(a，－2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a＋2|,\r(42＋32))＝2，解得a＝2或a＝－3.所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4.
14．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为 eq \r(10)－eq \r(3) .
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
∵eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，∴(x－2)2＋y2＝3，
即P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为eq \r(3)的圆，点(2,0)到直线l的最短距离为eq \r(10)，则可得点P到直线l的距离的最小值为eq \r(10)－eq \r(3).
四、解答题
15．(2024·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)解法一：∵kMN＝1，
∴MN中垂线的方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
即x＋y－1＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x＋2y＋1＝0，))得C(3，－2)，又r2＝|CM|2＝9，
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9，
即x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
解法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－E＋1＝0，,4－2E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝4，,F＝4，))
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
理由如下：假设符合条件的实数a存在．
由(1)得圆心C为(3，－2)，因为直线l垂直平分弦AB，
所以圆心C(3，－2)必在直线l上，
所以直线l的斜率kPC＝－2.
又kAB＝a＝－eq \f(1,kPC)，所以a＝eq \f(1,2).
又圆C的半径r＝3，圆心C到直线eq \f(1,2)x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2＋1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1))＝eq \f(9\r(5),5)>3，
所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
B组能力提升
1．(2023·贵州铜仁适应性考试)过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是( C )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5
[解析] 因为A(0,1)，B(0,3)，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝eq \f(|t－2－1|,\r(2))＝eq \f(|t－3|,\r(2))，又因为r＝|AC|＝eq \r(t2＋2－12)＝eq \r(t2＋1)，所以eq \f(|t－3|,\r(2))＝eq \r(t2＋1)，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7，当t＝1时，r＝|AC|＝eq \r(2)，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2；当t＝－7时，r＝|AC|＝5eq \r(2)，此时圆的方程为(x＋7)2＋(y－2)2＝50.综上所述，满足条件的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2或(x＋7)2＋(y－2)2＝50.故选C.
2．(2024·江苏淮安淮阴中学期中)若方程x＋b＝eq \r(4－x2)有两个实数解，则实数b的取值范围为( D )
A．[－2,2eq \r(2)] B．(0,2eq \r(2)]
C．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) D．[2,2eq \r(2))
[解析] 方程x＋b＝eq \r(4－x2)有两个实数解即曲线y＝eq \r(4－x2)与y＝x＋b有两个公共点，曲线y＝eq \r(4－x2)表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分(包括端点)，如图所示．
由图形知，当直线y＝x＋b经过点(0,2)时，直线与曲线有2个公共点，此时有b＝2；当直线与圆相切时，可得eq \f(|b|,\r(2))＝2，解得b＝2eq \r(2)或b＝－2eq \r(2)(舍去)．结合图形可得实数b的取值范围是[2,2eq \r(2))．故选D.
3．(多选题)(2021·全国高考)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)、B(0,2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
[解析] 圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为eq \f(|5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)，所以，点P到直线AB的距离的最小值为eq \f(11\r(5),5)－4<2，最大值为eq \f(11\r(5),5)＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝eq \r(0－52＋2－52)＝eq \r(34)，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝eq \r(|BM|2－|MP|2)＝3eq \r(2)，C、D选项正确．
故选ACD.
4．(2023·天津和平区模拟)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则圆C的标准方程为_x2＋(y＋2)2＝5__.
[解析] 因为圆心坐标为(0，m)，直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，根据圆心和切点的连线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以eq \f(m－－1,0－－2)＝－eq \f(1,2)，解得m＝－2，根据两点间的距离公式，可得圆C的半径r＝eq \r(0＋22＋－2＋12)＝eq \r(5)，
故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5.
5．(2024·江西上饶高中期中)已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5))).
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．求|PN|2＋|QN|2的最大值．
[解析] (1)由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5)))，设C(a,0)，
直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－eq \f(4,3)，
则kCM＝eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)，所以eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－1.
所以a＝－1，所以C(－1,0)，|CM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))2)＝2，即r＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,x＋12＋y2＝4，))
可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
Δ＝4＋12(1＋k2)>0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(2,1＋k2)，x1x2＝－eq \f(3,1＋k2)，
∴|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16，
令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，
所以eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16＝eq \f(4t,1＋t－32)＋16＝eq \f(4,t＋\f(10,t)－6)＋16≤eq \f(4,2\r(t·\f(10,t))－6)＋16＝eq \f(4,2\r(10)－6)＋16＝2eq \r(10)＋22，
当且仅当t＝eq \f(10,t)，即t＝eq \r(10)时取等号，此时k＝eq \r(10)－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2eq \r(10)＋22.
一、单选题
1．(2023·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为( D )
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
[解析] 由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为eq \f(1,2)，所以l的方程为：y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D.
2．(2024·山西三重教育联盟联考)已知直线l过点P(－1，0)，且l与圆x2＋y2－2x＝0有两个公共点，则l斜率的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
[解析] 设l：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由题意知eq \f(|2k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq \f(\r(3),3)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
[解析] 因为过点A(1，－1)与B(－1,1)，
所以线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq \f(1－－1,－1－1)＝－1，
所以线段AB的中垂线的斜率为k＝1，
所以线段AB的中垂线的方程为y＝x，
又因为圆心在直线x＋y－2＝0上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,y＝x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
所以圆心为(1,1)，r＝eq \r(1－12＋1＋12)＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选A.
4．(2024·河北示范性高中期中联考)已知点A，B在直线l：x＋y－2＝0上运动，且|AB|＝2eq \r(2)，点C在圆(x＋1)2＋y2＝1上，则△ABC的面积的最大值为( A )
A．3＋eq \r(2) B．3
C．2 D．3－eq \r(2)
[解析] 圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心M(－1,0)，半径为1，圆心M(－1,0)到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋0－2|,\r(12＋12))＝eq \f(3\r(2),2)，∵△ABC的面积最大时，点C到直线AB的距离最长，该最长距离即圆心到直线AB的距离加上圆的半径，∴△ABC边AB上高的最大值为eq \f(3\r(2),2)＋1，则△ABC的最大值为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)＋1))×2eq \r(2)＝3＋eq \r(2)，故选A.
5．(2024·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2eq \r(2)x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝( A )
A．8－2eq \r(2)或－10－2eq \r(2)
B．－11或9
C．11或－9
D．－8＋2eq \r(2)或10＋2eq \r(2)
[解析] 依题知圆心C(1，－1)，半径为3，则eq \f(|2\r(2)－－1＋b|,\r(2\r(2)2＋－12))＝3，解得b＝8－2eq \r(2)或b＝－10－2eq \r(2).故选A.
6．(2024·山东济南摸底)过点(－2,0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝( D )
A．－4 B．－2eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4
[解析] 圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq \r(4＋m)，过点(－2,0)与圆相切的两条直线垂直，则点(－2,0)到圆心(2,0)的距离为eq \r(2)r，即4＝eq \r(2)×eq \r(4＋m)，解得m＝4.故选D.
7．(2024·湖南部分校摸底)若圆心在第一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x＋y－11＝0的距离为( D )
A．1 B．eq \f(6\r(5),5)
C．2 D．eq \r(5)
[解析] 由题设可设圆心为(a，a)(a>0)，则圆的半径为a.故圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，再把点(2,0)代入得(2－a)2＋(0－a)2＝a2，解得a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，故所求圆的圆心为(2,2)，故圆心到直线2x＋y－11＝0的距离d＝eq \f(|2×2＋2－11|,\r(22＋12))＝eq \r(5).故选D.
8．(2024·河北邢台五校质检联盟期中)已知圆C与y轴相切于点A(0,2)，且与直线4x－3y＋9＝0相切，则圆C的标准方程为( C )
A．(x－3)2＋(y－2)2＝9
B．(x＋3)2＋(y－2)2＝9
C．(x－3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9)
D．(x＋3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9)
[解析] 因为圆C与y轴相切于点A(0,2)，所以可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2.因为圆C与直线4x－3y＋9＝0相切，所以d＝eq \f(|4a＋3|,5)＝|a|，所以a＝3或a＝－eq \f(1,3)，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋(y－2)2＝eq \f(1,9).
9．(2024·江苏连云港高级中学月考)已知圆x2＋y2＝4上有四个点到直线y＝x＋b的距离等于1，则实数b的取值范围为( A )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．[－eq \r(2)，eq \r(2)]
C．(－2,2) D．(－1,1)
[解析] 由圆的方程x2＋y2＝4，可得圆心为原点O(0,0)，半径为2，若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线y＝x＋b的距离d小于1，∴d＝eq \f(|b|,\r(2))<1，解得－eq \r(2)
10．(2023·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则( AB )
A．直线l与圆C一定相交
B．直线l过定点(－2,2)
C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq \r(2)
D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条
[解析] 由题意可知直线l过定点A(－2,2)，圆心C的坐标为(0,1)，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A，B正确；设圆心C到直线l的距离为d，则d≤|AC|＝eq \r(5)，则C错误；因eq \f(|2m|,\r(m＋12＋4))＝2得m＝－eq \f(5,2)，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误．
11．(2023·河北沧州模拟)已知点P(2,4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上的动点，则( ABD )
A．|AB|的最小值为2eq \r(5)
B．P到l的距离的最大值为2eq \r(5)
C.eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))的最小值为12－2eq \r(5)
D．|PR|的最大值为4eq \r(2)＋3
[解析] 如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2eq \r(5)，故A正确；
当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|＝2eq \r(5)，故B正确；
设R(6＋3cs θ，3sin θ)，则eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))＝(2，－4)·(4＋3cs θ，3sin θ－4)＝6cs θ－12sin θ＋24＝6eq \r(5)cs(θ＋φ)＋24，则eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PR,\s\up6(→))的最小值为24－6eq \r(5)，故C错误；
当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|＋r＝4eq \r(2)＋3，所以D正确．故选ABD.
三、填空题
12．(2024·江西新余一中期中)已知实数x，y满足x2－2x＋y2＝0，则eq \f(2y,x＋1)的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) .
[解析] 设eq \f(y,x＋1)＝k，则kx－y＋k＝0，又x2－2x＋y2＝0⇔(x－1)2＋y2＝1，由eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤1得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(2y,x＋1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).
13．(2024·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程 x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4(写出其中的一个即可) .
①圆M与x轴相切；
②圆M与直线l相切；
③圆M的半径为2.
[解析] 当圆心为M(a,2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a－10|,\r(42＋32))＝2，解得a＝0或a＝5.当圆心为M(a，－2)时，圆M与直线l相切，即eq \f(|4a＋2|,\r(42＋32))＝2，解得a＝2或a＝－3.所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4.
14．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为 eq \r(10)－eq \r(3) .
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
∵eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝2，∴(x－2)2＋y2＝3，
即P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为eq \r(3)的圆，点(2,0)到直线l的最短距离为eq \r(10)，则可得点P到直线l的距离的最小值为eq \r(10)－eq \r(3).
四、解答题
15．(2024·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)解法一：∵kMN＝1，
∴MN中垂线的方程为y＋eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
即x＋y－1＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x＋2y＋1＝0，))得C(3，－2)，又r2＝|CM|2＝9，
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9，
即x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
解法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－E＋1＝0，,4－2E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝4，,F＝4，))
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
理由如下：假设符合条件的实数a存在．
由(1)得圆心C为(3，－2)，因为直线l垂直平分弦AB，
所以圆心C(3，－2)必在直线l上，
所以直线l的斜率kPC＝－2.
又kAB＝a＝－eq \f(1,kPC)，所以a＝eq \f(1,2).
又圆C的半径r＝3，圆心C到直线eq \f(1,2)x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2＋1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1))＝eq \f(9\r(5),5)>3，
所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
B组能力提升
1．(2023·贵州铜仁适应性考试)过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是( C )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5
[解析] 因为A(0,1)，B(0,3)，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝eq \f(|t－2－1|,\r(2))＝eq \f(|t－3|,\r(2))，又因为r＝|AC|＝eq \r(t2＋2－12)＝eq \r(t2＋1)，所以eq \f(|t－3|,\r(2))＝eq \r(t2＋1)，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7，当t＝1时，r＝|AC|＝eq \r(2)，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2；当t＝－7时，r＝|AC|＝5eq \r(2)，此时圆的方程为(x＋7)2＋(y－2)2＝50.综上所述，满足条件的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2或(x＋7)2＋(y－2)2＝50.故选C.
2．(2024·江苏淮安淮阴中学期中)若方程x＋b＝eq \r(4－x2)有两个实数解，则实数b的取值范围为( D )
A．[－2,2eq \r(2)] B．(0,2eq \r(2)]
C．(－2eq \r(2)，2eq \r(2)) D．[2,2eq \r(2))
[解析] 方程x＋b＝eq \r(4－x2)有两个实数解即曲线y＝eq \r(4－x2)与y＝x＋b有两个公共点，曲线y＝eq \r(4－x2)表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分(包括端点)，如图所示．
由图形知，当直线y＝x＋b经过点(0,2)时，直线与曲线有2个公共点，此时有b＝2；当直线与圆相切时，可得eq \f(|b|,\r(2))＝2，解得b＝2eq \r(2)或b＝－2eq \r(2)(舍去)．结合图形可得实数b的取值范围是[2,2eq \r(2))．故选D.
3．(多选题)(2021·全国高考)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)、B(0,2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
[解析] 圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为eq \f(|5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)，所以，点P到直线AB的距离的最小值为eq \f(11\r(5),5)－4<2，最大值为eq \f(11\r(5),5)＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝eq \r(0－52＋2－52)＝eq \r(34)，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝eq \r(|BM|2－|MP|2)＝3eq \r(2)，C、D选项正确．
故选ACD.
4．(2023·天津和平区模拟)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则圆C的标准方程为_x2＋(y＋2)2＝5__.
[解析] 因为圆心坐标为(0，m)，直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，根据圆心和切点的连线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以eq \f(m－－1,0－－2)＝－eq \f(1,2)，解得m＝－2，根据两点间的距离公式，可得圆C的半径r＝eq \r(0＋22＋－2＋12)＝eq \r(5)，
故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5.
5．(2024·江西上饶高中期中)已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5))).
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．求|PN|2＋|QN|2的最大值．
[解析] (1)由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(6,5)))，设C(a,0)，
直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－eq \f(4,3)，
则kCM＝eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)，所以eq \f(\f(6,5),\f(3,5)－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－1.
所以a＝－1，所以C(－1,0)，|CM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))2)＝2，即r＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,x＋12＋y2＝4，))
可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
Δ＝4＋12(1＋k2)>0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(2,1＋k2)，x1x2＝－eq \f(3,1＋k2)，
∴|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16，
令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，
所以eq \f(12＋4k,1＋k2)＋16＝eq \f(4t,1＋t－32)＋16＝eq \f(4,t＋\f(10,t)－6)＋16≤eq \f(4,2\r(t·\f(10,t))－6)＋16＝eq \f(4,2\r(10)－6)＋16＝2eq \r(10)＋22，
当且仅当t＝eq \f(10,t)，即t＝eq \r(10)时取等号，此时k＝eq \r(10)－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2eq \r(10)＋22.
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