江苏省连云港市赣榆区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省连云港市赣榆区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量,,若,则( )
A.B.C.D.
2．有3名旅客到某地旅游,该地有4家旅馆可供他们选择,则不同的选择方法有( )
A.B.C.D.
3．若一组样本数据,,…,的方差为0.01,则数据,,,…,的方差为( )
4．某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在正六边形ABCDEF(边长为1个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正六边形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人抛掷2次骰子后棋子恰好又回到点A处,则不同走法种数为( )
A.5B.6C.7D.8
5．平行六面体中,已知底面四边形ABCD为矩形,,,,则( )
A.B.2C.D.10
6．展开式中的项数为( )
A.11B.12C.22D.
7．将4个1和3个0随机排成一行,则仅有2个0相邻的概率为( )
A.B.C.D.
8．在正方体中,点M,N分别是,BD上的动点,当线段MN的长最小时,直线MN与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的可能值为( )
A.6B.7C.8D.9
10．甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有2个红球,3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”,用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”;再从乙盒中随机取出一球,用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”,则( )
A.事件A与事件B是对立事件B.事件B与事件C是独立事件
C.D.
11．设构成空间的一个基底,下列说法正确的是( )
A.,,两两不共线,但两两共面
B.对空间任一向量,总存在有序实数组,使得
C.,,能构成空间另一个基底
D.若,则实数x,y,z全为零
12．已知,,,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若事件A,B,C两两独立,则
D.若事件A,B互斥,事件A,C独立,事件B,C独立,则
三、填空题
13．已知随机变量服从两点分布,若,则的标准差______.
14．在正四面体ABCD中,O为的重心,记,,若,,则______.(用,,表示)
15．已知展开式中的第4项是一次项,则______,展开式中系数最大的项是______.
16．将3个相同的红球,2个相同的白球,1个黄球随机排成一排,设3个红球中相邻的个数为(若互不相邻,则;若有且仅有2个相邻,则;若3个连在一起,则),2个白球中相邻的个数为(若不相邻,则;若相邻,则),记则______.
四、解答题
17．已知,求,.
18．如图,在四棱锥中,平面ABCD,PB与底面所成的角为,底面ABCD为直角梯形,,,.
（1）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值;
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.
19．已知随机变量X的概率分布表如下表所示:
其中,,,2,…,n,,记随机变量X的数学期望和方差分别为,.求证:
（1）;
（2）.
20．如图,在多面体ABCDE中,,,都是边长为2的等边三角形,平面平面BCD,平面平面BCD.
（1）判断A,B,D,E四点是否共面,并说明理由;
（2）在中,试在边BC的中线上确定一点Q,使得平面BCE.
21．一种微生物可以经过自身繁殖不断生存下来,繁殖后自身即消亡.设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代…,该微生物每代繁殖个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,(,2,3),且,,成公差为的等差数列.
（1）求,,;
（2）设Y表示1个微生物个体在第2代的个数,求随机变量Y的分布列和数学期望.
22．甲,乙,丙三人进行乒乓球单打比赛,约定:随机选择两人打第一局,获胜者与第三人进行下一局的比赛,先获胜两局者为优胜者,比赛结束.已知每局比赛均无平局,且甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,乙赢丙的概率为.
（1）若甲,乙两人打第一局,求比赛局数X的概率分布列;
（2）求甲成为优胜者的概率;
（3）为保护甲的比赛热情,由甲确定第一局的比赛双方,请你以甲成为优胜者的概率大为依据,帮助甲进行决策.
参考答案
1．答案：A
解析：,,,
则,解得.
故选:A.
2．答案：D
解析：有3名旅客到某地旅游,该地有4家旅馆可供他们选择,
则每位游客均有4种选择,故不同的选择方法有43种.解析：故选:D.
3．答案：B
解析：根据题意,一组样本数据,,…,的方差,
则数据,,,…,的方差为.
故选:B.
4．答案：B
解析：根据题意可知:,,
所以共有6种走法.
故选:B.
5．答案：A
解析：平行六面体中,已知底面四边形ABCD为矩形,,,,
,
,
.
故选:A.
6．答案：B
解析：因为二项式的展开式共有11项,
则多项式的展开式共有项.
故选:B.
7．答案：C
解析：4个1和3个0随机排成一行有种排法,
仅有2个0相邻即4个1产生5个空隙,将3个0分成2组,插到空隙中即可,有种排法,
则仅有2个0相邻的概率为.
故选:C.
8．答案：B
解析：点M,N分别是,BD上的动点,
∴线段MN的长最小时,MN为,BD的公垂线段,
在正方体中,平面,
,
则N为AC,BD的交点,
在平面内,过N作,垂足点为M,
此时MN即为直线与BD的公垂线段,
此时线段MN的长最小,
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,
则,,,,,
设,
则,,,
,M,C三点共线,,即,①,
由得,,②,
由①②得,,.
即,,.
设平面平面的法向量为,
则,,
则,即,令,则,,即,
设直线MN与平面所成角为,
则,,
即直线MN与平面所成角的正弦值为.
故选:B.
9．答案：BCD
解析：当时,第4,第5项二项式系数最大,此时满足条件,
当时,此时只有第5项二项式系数最大,此时满足条件,
当时,第5,第6项二项式系数最大,此时满足条件,
故选:BCD.
10．答案：AD
解析：对于A:事件BCD与事件B不能同时发生,且没有其他的可能结果,事件A与事件B是对立事件,故A正确;
对于B:事件B发生与否与事件C有关,事件B与事件C不是相互独立事件,故B错误;
对于C:,故C错误;
对于D:,,
所以,故D正确.
故选:AD.
11．答案：ABD
解析：对于A,是空间向量的一个基底,所以,,两两不共线,但两两共面,选项A正确;
对于B,因为构成空间的一个基底,所以对空间任一向量,
总存在唯一的有序实数组,使得,选项B正确;
对于C,因为,所以与,共面,,,不能构成空间另一个基底,选项C错误;
对于D,若存在不全为零的实数x,y,z,使得,则不一定构成空间的一个基底,
所以时,实数,选项D正确.
故选:ABD.
12．答案：ABD
解析：A选项,,即,则,A正确;
B选项,,则事件A,B为互斥事件,,B正确;
C选项,举例如从1,2,3,4四个数字中随机取一个,即事件“取出的数字为1或3”,事件“取出的数字为1或3”,事件“取出的数字为1或4”,“取出的数字为1”,
则,,
满足,,,
即事件A,B,C两两独立,但,故C错误;
D选项,,D正确.
故选:ABD.
13．答案：0.5
解析：∵随机变量服从两点分布,且,
,
,
,
的标准差.
故答案为:0.5.
14．答案：
解析：如图,,,O为的重心,
.
故答案为:.
15．答案：10,15x
解析：展开式的通项公式为,
第4项是一次项,
时,,即,
则,
设的系数最大,则,
即,即,
得,得,即,
,,
即第四项的系数最大,.
故答案为:10,15x.
16．答案：
解析：,,,
,
,
,
.解析：故答案为:.
17．答案：见解析
解析：,
令,得,
令,得,
则,
令,得,
故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）面ABCD,
,,又,
,
为PB与底面所成的角为,
,故,
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,解析：设平面PBD的一个法向量为,
则,即,取,则,,此时,
设直线PC与平面PBD所成的角为,
则.
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.
（2）平面PAB的一个法向量
设平面PCD的一个法向量为,
则,即,
取,则,,此时,
,
所以平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:由期望公式可得,
.
（2）
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）A,B,D,E四点共面,证明:
如图,O为BC中点,由题意可知OB,OA,OD两两垂直,所以以O为原点,以OB,OA,OD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,所以,所以A,B,D,E四点共面;
（2）结合（1）知,,,,设,
则,令,得,可见Q是AO的中点,即Q为中,边BC的中线的中点.
21．答案：（1）,
（2）
解析：（1）:,,成公差为的等差数列,所以,,
又,故,解得,
于是,;
（2）Y的所有可能值为0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
所以Y的分布列为:
所以Y的数学期望.
22．答案：（1）见解析
（2）
（3）见解析
解析：（1）比赛局数X的可能取值为2,3,4,
比赛两局结束,则甲连胜两局或乙连胜两局,所以,
比赛三局结束,则第二局,第三局丙连胜,所以,
比赛四局结束,所以,
所以X的分布列为:
（2）记甲,乙比赛第一局为事件A,甲,丙比赛第一局为事件B,乙,丙比赛第一局为事件C,甲成为优胜者为事件D,
第一局比赛双方可能是甲乙,甲丙,乙丙共三种情况,则,
所以,
,
,
所以
,
所以甲成为优胜者的概率为;
（3）由（2）知,,
所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大.
X
…
P
…
Y
0
1
2
3
4
P
X
2
3
4
P