2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时提能训练，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2024·广东惠州调研)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2＝( D )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)
[解析] 因为该双曲线的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，则eq \f(b,a)＝eq \r(2)，结合c2＝a2＋b2，可得eq \f(b,c)＝eq \r(\f(2,3)).又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，所以tan∠MF1F2＝eq \f(b2,2ac)＝eq \f(1,2)·eq \f(b,a)·eq \f(b,c)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(3),3).
2．(2024·江苏南通如皋调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为( B )
A.eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．3
[解析] 如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1，又因为若M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝eq \f(π,3)，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：y＝±eq \f(b,a)x，OF＝c，tan∠AOF＝eq \f(b,a)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.故选B.
3．(2023·浙江A9协作体联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是( B )
A.eq \r(2) B．eq \f(\r(10),2)
C．2 D．eq \r(10)
[解析] 设双曲线C的半焦距为c>0，由题意可知：|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因为PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,2)，所以双曲线的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \f(\r(10),2).故选B.
4．(2024·贵州高三开学考试)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|＝|AF|，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A.eq \r(3)x±y＝0 B．x±eq \r(3)y＝0
C.eq \r(2)x±y＝0 D．x±eq \r(2)y＝0
[解析] 由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为eq \f(c2,a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，所以y1＝eq \f(b2,a)，所以|AF|＝eq \f(b2,a).因为y2＝eq \f(bc,a)，所以|BF|＝eq \f(bc,a).因为|AB|＝|AF|，所以eq \f(bc,a)＝eq \f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(3)b，故eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,\r(3))x，即x±eq \r(3)y＝0，故选B.
5．(2023·广东惠州调研)设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则eq \f(|PF1|,|OP|)＝( A )
A.eq \r(6) B．2
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
[解析] 不妨设a＝1，c＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，则|PF2|＝b＝eq \r(2)，|OP|＝a＝1，cs∠POF2＝eq \f(\r(3),3)，cs∠POF1＝－eq \f(\r(3),3).由余弦定理可得，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|·cs∠F1OP＝3＋1－2×eq \r(3)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝6，所以|PF1|＝eq \r(6)，所以eq \f(|PF1|,|OP|)＝eq \r(6).故选A.
6．(2024·湖南师大附中月考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B.若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为( C )
A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(\r(5),2)
C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(4,3)
[解析] 由题意知F(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为eq \f(\r(3)a,2)，所以eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3)a,2)，因为a2＋b2＝c2，所以b＝eq \f(\r(3)a,2)，c2＝eq \f(7,4)a2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).故选C.
7．(2024·陕西西安阎、高、蓝、周四区联考)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>eq \f(|F1F2|,3)，则双曲线的离心率的取值范围是( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(3\r(5),5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)，＋∞))
C．(1，eq \r(3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))
[解析] 焦点F2(c,0)到渐近线y＝±eq \f(b,a)x的距离为d＝eq \f(|cb|,\r(a2＋b2))＝b，所以|AB|＝2eq \r(a2－b2)，因为|AB|>eq \f(2c,3)，即2eq \r(a2－b2)>eq \f(2c,3)，∴9(a2－b2)>c2.解得e21，∴18．(2024·贵州六校联盟联考)设直线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为eq \r(2)，则k1·k2＝( B )
A．3 B．1
C．2 D．eq \r(3)
[解析] 解法一：点A，B关于原点对称，设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，由点差法eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1①，eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1②，①减②得eq \f(x2－x\\al(2,0),a2)＝eq \f(y2－y\\al(2,0),b2)，则eq \f(y2－y\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))＝eq \f(b2,a2)，即k1·k2＝e2－1，又由e＝eq \r(2)，则k1·k2＝1，故选B.
解法二：由题意可取C：x2－y2＝1，不妨取k＝0，P(2，eq \r(3))，则A(－1,0)，B(1,0)，k1k2＝eq \f(\r(3),2＋1)×eq \f(\r(3),2－1)＝1.故选B.
二、多选题
9．(2024·河南摸底)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2＋3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(5)，点P是C上一点，则( ACD )
A．C的离心率为eq \r(5)
B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝eq \r(5)(其中O为坐标原点)
D．点P到C的两条渐近线的距离之积为eq \f(4,5)
[解析] 因为|F1F2|＝2eq \r(5)，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1.双曲线C的离心率e＝eq \r(5)，故A正确；由题可得F1(－eq \r(5)，0)，又PF1⊥x轴，所以xP＝－eq \r(5)，则5－eq \f(y\\al(2,P),4)＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B错误；因为|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以|PO|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝eq \r(5)，故C正确；设P(x0，y0)，则xeq \\al(2,0)－eq \f(y\\al(2,0),4)＝1，因为双曲线C的渐近线方程为x－eq \f(y,2)＝0或x＋eq \f(y,2)＝0，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))·eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(4,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－\f(y\\al(2,0),4)))＝eq \f(4,5)，故D正确．故选ACD.
10．(2024·江苏省泰州市模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的为( BD )
A．|AB|的最小值为eq \f(32,3)
B．以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x
C．满足|AB|＝2的直线有3条
D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
[解析] 当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则|AB|＝2a＝6，又62，此时无满足条件的直线．当A，B两点分别在双曲线一支上时(实轴为最短弦)，则|AB|≥2a＝6>2，此时无满足条件的直线．故选项C不正确；过右焦点F分别作两渐近线的平行线l1，l2，如图，将l1绕焦点F沿逆时针方向旋转到与l2重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点．此时直线l的斜率k>eq \f(4,3)或k<－eq \f(4,3)，故选项D正确．故选BD.
三、填空题
11．(2024·河北石家庄二中调研)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在其渐近线上，则双曲线方程为 eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 .
[解析] 由题意知c＝5，eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5，故双曲线方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1.
12．(2024·贵州遵义统测)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝eq \r(3)c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为 eq \r(3)＋1 .
[解析] 如图，因为|PO|＝c＝|F1O|＝|F2O|，∴∠F1PF2＝eq \f(π,2)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴3c2＋(eq \r(3)c－2a)2＝4c2,2c2－4eq \r(3)ac＋4a2＝0，e2－2eq \r(3)e＋2＝0，解得e＝eq \r(3)＋1.
13．(2022·高考全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 2 .
[解析] 双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，e＝eq \f(c,a)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，直线y＝2x与C无公共点，可得eq \f(b,a)≤2，即eq \f(b2,a2)≤4，即eq \f(c2－a2,a2)≤4，可得1四、解答题
14．已知过点P(2,0)的直线l1与双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1的左右两支分别交于A、B两点．求直线l1的斜率k的取值范围．
[解析] (1)当k＝0时，显然符合题意，
当k≠0时，设直线l1的方程为x＝ty＋2，其中t＝eq \f(1,k)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
与双曲线方程联立可得(t2－2)y2＋4ty＋2＝0，
因为直线l1与双曲线交于不同的两支，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝8t2＋16>0，,t2－2≠0，,y1y2>0，))又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－4t,t2－2)，,y1y2＝\f(2,t2－2)，))
所以eq \f(2,t2－2)>0，解得t2>2，即eq \f(1,k2)>2，所以k2综上可得－eq \f(\r(2),2)15．(2023·山东济南模拟)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点(eq \r(3)，1)，且渐近线方程为y＝±x.
(1)求a，b的值；
(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．
[解析] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,a2)－\f(1,b2)＝1，,a＝b，))
解得a＝b＝eq \r(2).
(2)证明：由(1)得双曲线C的方程为x2－y2＝2.
易知直线AB一定不为水平直线且不与渐近线y＝±x平行，
所以可设直线AB的方程为x＝my＋n(m≠±1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1≠y2，D(－x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝2，,x＝my＋n，))
整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，
Δ＝4(n2＋2m2－2)＞0，则y1y2＝eq \f(n2－2,m2－1).
由于△ABD的外接圆过原点，且B，D两点关于y轴对称，
所以可设△ABD外接圆的方程为x2＋y2＋Ey＝0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＋Ey1＝0，,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＋Ey2＝0，))
所以y2(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))＝y1(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))，
因为xeq \\al(2,1)＝2＋yeq \\al(2,1)，xeq \\al(2,2)＝2＋yeq \\al(2,2)，
所以y2(2yeq \\al(2,1)＋2)＝y1(2yeq \\al(2,2)＋2)，
所以y1y2＝1，
所以y1y2＝eq \f(n2－2,m2－1)＝1，所以n2＝m2＋1，
则原点到直线AB的距离d＝eq \f(|n|,\r(m2＋1))＝1，
所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．
B组能力提升
1．(2024·浙江浙东北联盟期中)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若eq \(FP,\s\up6(→))＝2eq \(FT,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为( B )
A.eq \r(3) B．eq \r(5)
C．3 D．5
[解析] 如图所示，因为F(c,0)到其一条渐近线：y＝eq \f(b,a)x的距离：|FT|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a))),\r(1＋\f(b2,a2)))＝b，因为eq \(FP,\s\up6(→))＝2eq \(FT,\s\up6(→))，所以点T为PF中点，且|eq \(FP,\s\up6(→))|＝2|eq \(FT,\s\up6(→))|＝2b，|OT|＝eq \r(|OF|2－|FT|2)＝eq \r(c2－b2)＝a，又原点O为FF1的中点，所以|PF1|＝2|OT|＝2a，由双曲线的定义得：|PF|－|PF1|＝2b－2a＝2a，化简得：b＝2a，因为双曲线的离心率：e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，所以得：e＝eq \r(5)，故B项正确．故选B.
2．(多选题)(2024·湖北武汉硚口区质检)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是( BCD )
A．双曲线C的离心率为eq \r(3)
B．若l的斜率为2，则MN的中点为(8,12)
C．若∠F1MF2＝eq \f(π,3)，则△MF1F2的面积为3eq \r(3)
D．使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条
[解析] 由双曲线方程得a＝1，b＝eq \r(3)，故c＝2，则离心率e＝2，故A错误；
由方程知F1(－2,0)，F2(2,0)，则直线l的方程为y＝2(x－2)，
联立双曲线方程化简得x2－16x＋19＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝16，故eq \f(x1＋x2,2)＝8，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，
则eq \f(y1＋y2,2)＝12，故MN的中点为(8,12)，故B正确，
若∠F1MF2＝eq \f(π,3)，根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，由余弦定理可得
cs∠F1MF2＝eq \f(|MF1|2＋|MF2|2－|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|)，
即eq \f(1,2)＝eq \f(|MF1|－|MF2|2＋2|MF1|×|MF2|－16,2|MF1|·|MF2|)，
可得|MF1|·|MF2|＝12，所以△MF1F2的面积为eq \f(1,2)|MF1|·|MF2|·sin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)×12×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，故C正确；当直线MN⊥x轴时，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1为等腰三角形；
根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，两式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，若|MF1|＝|MN|，则|NF1|＝4，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋22＋y\\al(2,2)＝16，,3x\\al(2,2)－y\\al(2,2)＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\f(3,2)，,y2＝－\f(\r(15),2)，))可得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(\r(15),2)))，此时△MNF1为等腰三角形；由对称性易知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(15),2)))时△MNF1也为等腰三角形，综上使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条，故D正确．
3.(2024·广西北海模拟)如图，已知双曲线M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是 eq \f(\r(13)＋1,3) .
[解析] 设AF1的中点为P，连接OP，PF2，易得PO⊥AF1，∠PF1O＝60°，
所以|OF1|＝c，|PF1|＝eq \f(1,2)c，在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cs∠PF1F2＝eq \f(1,4)c2＋4c2－c2＝eq \f(13,4)c2，
所以|PF2|＝eq \f(\r(13),2)c，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝eq \f(\r(13),2)c－eq \f(1,2)c，
所以双曲线M的离心率
e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2c,\f(\r(13),2)c－\f(1,2)c)＝eq \f(\r(13)＋1,3).
4．(2024·辽宁沈阳东北育才学校适应性测试)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则eq \f(|PF\\al(2,1)|,|PF2|)的最小值为 8 .
[解析] 设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c＝eq \r(a\\al(2,1)－b\\al(2,1))＝eq \r(16－12)＝2，
故椭圆的离心率e1＝eq \f(c,a1)＝eq \f(1,2)，
从而双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,a)＝2，可得a＝1，
根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2，
故eq \f(|PF1|2,|PF2|)＝eq \f(|PF2|＋22,|PF2|)＝eq \f(|PF2|2＋4|PF2|＋4,|PF2|)
＝|PF2|＋eq \f(4,|PF2|)＋4，由双曲线的范围可得|PF2|≥c－a＝1，
根据基本不等式可得
|PF2|＋eq \f(4,|PF2|)＋4≥2eq \r(|PF2|×\f(4,|PF2|))＋4＝8，
当且仅当|PF2|＝eq \f(4,|PF2|)，
即|PF2|＝2时取“＝”，所以eq \f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为8.
5．(2024·陕西汉中联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq \r(6)，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
[解析] (1)依题意得2c＝2eq \r(6)，c＝eq \r(6)，一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，右焦点为(eq \r(6)，0)，
所以eq \f(|\r(6)b|,\r(b2＋a2))＝1，即eq \f(\r(6)b,c)＝1，eq \r(6)b＝eq \r(6)，所以b＝1，
所以a2＝c2－b2＝6－1＝5，
所以双曲线C的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，则直线l经过双曲线的顶点，不妨设l：x＝eq \r(5)，又渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),5)x，
将x＝eq \r(5)代入y＝eq \f(\r(5),5)x，得y＝1，将x＝eq \r(5)代入y＝－eq \f(\r(5),5)x，得y＝－1，
则|PQ|＝2，S△OPQ＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×2＝eq \r(5).
当直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋t，且k≠±eq \f(\r(5),5)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋t，,\f(x2,5)－y2＝1，))消去y并整理得(1－5k2)x2－10ktx－5t2－5＝0，
因为动直线l与双曲线C恰有1个公共点，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－5k2≠0，,Δ＝100k2t2＋41－5k25t2＋5＝0，))
得5k2＝t2＋1，
设动直线l与y＝eq \f(\r(5),5)x的交点为P，
与y＝－eq \f(\r(5),5)x的交点为Q，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋t，,y＝\f(\r(5),5)x，))得xP＝－eq \f(\r(5)t,\r(5)k－1)，同理得xQ＝－eq \f(\r(5)t,\r(5)k＋1)，
则|PQ|＝eq \r(1＋k2)|xP－xQ|＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5)t,\r(5)k－1)＋\f(\r(5)t,\r(5)k＋1)))＝eq \f(2\r(5)|t|\r(k2＋1),|5k2－1|)
因为原点O到直线l的距离d＝eq \f(|t|,\r(k2＋1))，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|PQ|d＝eq \f(1,2)·eq \f(2\r(5)|t|\r(k2＋1),|5k2－1|)·eq \f(|t|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(5)t2,|5k2－1|)，
又因为5k2＝t2＋1，所以eq \f(\r(5)t2,|5k2－1|)＝eq \f(\r(5)t2,t2)＝eq \r(5)，
即S△OPQ＝eq \r(5)，
故△OPQ的面积为定值，且定值为eq \r(5).