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2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形课件
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形课件，共60页。PPT课件主要包含了RsinA，RsinB，RsinC，题组二走进教材，题组三走向高考，名师点拨，角度2测量高度问题等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 正弦定理和余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
sin A∶sin B∶sin C
知识点二 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
知识点三 三角形常用面积公式
知识点四 实际问题中的常用术语
知识点五 实际测量中的常见问题
归 纳 拓 展在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A
9．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角：③若b2＋c2cs B，sin B>cs C，sin C>cs A等．
双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C．( )(2)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( )(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( )(4)在△ABC中，若bcs B＝acs A，则△ABC是等腰三角形．( )
A．45° B．75° C．105° D．60°
[解析] 解法一：∵acs B－bcs A＝c，∴sin Acs B－sin Bcs A＝sin C，∴sin(A－B)＝sin C，∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去)，
解法二：由acs B－bcs A＝c得sin Acs B－sin Bcs A＝sin C，即sin Acs B－sin Bcs A＝sin Acs B＋cs Asin B，∴cs Asin B＝0，又知sin B≠0，
考点突破 · 互动探究
利用正、余弦定理解三角形——自主练透
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是( )
3．(2024·南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝______.
4．(2023·全国甲理，16,5分)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝______.
2．正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．3．在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．4．已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理.
判断三角形的形状——师生共研
1．(2023·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 解法一(转化为三角函数)：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A．由正弦定理知上式可化为sin2Acs Asin B＝sin2Bcs Bsin A，∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．
解法二(转化为边)：同解法一可得2a2cs Asin B＝2b2sin Acs B．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．
2．(2024·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs C－2ccs B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
名师点拨：判断三角形形状的2种途径
【变式训练】1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C．所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，
正、余弦定理的综合应用——师生共研
角度1 三角形面积问题
名师点拨：三角形面积公式的应用原则2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
角度2 三角形中的范围问题(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
名师点拨：解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【变式训练】1．(角度1)(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求sin A的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．
(1)求A；(2)若b＝2，D为AB的中点，求CD的取值范围．
名师讲坛 · 素养提升
三角形中的实际测量问题角度1 测量距离问题(2023·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
[解析] 过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示，由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．
名师点拨：距离问题的常见类型及解法1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．
名师点拨：求解高度问题的三个关注点1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
角度3 角度问题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解析] 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcs 120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
名师点拨：角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．
【变式训练】1．(角度1)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为____________________m.
2．(角度2)(2024·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________________.
[解析] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
3．(角度3)(2023·宜昌模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 正弦定理和余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
sin A∶sin B∶sin C
知识点二 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
知识点三 三角形常用面积公式
知识点四 实际问题中的常用术语
知识点五 实际测量中的常见问题
归 纳 拓 展在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A
9．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角：③若b2＋c2
双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C．( )(2)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( )(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( )(4)在△ABC中，若bcs B＝acs A，则△ABC是等腰三角形．( )
A．45° B．75° C．105° D．60°
[解析] 解法一：∵acs B－bcs A＝c，∴sin Acs B－sin Bcs A＝sin C，∴sin(A－B)＝sin C，∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去)，
解法二：由acs B－bcs A＝c得sin Acs B－sin Bcs A＝sin C，即sin Acs B－sin Bcs A＝sin Acs B＋cs Asin B，∴cs Asin B＝0，又知sin B≠0，
考点突破 · 互动探究
利用正、余弦定理解三角形——自主练透
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是( )
3．(2024·南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝______.
4．(2023·全国甲理，16,5分)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝______.
2．正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．3．在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．4．已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理.
判断三角形的形状——师生共研
1．(2023·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 解法一(转化为三角函数)：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A．由正弦定理知上式可化为sin2Acs Asin B＝sin2Bcs Bsin A，∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．
解法二(转化为边)：同解法一可得2a2cs Asin B＝2b2sin Acs B．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．
2．(2024·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs C－2ccs B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
名师点拨：判断三角形形状的2种途径
【变式训练】1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C．所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，
正、余弦定理的综合应用——师生共研
角度1 三角形面积问题
名师点拨：三角形面积公式的应用原则2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
角度2 三角形中的范围问题(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
名师点拨：解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【变式训练】1．(角度1)(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求sin A的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．
(1)求A；(2)若b＝2，D为AB的中点，求CD的取值范围．
名师讲坛 · 素养提升
三角形中的实际测量问题角度1 测量距离问题(2023·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
[解析] 过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示，由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．
名师点拨：距离问题的常见类型及解法1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．
名师点拨：求解高度问题的三个关注点1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
角度3 角度问题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解析] 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcs 120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
名师点拨：角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．
【变式训练】1．(角度1)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为____________________m.
2．(角度2)(2024·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________________.
[解析] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
3．(角度3)(2023·宜昌模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°
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