2024年广东省梅州市丰顺县龙泉中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省梅州市丰顺县龙泉中学中考数学一模试卷，共19页。

1．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.4×108B．10.4×109C．1.04×108D．1.04×109
3．（3分）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，从左面看得到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2＝m3B．（2x+1）2＝4x2+1
C．（﹣3m3）2＝﹣9m6D．2a3•a4＝2a7
6．（3分）为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
7．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝2
8．（3分）如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）
A．ED＝CDB．AC＝AEC．∠EDB＝∠CABD．∠DAC＝∠B
9．（3分）已知不等式组仅有2个整数解，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a＜4C．2≤a＜4D．2＜a≤4
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A．3B．C．2D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）能使有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：ax2﹣25a＝ ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，m），B（﹣4，0），C（1，0），D（a、m），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
14．（3分）函数和y＝﹣x+4的图象的交点在第 象限．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠COE＝ 度．
16．（3分）如图是一组有规律的图案，按照这个规律，第n（n为正整数）个图案由 个▲组成．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：2cs45°﹣（π﹣3）0+﹣|﹣1|．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．
19．（6分）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 ，在扇形统计图中，m的值为 ；
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
20．（8分）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A﹣B﹣C表示可转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB＝30厘米，探头CD＝10厘米．
（1）当支架AB与水平线的夹角为 75°，与支架BC的夹角为 90°，且BC＝AB时，求探头的端点D到桌面MN的距离．（结果保留一位小数）
（2）为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为 53°，同时调节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为 63°，此时支架BC的长度为多少？（结果保留一位小数） （参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，≈3.16）
21．（8分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是10本，B款销售数量是5本，销售总价是140元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是15本，销售总价是320元．
（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过500元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 ．
23．（8分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2＝AB•AF．
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，＝a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA＝HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH＝DA时，
①填空：∠HGA＝ 度；
②若EF∥HG，请直接写出∠AHE的度数以及a的最小值；
（2）如图2，∠AEH＝60°，EG＝2BG，连接FG交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a（x﹣2）2+4的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2． 解：10.4亿＝1.04×109，
故选：D．
3． 解：从左面看，有两列，分别有2个，1个正方体，
则形状图为：．
故选：B．
4． 解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：D．
5． 解：A．m6÷m2＝m4，故本选项错误，不符合题意；
B．（2x+1）2＝4x2+4x+1，故本选项错误，不符合题意；
C．（﹣3m3）2＝9m6，故本选项错误，不符合题意；
D.2a3•a4＝2a7，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
6． 解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：C．
7． 解：分式方程整理得：＝﹣﹣2，
去分母得：x＝﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
故选：C．
8． 解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，
∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AC＝AE，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CAB＝90°﹣∠B，
∴∠EDB＝∠CAB，
∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，
∴∠DAB不一定等于∠B，
∴∠DAC不一定等于∠B，
故选：D．
9． 解：，
解①得：x＞3﹣a，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集是：3﹣a＜x＜4．
不等式组仅有2个整数解，则是2，3．
则1≤3﹣＜2．
解得：2＜a≤4．
故选：D．
10． 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴S△ADF＝S△BAE，∠DAF＝∠ABE，
∵∠BAG+∠DAF＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，
∵S△ADF＝S△BAE，
∴S△ADF﹣S△AEG＝S△BAE﹣S△AEG，即S四边形DEGF＝S△ABG，
∵AG+BG＝6，
∴（AG+BG）2＝AG2+BG2+2AG•BG＝36，
∵S△ABG＝，AB2＝AG2+BG2，
∴AB2+4S△ABG＝36，即，
∵S空白＝S正方形ABCD﹣S四边形DEGF﹣S△ABG＝S正方形ABCD﹣2S△ABG＝＝10.5，
解得：AB＝（负值已舍去）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意得：﹣2x≥0，
解得：x≤0，
故答案为：x≤0．
12． 解：原式＝a（x+5）（x﹣5），
故答案为：a（x+5）（x﹣5）
13． 解：①点D在点A的右边，过D作M⊥BC于M如图1所示：
∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，
∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，
∴BC＝1+4＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC＝5，
∴OM＝5﹣1＝4，
∴CM＝OM﹣OC＝3，
∴DM＝＝＝4，
∴点D的坐标为（4，4）或（4，﹣4）；
②点D在点A的左边时，过A作AM⊥BC于M，如图2所示：
∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，
∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，
∴BC＝1+4＝5，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AD＝AC＝BC＝BD＝5，
∴OM＝5+1＝6，
∴BM＝OM﹣OB＝2，
∴DM＝＝＝，
∴点D的坐标为（﹣6，）或（﹣6，﹣）；
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）或（﹣6，）或（﹣6，﹣）．
14． 解：根据题意反比例函数在一、三象限，
而y＝﹣x+4的图象过一、二、四象限．
故其交点应在第一象限．
15． 解：在矩形ABCD中，
AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°，
∵∠CAE＝15°，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴∠BAC＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BCA＝30°，AB＝AC＝BO，
∴BE＝BO，
又∵∠DBC＝∠ACB＝30°，
在△BOE中
∠BOE＝（180°﹣∠DBC）÷2＝75°，
∴∠COE＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
故答案为：45．
16． 解：由所给图案得，
第1个图案需要▲的个数为：4＝1+1×3；
第2个图案需要▲的个数为：7＝1+2×3
第3个图案需要▲的个数为：10＝1+3×3
…
所以第n个图案需要▲的个数为：3n+1．
故答案为：（3n+1）．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝2×﹣1+﹣（﹣1），
＝﹣1+﹣（﹣1），
＝．
18． 解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝
＝＝．
19． 解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为200×20%＝40（人），
则选择“书画展览”的人数为200﹣（40+80+20）＝60（人），
∴在扇形统计图中，，
即m＝30，
故答案为：40，30；
（2）估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有（人）；
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为．
20． 解：（1）如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E．
由题意得：BC＝AB＝30厘米，∠BAF＝75°，∠ABC＝90°，
∴AC＝30（厘米），∠BAC＝45°．
∴∠CAE＝60°．
∵CD始终垂直于水平桌面MN，
∴∠E＝90°．
∴CE＝AC•sin∠CAE＝15≈36.7（厘米）．
∵投影仪的底座高3厘米，
∴探头的端点D到桌面MN的距离＝36.7﹣10+3＝29.7（厘米）．
答：探头的端点D到桌面MN的距离约为29.7厘米；
（2）如图，作AE⊥BD于点E．
∴∠AEB＝∠AED＝90°．
由题意得：BD∥AF，∠BAF＝53°．
∴∠ABE＝53°．
∵AB＝30厘米，
∴AE＝AB•sin∠ABE＝30×sin53°≈30×0.8＝24（厘米），
∴BE＝＝18（厘米）．
由题意得：∠BDA＝63°．
∴DE＝≈＝12（厘米）．
∴DB＝12+18＝30（厘米）．
由题意得：∠CDB＝90°，
∴BC＝＝＝10≈10×3.16＝31.6（厘米）．
答：支架BC的长度大约为31.6厘米．
21． 解：（1）设A款毕业纪念册的销售单价为x元，B款毕业纪念册的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A款毕业纪念册的销售单价为10元，B款毕业纪念册的销售单价为8元；
（2）设购买m本A款毕业纪念册，则购买（60﹣m）本B款毕业纪念册，
根据题意得：10m+8（60﹣m）≤500，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：最多能够买10本A款毕业纪念册．
22． 解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
23． （1）解：直线PA与⊙O的位置关系：直线PA与⊙O相切，理由：
连接CD，OC，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠DAC＝90°．
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠D＝∠PAC．
∴∠PAC+∠DAC＝90°，
∴∠DAP＝90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切；
（2）证明：连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴，
∴∠ABG＝∠AGC，
∵∠GAF＝∠BAG，
∴△AFG∽△AGB，
∴，
∴AG2＝AB•AF．
24． 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADH＝90°，
∵DH＝DA，
∴∠DAH＝∠DHA＝45°，
∴∠HAE＝45°，
∵HA＝HG，
∴∠HAE＝∠HGA＝45°；
故答案为：45；
②分两种情况讨论：
a、如图1，∵∠HAG＝∠HGA＝45°，
∴∠AHG＝90°，
由折叠可知：∠HAE＝∠F＝45°，∠AHE＝∠FHE，
∵EF∥HG，
∴∠FHG＝∠F＝45°，
∴∠AHF＝∠AHG﹣∠FHG＝45°，
即∠AHE+∠FHE＝45°，
∴∠AHE＝22.5°，
此时，当B与G重合，H为DC中点，DA＝DH＝DC＝AB，
此时＝a＝2，
∴a的最小值是2；
b、如图1﹣1，∵EF∥HG，
∴∠HGA＝∠FEA＝45°，
即∠AEH+∠FEH＝45°，
由折叠可知：∠AEH＝∠FEH，
∴∠AEH＝∠FEH＝22.5°，
∵EF∥HG，
∴∠GHE＝∠FEH＝22.5°，
∴∠AHE＝90°+22.5°＝112.5°，
此时，当B与E重合，a的值最小，
设DH＝DA＝x，则AH＝GH＝x，
在Rt△AHG中，∠AHG＝90°，∠HGA＝45°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AG＝AH＝2x，
∵∠AEH＝∠FEH，∠GHE＝∠FEH，
∴∠AEH＝∠GHE，
∴GH＝GE＝x，
∴AB＝AE＝2x+x，
∴a的最小值是＝2+；
综上所述，∠AHE＝22.5°，a的最小值为2或∠AHE＝112.5°，a的最小值为2+；
（2）如图2，过点H作HQ⊥AB于Q，
则∠AQH＝∠GQH＝90°，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAQ＝90°，
∴∠D＝∠DAQ＝∠AQH＝90°，
∴四边形DAQH为矩形，
∴AD＝HQ，
设AD＝x，GB＝y，则HQ＝x，EG＝2y，
由折叠可知：∠AEH＝∠FEH＝60°，
∴∠FEG＝60°，
在Rt△EFG中，EG＝EF×cs60°，EF＝4y，
在Rt△HQE中，EQ＝＝x，
∴QG＝QE+EG＝x+2y，
∵HA＝HG，HQ⊥AB，
∴AQ＝GQ＝x+2y，
∴AE＝AQ+QE＝x+2y，
由折叠可知：AE＝EF，
∴x+2y＝4y，
∴y＝x，
∴AB＝2AQ+GB＝2（x+2y）+y＝x，
∴a＝＝．
25． 解：（1）∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，y＝a（x﹣2）2+4的顶点为点A，
∴A的坐标为（2，4），
∴AD＝4，
∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，
∴CD＝AD＝4，
∴C（6，0），
把C（6，0）代入，y＝a（x﹣2）2+4，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b
∵A（2，4），C（6，0）
∴AC的函数解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，），N（t，﹣t+6），

＝，
∴当t＝4时，EN最大为1，
∴E（4，3）；
（3）∵M（5，b）在抛物线上，
∴M（5，），
∵AD是此抛物线的对称轴，
∴过点E作AD的对称点E′（0，3），连接E′M交AD于点P，此时PE+PM最短，M（5，），
∴PE+PM最小＝．a
b
c
d
a
（b，a）
（c，a）
（d，a）
b
（a，b）
（c，b）
（d，b）
c
（a，c）
（b，c）
（d，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）