朔州市平鲁区李林中学2022-2023学年高二下学期月考二数学试卷(含答案)

这是一份朔州市平鲁区李林中学2022-2023学年高二下学期月考二数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,若,则( )
A.B.C.D.
2．的展开式中的系数是( )
A.40B.80C.10D.60
3．已知数列满足,,则( )
A.B.C.2D.
4．为庆祝中国共青团成立 100 周年,某校计划举行庆祝活动, 共有 4 个节目, 要求A节目不排在第一个, 则节目安排的方法数为( )
A. 9B. 18C. 24D. 27
5．已知,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若直线与曲线相切,则( )
A.B.2C.eD.4
8．已知正三棱柱的底面边长,其外接球的表面积为,D是的中点,点P是线段上的动点,过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E,则三棱锥的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列为等比数列,则下列结论正确的是( )
A.数列为等比数列B.数列为等比数列
C.数列为等比数列D.数列为等比数列
10．对于的二项展开式,下列说法正确的有( )
A.二项展开式共有11个不同的项B.二项展开式的第项为
C.二项展开式的各项系数之和为0D.二项展开式中系数最大的项为第6项
11．已知数列的前n项和为,则( )
A.B.数列是单调递增数列.
C.数列是公差为1的等差数列D.的最小值为
12．已知函数,则( )
A.的极值点为B.的极大值为
C.的最大值为D.只有1个零点
三、填空题
13．若,则正整数x的值是______.
14．某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动,活动结束后他们准备站成一排拍照留念,则2名老师相邻的不同排法有___________种.(用数字作答)
15．已知二项式的展开式中,后三项的二项式系数之和为37,展开式中的第四项为________.
16．已知函数有三个零点,则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
17．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼,红太狼进行谈判,通过谈判他们握手言和,准备一起照合影像(排成一排).
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻,有多少种排法?
（2）要求灰太狼,红太狼不相邻,有多少种排法?
18．在二项式的展开式中,______.给出下列条件:
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37;
②所有偶数项的二项式系数的和为128.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上,并且完成下列问题:
（1）求展开式中系数最大的项;
（2）求展开式中含的项.
19．已知等比数列的公比为2,且.
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
20．已知函数在点处的切线斜率为,且在处取得极值.
（1）求函数的解析式;
（2）当时,求函数的最值.
21．设O为坐标原点,动点M在椭圆上,该椭圆的左顶点A到直线的距离为.
（1）求椭圆C标准方程;
（2）若线段MN平行于y轴,满足,动点P在直线上,满足证明:过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.
22．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）若函数有两个零点,,证明.
参考答案
1．答案：A
解析：,,,即:,
故选A
2．答案：A
解析：的展开式中是,
所以的展开式中的系数是40.
故选:A
3．答案：A
解析：数列满足,,
则,.
故选:A.
4．答案：B
解析：根据题意, A节目不排在第一个, 则 A节目有 3 种安排方法, 剩下的三个节目任意安排, 有 种安排方法, 则有 种安排方法.
5．答案：A
解析：由得,
则,
故选:A.
6．答案：B
解析：因为，则，其中，
令，解得，令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，，
因为在上恒成立，所以，，解得.
故选：B.
7．答案：B
解析：设切点坐标为,
,,
直线的斜率为,
所以,直线的方程为,
即,
所以,
因此.
故选:B.
8．答案：A
解析：外接球的表面积为,可得外接球半径为.
因为正三棱柱的底面边长,
所以,所以的外接圆半径为,
设三棱柱侧棱长为h,则有,即侧棱,
设BC的中点为F,作出截面如图所示,
因为,,所以,所以点E在以AF为直径的圆上,
当点E在的中点时,此时点到底面ABC距离的最大,且最大值为,
因为,所以此时点P在线段上,符合条件,
所以三棱锥的体积的最大值为.
故选:A.
9．答案：BD
解析：当时,;当时,.AC均错;
,则,,是等比数列,
,,是等比数列.
故选:BD.
10．答案：AC
解析：对于A选项,的展开式共有11个不同的项,A对;
对于B选项,二项展开式的第5项为,B错;
对于C选项,二项展开式的各项系数之和为,C对;
对于D选项,展开式通项为,令
当k为奇数时,;当k为偶数时,.
结合二项式系数性质可知,二项展开式中系数最大的项为第5项或第7项,D错.
故选:AC.
11．答案：AB
解析：,
当时,,故A正确;
当时,,又满足此式,
所以,故数列是公差为2的等差数列,故B正确,C错误;
又,,所以或时,有最小值,故D错误.
故选:AB.
12．答案：BCD
解析：函数,,
,
由,得,由,得,
函数在上单调递增,在上单调递减,
e是函数的极大值点,函数在上取得极大值,,且为函数的最大值,故A错误,BC正确;
又因为,且当时,,当时,,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：2
解析：因为,
所以或,解得.
经检验,满足题意.
故答案为:2.
14．答案：240
解析：因为2名老师相邻,把他们捆绑看作一个元素与4名学生排共有种排法,再排其内部顺序又种,
所以4名学生和2名老师站成一排拍照,2名老师相邻的不同排法有种.
故答案为:240.
15．答案：
解析：二项式的通项公式为,
因为后三项的二项式系数之和为37,
所以有,或舍去,
展开式中的第四项为,
故答案为:
16．答案：
解析：令可得,
若函数函数有三个零点,则可得方程有三个根,
即与的图象有三个不同的交点,
作出的图象如图:
当时,是以为顶点开口向下的抛物线,
此时与的图象没有交点,不符合题意;
当时,与的图象只有一个交点,不符合题意;
当时,时,与的图象有一个交点,
所以时与的图象有两个交点,
即方程有两个不等的实根,即方程有两个不等的实根,
可得与的图象有两个不同的交点,
令,则,
由即可得,
由即可得,
所以在单调递增,在单调递减,
作出其图象如图:
当时,,
当时,可得与的图象有两个不同的交点,
即时,函数有三个零点,
所以实数a取值范围为,
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为喜羊羊家族的四位成员必须相邻,
所以可以把它们捆绑一起,然后与灰太狼,红太狼全排列,
所以一共有种排法.
（2）喜羊羊家族的四位成员一共形成5个空,灰太狼,红太狼进行插空,
所以一共有
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）选择①:依题意,得,即,
即,即,解得或(舍去).
所以的展开式中通项公式为,
显然,当k为偶数时,展开式中系数才可能取得最大,考虑,
根据二项式系数的性质可知,系数最大的项为第5项,即.
选择②:依题意,得,即,解得.
所以的展开式中通项公式为,
显然,当k为偶数时,展开式中系数才可能取得最大,此时,
根据二项式系数的性质可知,系数最大的项为第5项,即.
（2）由（1）得的展开式中通项公式为,
令,得,
所以的展开式中含x2的项为.
19．答案：（1）当时,;当时,.
（2）
解析：（1）依题意可得:,
则,
从而数列是公差为1的等差数列.
,
或,
当时,,
当时,.
（2）,
则
20．答案：（1）;
（2）,.
解析：（1）因为,
所以,
由题意可知,,,,
所以,解得,,,
所以函数的解析式为,经检验适合题意,
所以;
（2）由（1）知,
令,则,解得,或,
当时,;当时,;
所以在和上单调递增,在上单调递减,
当时,取的极大值为,
当时,取得极小值为,
又,,
所以,.
21．答案：（1）;
（2）见解析
解析：（1）由题意:,,
椭圆C的标准方程为:
（2）设,,则,,即,解
,,,
即:,得,即
直线OP的方程为:,设过点N且垂直于OP直线为1,
直线l的方程:,即,
直线l过定点,即直线l恒过椭圆的右焦点F
22．答案：（1）单调减区间为,单调增区间为
（2）证明见解析
解析：（1）因为的定义域为,
则,
令,解得,令,解得,
所以的单调减区间为,单调增区间为.
（2）证明:不妨设,由（1）知:必有.
要证,即证,即证,
又,即证.
令,其中,
则,
令,则
在时恒成立,
所以在上单调递减,即在上单调递减,所以,
所以在上单调递增,所以,
即,所以;
接下来证明,
令,则,又,即,所以,
要证,即证,有,
不等式两边取对数,即证,
即证,即证,
令,,则,
令,其中,则,
所以,在上单调递增,则当时,,
故当时,
可得函数单调递增,可得,即,所以,
综上,.