2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件，共60页。PPT课件主要包含了瞬时变化率，nxn－1，cosx，－sinx，axlna，Cf′x，题组三走向高考，x－y＋1＝0，角度2求切点坐标，y＝ex或y＝x＋1等内容，欢迎下载使用。

【命题规律与备考策略】本章内容为高考必考内容，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等．复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用．
第一讲　导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率
2．导数的概念(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝______________________.
3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝______(C为常数)；(2)(xn)′＝______________(n∈Q*)；(3)(sin x)′＝______________；(4)(cs x)′＝________________；　(5)(ax)′＝________________；
(6)(ex)′＝________；(7)(lgax)′＝________；(8)(ln x)′＝______.
4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝___________________________.特别地：[C·f(x)]′＝______________(C为常数)．
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点二　导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为________________________.
yx′＝yu′·ux′
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
归 纳 拓 展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(　　)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)(2x)′＝x·2x－1．(　　)(6)[ln(－x)]′＝(ln x)′.(　　)
[解析]　(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．(3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．
题组二　走进教材2．(多选题)(选修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是(　　)
4．(选修2P82T10改编)某物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝5－2t＋3t2，则该物体在2秒末的瞬时速度是(　　)A．12米/秒 B．10米/秒C．8米/秒 D．6米/秒[解析]　利用位移的导数就是瞬时速度，求出s′，令t＝2求解即可．由题意物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝5－2t＋3t2，则s′＝－2＋6t，当t＝2时，s′＝－2＋6×2＝10，所以该物体在2秒末的瞬时速度是10米/秒．故选B．
6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是______________.
考点突破 · 互动探究
导数的基本运算——自主练透
1．(多选题)下列求导数运算正确的是(　　)A．(2 024x)′＝x2 024x－1D．(x23x)′＝2x3x＋x23xln 3
2．求下列函数的导数．(1)y＝x2sin x；
[解析]　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
3．若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝_______.[分析]　先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
名师点拨：导数计算的原则和方法1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．2．方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.
导数的几何意义——多维探究
角度1　求切线方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为___________________.[解析]　由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0处的切线的斜率为f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切点坐标为(0,1)，所以所求的切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________________.
名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
名师点拨：求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度3　导数的几何意义如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(　　)A．1 B．0 C．2 D．4
角度4　求参数的值(或范围)(2022·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
【变式训练】1．(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]　依题意得y′＝2cs x－sin x，y′|x＝π＝(2cs x－sin x)|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．
2. (角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(　　)A．2 B．1C．－2 D．－1
3．(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为(　　)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)
4．(角度4)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
名师讲坛 · 素养提升
公切线问题的模型求解曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
1．求两条曲线的公切线(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　　)C．1－ln 2 D．1－2ln 2
[解析]　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
[引申]本例中两曲线公切线方程为____________________.
y＝2x＋1－ln 2
【变式训练】已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________________________.
2．由公切线求参数(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．
[解析]　(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.
当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
名师点拨：两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路是：由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．
【变式训练】若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是____________________________.
(－1－ln 2，＋∞)