鞍山市第六中学2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份鞍山市第六中学2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-1B.-4C.1D.4
2．已知直线,点C在圆上运动,那么点C到直线l的距离的最大值为( )
A.B.C.D.
3．已知非零向量,满足,向量在向量方向上的投影向量是,则与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．设l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,若,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.8和0.5,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为( )
A.B.C.D.
6．数列的通项公式为,则( )
A.B.C.5D.8
二、多项选择题
7．针对时下的“抖音热”,校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数,若有90%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有______人( )
附表：
附：
A.20B.30C.35D.40
8．已知,均为锐角,,则取得最大值时,的值为( )
A.B.C.1D.2
9．已知函数在上是单调函数,则下列结论中正确的有( )
A.当时,的取值范围是
B.当时,的取值范围是
C.当时,的取值范围是
D.当时,的取值范围是
10．如图,正方体的棱长为2,E,F,G,H分别是棱,,,的中点,点M满足,其中,则下列结论正确的是( )
A.过M,E,F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形
B.三棱锥的体积为定值
C.当时,平面MEF
D.当时,三棱锥外接球的表面积为
11．在平面直角坐标系中,定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点,点Q在直线上,点P在圆上,点R在抛物线上．下列结论中正确的结论为( )
A.的最小值为2B.的最大值为
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．已知圆锥的底面半径为2,母线与底面所成的角为,则该圆锥的表面积为_____________．
13．函数的极大值点为_____________.
14．已知双曲线的右焦点为F,左、右顶点分别为,,轴于点F,且．当最大时,点P恰好在双曲线C上,则双曲线C的离心率为___________．
四、解答题
15．鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后,将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作,从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数,经统计,将分数按照,,,,,,分成7组,制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值,并估计这50名学生分数的中位数;
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在,,的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记为3人中分数在的人数,求的分布列和数学期望．
16．如图1,在平面五边形中,,且,,,,将沿折起,使点C到P的位置,且,得到如图2所示的四棱锥．
（1）求证;平面;
（2）若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．已知函数,．
（1）若曲线在处的切线与y轴垂直,求实数a的值;
（2）讨论函数的单调性．
18．焦点在x轴上的椭圆的左顶点为M,,,为椭圆上不同三点,且当时,直线和直线的斜率之积为．
（1）求b的值;
（2）若的面积为1,求和的值;
（3）在（2）的条件下,设的中点为,求的最大值．
19．设数列的前n项和为,已知,且．
（1）证明：为等比数列,并求数列的通项公式;
（2）设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
（3）高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过x的最大整数,如,,设,数列的前n项和为,求除以16的余数．
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得为纯虚数,
所以,解得,故D正确.
故选：D.
2．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为.
则圆心到直线的距离为：.
所以圆上的点C到直线距离的最大值为：.
故选：C.
3．答案：C
解析：由向量在向量上投影向量为,
所以得,
又因为,所以,故C正确.
故选：C.
4．答案：B
解析：若,,,则m与的位置关系不能确定;
若,因为,所以,又,所以成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：B
解析：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C,
则,,且A、B、C相互独立,
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D,
则,
设乙没有达优秀等级为事件E,则,
所以.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为
所以.
故选：C.
7．答案：BCD
解析：设男生可能有x人,由被调查的男女生人数相同知女生也有x人,填写列联表如下：
若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则,
即,解得,
由题意知,且x是5的整数倍,所以30,35,40都满足题意．
故选：BCD．
8．答案：D
解析：,
则,
所以,
整理得,
因为,均为锐角,且,即,
所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以,
所以取得最大值时,的值为2.
故选：D.
9．答案：AD
解析：根据题意,易知,即,因此.
当时,,因为,所以,
又因为函数在上是单调函数,所以,
解得,故A正确,C错误;
当时,,因为,所以,
又因为函数在上是单调函数,所以,
解得,故B错误,D正确.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：当时,点M与点H重合时,
过M,E,F三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形,
如图：
故A正确;
对于B,因为 可得点M是线段上一个动点,
又因为正方体中,平面平面,平面,
故平面,所以点M到平面的距离为定值,
而,所以三棱锥 是定值, 又因为,
故三棱锥的体积为定值,B正确;
当时,点M为中点,
因为,而平面MEF,
所以与平面MEF不平行,C错误;
当时,点M与点G重合,为等腰直角三角形,
则的外接圆半径为,
又因为平面,
所以三棱锥外接球的半径,
则,所以外接球表面积为,D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：对A：设,则（当且仅当时取“”）.故A错;
对B：设,则.则,故B对;
对C：设,,
则
（当且仅当,时取“”）.故C对;
对D：设,,
则
（当且仅当时取“”）.故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：已知圆锥的底面半径,圆锥母线与底面所成的角为,
所以圆锥的母线长为,
所以该圆锥的表面积为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：函数
则
令解得,,
当时,,函数单调递减
当时,,函数单调递增
当时,,函数单调递减
由以上可知,在处取得极大值
故答案为：2.
14．答案：
解析：如图：
因为轴,且P在双曲线上,所以,
又,所以Q为中点.
因为最大,所以经过,两点的圆与相切于Q,此时Q点坐标为,
圆心,
由
.
故答案为：.
15．答案：（1）;68.
（2）分布列见解析;
解析：（1）由.
又,.
所以,估计这50名学生分数的中位数为：.
（2）因为,,三组的频率之比为
所以从,,三组中抽取的人数分别为7,3,1.
由题意可取0,1,2,3
且;;
;.
所以的分布列为：
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中,,,
由余弦定理可得,
所以,
又因为,,所以为正三角形,
设的中点为F,连接,,可得,
又由,可得,且,平面,,
所以平面,因为平面,所以,
在中,可得,
在中,可得,
又因为,可得,所以,
因为,平面,且,所以平面.
（2）因为,所以,
又由平面,且,平面,所以,,
以E为原点,以,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,可得,,,
则,,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
设平面与平面所成的角为,由图象可得为锐角,
则
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17．答案：（1）1
（2）答案见解析
解析：（1）依题意,,
则,
因为在处的切线与轴垂直,所以,解得;
（2）由（1）知,
当时,由得,由得,
所以的单调递增区间为,单调递减区间,
当时,分以下三种情况：
若,则在定义域内恒成立,
所以的单调递增区间为,无单调递减区间;
若,令得或,令得,
所以的单调递增区间为,,单调递减区间为,
若,令得或,令得,
所以的单调递增区间为,,单调递减区间为,
综上所述,当时,在区间单调递增,在区间单调递减;
当时,在区间单调递增,无递减区间;
当时,在区间,单调递增,在区间单调递减;
当时,在区间,单调递增,在区间单调递减.
18．答案：（1）
（2）,;
（3）
解析：（1）因为,所以O,B,C三点共线,则必有点B和点C关于点O对称,
所以,,设直线和直线的斜率分别为,,
因为点M为椭圆的左顶点,所以,
所以,,
所以,
所以,
所以,所以,即;
（2）设过A,B两点的直线为l,
当直线l的斜率不存在时,A,B两点关于x对称,所以,,
因为在椭圆上,所以,又,
所以,即,结合可得,,
此时,,所以;
当直线l的斜率存在时,设其方程为,,
联立,消去y得,
其中①,
所以,,
所以
因为O到直线l的距离,
所以,
所以,整理的,符合①式,
此时,
;
（3）因为
,
所以,
即,当且仅当时等号成立,
此时为直角三角形且为直角,
故
,
解得,从而,此时等号可成立.
所以的最大值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）8
解析：（1）当时,,又,所以,
当时,①,
故②,
式子①-②得,,即,
又,故当时,,
故,即,
因为为首项为,公比为的等比数列,
故,故,
（2）由（1）知,,故,
对于任意,不等式恒成立,
即恒成立,
设,于是,
当时,,即,
当时,,即,
故,所以,
综上,的取值范围是;
（3）由（1）知,,
因为
,
当n为奇数时,,故,
当n为偶数时,,故,
所以
,
,
考虑当时,能被16整除,另外也能被16整除,
故除以16的余数为除以16的余数,
,
故除以16的余数为8.
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生
x
女生
x
总计
0
1
2
3
P