2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第3课时导数与函数的零点课件

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这是一份2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第3课时导数与函数的零点课件，共53页。PPT课件主要包含了与零点有关的综合问题等内容，欢迎下载使用。

考点突破 · 互动探究
判断、证明或讨论零点的个数
(2023·山东日照三模)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意，函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x＝(x－2)ex－a(x－ln x)，x>0，设m(x)＝x－ln x，x>0，当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，
又由m(1)＝1，所以m(x)≥1，令f(x)＝0，可得(x－2)ex－ax＋aln x＝0，
可得02时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(2)＝2－ln 2>0，即x>0时，h(x)>0恒成立，故01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e.又由x→0时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，因此，当0≤a名师点拨：利用导数研究方程根(函数零点)的技巧1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．3．利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
【变式训练】(2024·赣州适应性考试)已知函数f(x)＝ex－m－xln x，f(x)的导函数为f′(x)．(1)当m＝1时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝f′(x)－m＋1，讨论函数g(x)零点的个数．
[解析]　(1)证明：当m＝1时，f(x)＝ex－1－xln x(x>0)，∴f′(x)＝ex－1－ln x－1，令h(x)＝f′(x)＝ex－1－ln x－1，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝0，∴当x>0时，h(x)＝f′(x)＝ex－1－ln x－1≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由题意得，f′(x)＝ex－m－ln x－1，则g(x)＝f′(x)－m＋1＝ex－m－ln x－m(x>0)，令g(x)＝ex－m－ln x－m＝0，则ex－m＝ln x＋m，∴ex＝em(ln x＋m)，∴xex＝xem(ln x＋m)，∴xex＝em＋ln x(ln x＋m)，令φ(x)＝xex，则φ(x)＝φ(m＋ln x)，∵当x>0时，φ′(x)＝(x＋1)ex>0，∴当x>0时，φ(x)＝xex为单调递增函数，
∴x＝m＋ln x，∴m＝x－ln x(x>0)，
当01时，t′(x)>0，t(x)单调递增，∴t(x)min＝t(1)＝1，∴当m<1时，m＝x－ln x无解，即g(x)无零点；当m＝1时，m＝x－ln x有1个解，即g(x)有1个零点；当m>1时，m＝x－ln x有2个解，即g(x)有2个零点.
根据零点个数求参数范围
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
[解析]　利用导数求函数的最值＋利用导数研究函数的零点(理性思维、数学探索)若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1.
若x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零点；
名师点拨：利用函数零点求参数范围的方法1．利用零点的个数结合函数f(x)的单调性构建不等式求解．2．转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．3．分离参数(k＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝k与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．
【变式训练】设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，
(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
[解析]　(1)f′(x)＝3x2＋b.
x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况为：
【变式训练】已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[证明]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当xx0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
名师讲坛 · 素养提升
极值点偏移问题处理方法图说极值点偏移
方法(一)　对称变换对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题，其解题要点如下：(1)定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(3)判断单凋性，即利用导数讨论h(x)的单调性．(4)比较大小，即判断函数h(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
[探究]　本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定．
方法(二)　消参减元消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：
(2024·安徽六安一中模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R)．(1)证明：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；
[探究]　本题第(2)问要证明的方程f(x)＝0的根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，再利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系．显然构造函数的关键仍然是消掉参数．
方法(三)　比(差)值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的，设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
[证明]　欲证x1x2>e2，只需证ln x1＋ln x2>2.由函数f(x)有两个极值点x1，x2，可得函数f′(x)有两个零点，又f′(x)＝ln x－mx，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根．①＋②可得ln x1＋ln x2＝m(x1＋x2)，

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