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2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的单调性与最值课件
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的单调性与最值课件，共60页。PPT课件主要包含了单调递增，单调递减，上升的，下降的，单调性，单调区间，知识点二函数的最值，最大值，最小值，－15等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 函数的单调性1．单调函数的定义
2.单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的_________.
归 纳 拓 展1．复合函数的单调性函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
[解析] (1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在(－2,3)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是(－2,3)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．(4)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，增函数的积、商不一定具备单调性．
题组二 走进教材2．(必修1P85T1改编)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为__________________.
[－1,1]和[5,7]
4．(必修1P86T7改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，则其单调递减区间为____________；f(x)min＝_______.
7．(2023·新课标Ⅰ，4,5分)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)
考点突破 · 互动探究
[分析] (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法．
y＝－(x＋1)2＋4(x<0)图象开口向下，对称轴为x＝－1，∴增区间为(－∞，－1)，减区间为(－1,0)；∴f(x)的增区间为(0,1)，(－∞，－1)，减区间为(1，＋∞)，(－1,0)．
[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为_________________.[解析] 作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．
(－1,1)和(3，＋∞)
[引申2]本例(2)f(x)＝lg2(－x2＋4x＋5)的增区间为_______________.
名师点拨：求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法1．利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．2．定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．3．图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．4．导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．5．求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求简单函数的单调区间；(3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
注意：1．求函数单调区间，定义域优先．2．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
[解析] 画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在(0，＋∞)上单调递增，B，C中的函数在(0，＋∞)上不单调．故选AD.
2.函数f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．(－1,1) D．(1,3)[解析] 设t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0可得－1
角度4 利用单调性求参数的取值范围
名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．3．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
4．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．
2．(角度2)(2024·江苏模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋3x＋b(b为常数)，则f(x)在[－3，－1]上的最大值为_______.[解析] 根据f(0)＝0求得b，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案．依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即当x≥0时，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(1)＝4＋3－1＝6，所以f(x)在区间[－3，－1]上的最大值为－6.
3．(角度3)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_____________________________.
4．(角度4)已知函数y＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是______.[解析] 设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝lgau在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.综上得1
名师点拨：利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
名师讲坛 · 素养提升
[解析] (1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，所以f(x)在R上是减函数．
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 函数的单调性1．单调函数的定义
2.单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的_________.
归 纳 拓 展1．复合函数的单调性函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
[解析] (1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)
题组二 走进教材2．(必修1P85T1改编)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为__________________.
[－1,1]和[5,7]
4．(必修1P86T7改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，则其单调递减区间为____________；f(x)min＝_______.
7．(2023·新课标Ⅰ，4,5分)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)
考点突破 · 互动探究
[分析] (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法．
y＝－(x＋1)2＋4(x<0)图象开口向下，对称轴为x＝－1，∴增区间为(－∞，－1)，减区间为(－1,0)；∴f(x)的增区间为(0,1)，(－∞，－1)，减区间为(1，＋∞)，(－1,0)．
[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为_________________.[解析] 作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．
(－1,1)和(3，＋∞)
[引申2]本例(2)f(x)＝lg2(－x2＋4x＋5)的增区间为_______________.
名师点拨：求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法1．利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．2．定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．3．图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．4．导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．5．求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求简单函数的单调区间；(3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
注意：1．求函数单调区间，定义域优先．2．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
[解析] 画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在(0，＋∞)上单调递增，B，C中的函数在(0，＋∞)上不单调．故选AD.
2.函数f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．(－1,1) D．(1,3)[解析] 设t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0可得－1
角度4 利用单调性求参数的取值范围
名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．3．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
4．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．
2．(角度2)(2024·江苏模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋3x＋b(b为常数)，则f(x)在[－3，－1]上的最大值为_______.[解析] 根据f(0)＝0求得b，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案．依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即当x≥0时，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(1)＝4＋3－1＝6，所以f(x)在区间[－3，－1]上的最大值为－6.
3．(角度3)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_____________________________.
4．(角度4)已知函数y＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是______.[解析] 设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝lgau在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.综上得1
名师点拨：利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
名师讲坛 · 素养提升
[解析] (1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，所以f(x)在R上是减函数．
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