重庆市第十一中学校2024届高三下学期第七次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十一中学校2024届高三下学期第七次质量检测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A.“,”B.“,”
C.“,”D.“,”
2．已知向量，，若实数满足，则( )
A.B.C.D.1
3．已知i是虚数单位,则复数所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．当时,,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．展开式中,的系数为( )
A.B.320C.D.240
6．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为,现有椭圆的蒙日圆上一个动点M,过点M作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,若面积的最大值为34,则a的值为( )
A.B.C.D.
7．甲,乙,丙三个地区分别有x%,y%,z%人患了流感,且x,y,z构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为,现从这三个地区中任意选取一人,在此人患了流感的条件下,此人来自甲地区的概率最大,则的可能取值为( )
8．已知各项均为正数的递增数列的前n项和为满足,,若,,成等差数列,则的最小值为( )
A.11B.13C.D.10
二、多项选择题
9．已知函数(其中,,)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数的图象的周期为
B.函数图象关于点对称
C.函数在区间上的最大值为2
D.直线与图像所有交点的横坐标之和为
10．设函数,下面四个结论中正确的是( )
A.函数在上单调递增
B.函数有且只有一个零点
C.函数的值域为
D.对任意两个不相等的正实数,,若,则
11．在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA的长为6m,C是母线SA的靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,灯光带的最小长度为.下面说法正确的是( )
A.圆锥SO的侧面积为
B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C.圆锥SO的外接球的表面积为
D.棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题
12．若映射,在f的作用下A中元素与B中元素对应,则与B中元素对应的A中元素是________.
13．已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为,则使不等式成立的正整数n的最大值为__________.
14．抛物线的焦点F,点A,B在抛物线上,且,弦AB的中点M在准线上的射影为N,则的最大值为__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,,,若D为BC中点且,求的面积S.
16．如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面平面ABC,,,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线.
（1）求证:直线平面PAC;
（2）直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.
17．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动,每位顾客只用一个会员号登陆,每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为.
（1）求的值,并探究数列的通项公式;
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,请给出证明过程.
18．设A,B是椭圆上的两点,点是线段AB的中点,线段AB的中垂线与椭圆交于C,D两点;
（1）求AB的方程,并确定的取值范围:
（2）判断是否存在,使A,B,C,D四点共圆,若存在,则写出圆的标准方程;若不存在,请说明原因.
19．定义:若是的导数,是的导数,则曲线在点处的曲率;已知函数,,曲线在点处的曲率为;
（1）求实数a的值;
（2）对任意,恒成立,求实数m的取值范围;
（3）设方程在区间内的根为,,…,,…比较与的大小,并证明.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意全称量词命题“,”的否定为:
存在量词命题“,”.
故选:C
2．答案：A
解析：因为，，且，
所以，
所以，
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,,,
所以,
所以复数在复平面内所对应的点为,位于第四象限.
故选:D
4．答案：B
解析：当时,显然不成立.
若时
当时,,此时对数,解得,根据对数的图象和性质可知,要使在时恒成立,则有,如图选B.
5．答案：A
解析：因为,
所以通项公式为:,
令,所以,
设二项式的通项公式为:,
令,所以,
因此项的系数为:,
故选:A.
6．答案：A
解析：由题意可知椭圆C的蒙日圆的半径为,因为,
所以PQ为蒙日圆的直径,所以,
所以,
因为,
当且仅当时,等号成立,
所以面积的最大值为,
由面积的最大值为34,所以,则,
故选:A.
7．答案：D
解析：设事件,,分别为“此人来自甲,乙,丙三个地区”,
事件,,分别为“此人患了流感,且分别来自甲,乙,丙地区”,
事件G为“此人患了流感”.
由题可知,,,,
,
由条件概率公式可得,
,,
由题意可得,即,解得.
故选:D.
8．答案：B
解析：因为,所以,
所以,
所以,即,
所以,
因为,所以,
又,解得,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列,所以,
又且,,成等差数列,
所以,所以,
当时,此时m无解,所以,
所以,
所以,
又对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,则,
当时,则,
当时不符合题意,
当时,则,
当时,不符合题意,
当时,则均不为整数,故不符合题意,
综上可得的最小值为13.
故选:B
9．答案：ACD
解析：对于A,由图象可得,,得,故A正确;
所以,则,
当时,,即,又,
,即.
对于B,,故B错误;
对于C,当时,,所以,则,故C正确;
对于D,,则,设直线与图象所有交点的横坐标为,,
则,解得,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：AB
解析：当时,,所以,
所以当时,,所以在单调递增,
当时,,所以在单调递减,
且当时,故时,,
又当时,,所以,
所以函数在单调递增,值域为,所以A正确,C错误;
当时,令,则,
所以在单调递减,所以当时,,
所以函数在上没有零点;
当时,令,
所以只需求函数在上零点个数,
又因为在上单调递减,且,
所以函数在上只有一个零点.
所以函数有且仅有一个零点,所以B正确;
当时,若,因为函数在单调递增,在单调递减,
所以不妨设,则,
所以要证,只需证,即只需证,
又因为,所以只需证.
因为,
所以令函数,
则,
所以在单调递增,所以,
即恒成立,所以,
即,所以,
从而成立,所以D错误.
故选:AB.
11．答案：ABD
解析：对于A,设圆锥底面半径为r,如图,
在中,,,,
,
,所以,(米),
所以圆锥的侧面积为(),故A正确;
对于B,在中,,
所以,
所以过点S平面截此圆锥所得截面面积最大为
(),故B正确;
对于C,设圆锥SO的外接球半径为R,则,
又,
所以,,
圆锥SO的外接球表面积为,故C不正确;
对于D,设圆锥SO的内切球半径为t,则,,
在棱长为米的正四面体中,设其外接球半径为,
则此正四面体的底面外接圆半径为,高为,
所以,所以,
因为,所以棱长为米的正四面体在圆锥SO内可以任意转动,故D正确.
故选:ABD
12．答案：
解析：根据题意,得,
解得,
所以所对应的A中元素是.
13．答案：6
解析：因为数列为正项的递增等比数列,所以,
又,
所以,是关于方程的两根,
解得,,
所以或(舍去),
设公比为,则,解得或(舍去),
所以,所以,
所以,则,
所以,即,即,
又函数定义域上单调递增,,,,
所以,故正整数n的最大值为6.
故答案为:6
14．答案：
解析：
设,,由抛物线定义可知,,
,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
即的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为
,
令,,解得,,
函数的单调递增区间为,;
（2）因为,即,所以,
因为,所以,所以,即,
在中由余弦定理,
可得,
在中,,
在中,,
,
即,整理得,
所以,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）E,F分别是PB,PC的中点,,
又平面EFA,平面,平面,
又平面ABC,平面平面,,
又,平面平面,平面平面ABC,
平面PAC,则平面PAC;
（2）取AC中点M,连接PM,,,
平面平面ABC,平面平面,
又平面PAC,平面ABC,
又C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,,
点M,O分别是AC,AB中点,
连接MO,则,
分别以线段MA,MO,MP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,
设,,
设平面AEF的法向量为,
则,取,得,
所以,
,
依题意,得,
即,解得,即,
,
直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余,且.
17．答案：（1）,
（2）第二次,证明见解析
解析:（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A,依题意,,
.
因为,,,
所以,
所以,
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
故.
（2）证明:当n为奇数时,,
当n为偶数时,,则随着n的增大而减小,
所以,.
综上,该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
18．答案：（1）,
（2）存在,
解析：（1）依题意,可设直线AB的方程为,
代入,整理得①,
设,,则,是方程①的两个不同的根,
②,且.
由是线段AB的中点,得,
解得,代入②得,
即的取值范围是.
于是直线AB的方程为,即.
（2）垂直平分AB,
直线CD的方程为,即代入椭圆方程,整理得③.
又设,,CD的中点为,
则,是方程③的两根,
,,且,,即,
于由弦长公式可得.④
将直线AB的方程代入椭圆方程得⑤.
所以,,
同理可得⑥.
当时,,
.
假设存在,使得A,B,C,D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.
点M到直线AB的距离为⑦.
于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得.
故当时,A,B,C,D四点均在以M为圆心,为半径的圆上.
此时圆的方程为.
19．答案：（1）
（2）
（3）,证明见解析
解析：（1）由已知,,
所以,解得(舍去),
所以;
（2）由（1）得,,
则,
对任意的,,即恒成立,
令,则,不等式恒成立,
当时,,原不等式化为,
令,,
则
,
所以在区间单调递增,所以,
所以,
综上所述,实数m的取值范围为;
（3）,证明如下:
由已知方程可化为,
令,则,
因为,所以,,
所以,所以在区间上单调递减,
故
,
,
所以存在唯一,使得,
又,,
则
由单调递减可得,所以.