中考数学一轮复习 题型举一反三 专题16 二次函数的应用【十大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27990" 【题型1 方案选择问题】 PAGEREF _Tc27990 \h 1
\l "_Tc6585" 【题型2 拱桥问题】 PAGEREF _Tc6585 \h 7
\l "_Tc4514" 【题型3 隧道问题】 PAGEREF _Tc4514 \h 12
\l "_Tc18717" 【题型4 喷泉问题】 PAGEREF _Tc18717 \h 18
\l "_Tc16823" 【题型5 球类飞行轨迹问题】 PAGEREF _Tc16823 \h 24
\l "_Tc17594" 【题型6 空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc17594 \h 29
\l "_Tc22377" 【题型7 最大利润问题】 PAGEREF _Tc22377 \h 35
\l "_Tc26022" 【题型8 图形运动问题】 PAGEREF _Tc26022 \h 41
\l "_Tc23492" 【题型9 图形面积问题】 PAGEREF _Tc23492 \h 55
\l "_Tc31708" 【题型10 现实生活问题】 PAGEREF _Tc31708 \h 60
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 方案选择问题】
【例1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为元．
【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为元，根据“用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：，
整理得，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时，
答：当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润．
【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）

A．方案1B．方案2C．方案3D．面积都一样
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1：设米，则米，

则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为8平方米；
方案2：如图，，

∵，
∴菜园面积为8平方米；
方案3：半圆的半径为米，
∴此时菜园最大面积（平方米）
∵，
∴方案3的菜园面积最大，
∴在三种方案中，最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利（万元）、（万元）与购进水果数量（吨）的函数关系式；
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨，且，满足，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
【答案】(1)，；
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得，
在直角坐标系中描出以坐标的对应点，易得的图象成一条直线，
设，则，
解得，
．
（2）当，则，
解得；
当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨时，获得利润：
，
即 ，
当时，，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．
【变式1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 ＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
【题型2 拱桥问题】
【例2】（2023·四川·统考中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米B．5米C．2米D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式2-1】（2023·浙江·统考中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】（1）6m；（2）①；②2m
【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则，代入求值即可．
【详解】解（1）设，由题意得，
，
，
，
当时，，
桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，
设，
，
，
，
，
(左边抛物线表达式：)
②设彩带长度为h，
则，
当时，，
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
【变式2-2】（2012·湖北武汉·中考真题）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边、、组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C到的距离是，以所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离（单位：）随时间 （单位：）的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

【答案】(1)
(2)禁止船只通行时间为32小时．
【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
【详解】（1）解：由题意知：，，
∴，，，
设抛物线解析式为，
则，
解得，
∴；
（2）解：把代入，得，
解得，，
∴当时，禁止船只通行，禁止通行时间为，
即禁止船只通行时间为32小时.
【点睛】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
【变式2-3】（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表：
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)能
【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；
（2）根据图象得出时，或，然后可得答案；
（3）根据表格中数据求出和时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）由图象可得：当时，或，
∴拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度约是米，
故答案为：；
（3）由表格中数据可得，当时，；当时，，
当时，；当时，，
∵米，
，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
【题型3 隧道问题】
【例3】（2023·山东·统考中考真题）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
【详解】解：（1）由题知点在抛物线上
所以，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是
【变式3-1】（2023·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【变式3-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】(1)
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为，代入（1）所得解析式，判断是否大于即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：时，
，
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
【变式3-3】（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)6，．
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，解得
∴．
故答案为：6，．
（2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
（3）解：令，可得
隧道需标注的限高应为（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
【题型4 喷泉问题】
【例4】（2023·吉林长春·统考中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
【变式4-1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点B的坐标；
(3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)
【分析】（1）由题意可知过点和点，且，代入解析式可求得解析式；
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点，设的解析式为，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由已知可得：过点和点，设其解析式为，
代入两点，由的横坐标为可得，
，解得：，
故的解析式为：；
（2）解：两条抛物线的形状相同，
设的解析式为，
已知经过点，故的解析式为①，
顶点的纵坐标相同，
的顶点的横坐标为，代入①，
可得：，
解得：，
故的解析式为②或③，
由图可知的终点的横坐标小于0，而②中不合题意，故舍去②，
令将代入，
解得或（舍去），
故点的坐标为；
（3）解：由题意可得：，
解得：，
又，
解得：，
．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
【变式4-2】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．

(1)柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
(2)如图，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点离柱子的距离为米，，灯孔在边上，灯孔离地面的距离为米，若水流恰好落在灯孔处，求的值．
【答案】(1)柱子的高度为米，水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
(2)
【分析】（1）柱子的高度即为抛物线与轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的即可求解；令，解关于的一元二次方程，求得正数解即可；
（2）把代入解析式即可求出点的横坐标，过点作于点，可求出的值，在中即可求的值．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线与轴的交点的纵坐标的值即为柱子的高度，
∴当时，，
柱子的高度为米，
水池的半径指的是的长度，
∴在中，当时，，
，，
又，
，
水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外．
（2）解：灯孔离地面的距离为米，即点的纵坐标为，且点在抛物线的图像上，
∴当时，，解得，舍去，
∴，
如图所示，过点作于点，

∴，，
∵点离柱子的距离为米，
∴，且，
∴在中，．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质与实际应用的综合，掌握从实际问题中抽象出二次函数模型，三角形函数的计算方法等知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案；
（3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为，
∵水柱关于轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为．
（2）解：当函数值时，有，
解得，，
结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）解：当时，，
喷出水柱的形状不变，水池的高度不变，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该函数图象过点，
，
解得，
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该抛物线的顶点坐标为，
故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式．
【题型5 球类飞行轨迹问题】
【例5】（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
【变式5-1】（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式5-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
（2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
【题型6 空中跳跃轨迹问题】
【例6】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
【变式6-1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；
（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作轴于点D．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）解：当时，，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
【变式6-2】（2023·河南南阳·校考三模）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
【答案】(1)（或）
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为，过点，用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1）令得，或，根据，可知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为
由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，
将点代入可得，，
∴所求的抛物线的解析式是（或）；
（2）当时，，
解得，，
（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
【变式6-3】（2023·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)不会失误，见解析
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标．
（2）由题意知，当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可．
（3）由题意知，当抛物线经过点时，最大．由，可知，由，可得，此时抛物线解析式为，将点代入得，由题意知，当经过点时，最小，同理可求得，进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
空中运动时对应抛物线的解析式为，
令，则，
解得（舍去），，
的坐标为．
（2）解：当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．
将代入中，得．
，
该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点时，最大．
∵，
∴．
∵，
∴，
此时抛物线解析式为，
将点代入得，
由题意知，当经过点时，最小．
同理可求得，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【题型7 最大利润问题】
【例7】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加个，第二次冰墩墩售完后的利润为元．
(1)用含的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元
【分析】（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，根据利润=一个利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为个，根据两种玩偶销售利润的和得关于x的函数式，然后求最大值即可．
【详解】（1）由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，则第二次冰墩墩售完后的的利润；
整理得：．
（2）第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
,
∴,
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；
当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．
(1)直接写出P与x之间的函数关系；
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？
【答案】(1)
(2)，小王第8天创造的利润最大，最大利润是元
(3)元
【分析】（1）结合图象，分段计算，当时，，当时，利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意有：，结合（1）的结果和，即可求解，再分别求出当时和当时， W的最大值，二者比较即可作答；
（3）根据题意可知：当时，即可获得奖励，当时，令，即有，解得或者，可得当时可以获得奖励；当时，，即有：，解得：，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
【详解】（1）解：结合图象，分段计算，
当时，，
当时，设P与x之间的函数关系为：，
∵，，
∴，解得，
即此时，
综上：；
（2）根据题意有：，
∵，，
∴，
整理得：，
当时，，
即当时，W有最大值，最大值为，
当时，，
即W随着x的增大而减小，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是元；
（3）根据题意可知：当时，即可获得奖励，
当时，令，即有，
解得或者，
∵，函数开口朝下，
∴当时，有，
即此时可以获得奖励为：（元），
当时，，
即有：，
解得：，
即此时可以获得奖励为：（元），
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：（元）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023·湖北孝感·统考三模）2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消费热．最美志愿者陈老师决定购进“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元，用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同．经市场调查，整理出“冰墩墩”的售价（元/件）与销量（件）的关系如表：
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元？
(2)求当x为何值时，陈老师售出“冰墩墩”所获利润w最大，最大利润为多少？
(3)陈老师非常热爱公益事业，决定在（2）中售出“冰墩墩”获利最大的销售方案下每销售1件“冰墩墩”就捐献m元给“体育公益项目”，且希望利润不低于975元以维持各种开支，则m的最大值为________．
【答案】(1)“冰墩墩”的进价为每件50元，“雪容融”的进价为每件20元
(2)当时，售出“冰墩墩”所获利润最大值为1125元
(3)2
【分析】（1）设“雪容融”的进价为每件元，则“冰墩墩”的进价为每件元，根据用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同，列出方程即可解得．
（2）分情况讨论，当时，售出“冰墩墩”的利润，当时，有最大值；当时，售出“冰墩墩”的利润，当时，的最大值．
（3）由（2）可知，列出不等式，即可解得．
【详解】（1）解：设“雪容融”的进价为每件元，则“冰墩墩”的进价为每件元，
，
解得：
经检验知：是原方程的解，
“冰墩墩”的进价为：元，
答：“冰墩墩”的进价为每件50元，“雪容融”的进价为每件20元．
（2）当时，
售出“冰墩墩”的利润
随的增大而增大，
当时，有最大值，的最大值为：元；
当时，
售出“冰墩墩”的利润，
，函数图像开口向下，对称轴为直线
有最大值，
当时，的最大值为1125元．
故当时，售出“冰墩墩”所获利润最大值为1125元．
（3）由（2）可知，
，
解得∶，
m的最大值为．
【点睛】此题考查了分式方程应用，一元二次函数应用，不等式，解题的关键是读懂题意找出等量关系式．
【变式7-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
【题型8 图形运动问题】
【例8】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在中，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与射线相交于点，以为边作平行四边形．设点的运动时间为，平行四边形与重叠部分图形的面积为．

(1)当点在边上时，的长为____________；(用含的代数式表示)
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）当点落在边上时，如图1，根据平行四边形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）当，，时，如图2，如图3，如图4，根据平行四边形的性质得到，根据三角函数的定义得到，，于是得到结论．
【详解】（1）解：在中，，
，
，，
，
，
由题意得，

解得：
故答案为：．
（2）当点落在边上时，如图1，

四边形是平行四边形，
，
，
∴
∴，
解得．
（3）当时，如图2，

四边形是平行四边形，
，
由 ，


，

当时，如图3，

设交于点，交于点，
则
；
当时，如图4，

，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，分类讨论是解题的关键．
【变式8-1】（2023·吉林白城·校考二模）如图，在中，，，，D是边的中点．动点P从点B出发． 沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动．点P出发后，过点P作交折线于点Q，以，为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．
(1)当点Q与点C重合时，求t的值；
(2)当点E落在边上时；求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，，当时，，当时，
【分析】（1）当点Q与点C重合时，则，由，可得，从而可得答案；
（2）如图，当点E落在边上时，证明，利用，可得，而，可得，则，再建立方程，从而可得答案；
（3）当时，如图，由，求解，当时，如图，记与交于，与交于点，由可得结论；当时，如图，记与的交点为，由，可得结论．
【详解】（1）解：如图，当点Q与点C重合时，
则，
∵中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，当点E落在边上时，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，则，
∴，
解得：；
（3）当时，如图，
，
而，
∵，
∴，
∴，
当时，如图，记与交于，与交于点，
由矩形的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

，
当时，如图，记与的交点为，
同理：，，
∴，，
∴

．
【点睛】本题考查的是动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，列二次函数关系式，矩形的性质，本题计算量大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式8-2】（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接，，记的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线和曲线（图②），已知，，，点G的坐标为．

(1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______；
(2)如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②求所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②；③存在，或
【分析】（1）由函数图象可知时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合，则Q的速度，P的速度，根据矩形的性质即可得出答案；
（2）①当时，P与A重合，Q与D重合，此时，可得，，，从而得出，根据，求出，利用待定系数法求一次函数解析式，即可得到答案；
②根据三角形面积公式可得，根据（1）中可得，，即可求出；
③分类讨论：
当Q在上，P在上时，待定系数法求直线的解析式为，根据函数的性质即可求得；
当Q在上，P在上时，求直线的解析式为，根据函数的性质即可求得；
当Q在上，P在上时，求所在曲线的函数关系为，根据函数的性质即可求得．
【详解】（1）∵，，点G的坐标为
∴，
函数图象可知时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合
则Q的速度，P的速度，
∵四边形是矩形
∴，
∵为的中点
∴
∴
∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）①∵
∴
由题知，时，P与A重合，Q与D重合
∴
∵
∴
即
解得
即，
∴，
当时，P与B重合，此时
∴
∴
∴
设直线的解析式为
将，代入得
解得
∴直线的解析式为；
②当时，
，
故
∴所在曲线的函数表达式为；
③当Q在上，P在上时
∵直线经过点，
设直线的解析式为
代入得
解得
∴直线的解析式为
可得随的增大而减小
当时，
即当时，
当Q在上，P在上时
直线的解析式为
由可得，当时，
当Q在上，P在上时
当时，或
即当时，
综上，当或时，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积公式，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．
【变式8-3】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度沿折线运动，点Q从点A出发以的速度沿向终点C运动，当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动，连结，．设点P的运动时间为 ，的面积为．

(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2或4
【分析】（1）先计算出点与点重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
（2）分情况讨论：当时，过点作于点，证得，即可求出的长，从而根据三角形面积公式计算即可；当时，过点作于点，证得，即可求出的长，从而根据三角形面积公式计算即可；当时，过点作于点，证得，即可求出的长，从而根据三角形面积公式计算即可；
（3）用含的式子表示、，然后列出方程求出的值即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
当点与点重合时，点运动的路程是：，
点从点出发以的速度沿折线运动，
，
故答案为：；
（2）
四边形是矩形，
，，
在中由勾股定理得，
点从点出发以的速度沿向点运动，
，
由题意知， ， ，
当点在边上时，即，如图1，

过点作于点，
，
又，
，
，
，
，
；
当点在边上时，即，如图2，

此时 ，
过点作于点，
，
又，
，
，
，
，
；
当点在上，即，如图3，

此时，
过点作于点，
，
又，
，
，
，
，
；
综上，；
（3）当点在边上时，即，
此时 ， ，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，(舍去)，；
当点在边上时，即，
此时 ，
，
，
(舍去)；
当点在上，即，
此时，
，
，
；
综上，的值为2或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，动点问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求二次函数解析式，三角形的面积与函数关系，学会用分类讨论思想思考问题是解题的关键，属于压轴题．
【题型9 图形面积问题】
【例9】（2023·湖北武汉·模拟预测）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m
(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2
【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
【变式9-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米．

(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)有最大值，最大值是
【分析】（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）将关于的关系化为顶点式，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：，
当时，取得最大值，此时，
即两个鸡场面积和有最大值，最大值是
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．

(1)按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形的面积y(m2)的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是，理由见解析
【分析】（1）①利用矩形的面积公式进行求解即可；②利用二次函数的性质进行求解即可；
（2）求出乙方案的最大面积，与甲方案进行比较后，判断即可．
【详解】（1）解：①设的长为xm，则：的长为，
∴；
②∵甲中的长不超过墙长，
∴，
∵，，
∴时，随的增大而增大，
∴当时，矩形的面积最大，最大为：．
（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设的长为xm，矩形的面积为ym2．
则：，
∵方案乙中的长大于墙长，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴当时，矩形的面积最大，最大为；
∵，
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式．
【变式9-3】（2023·福建·统考中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
【详解】解：（1）设AD=x米，则AB=米
依题意得，＝450
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x=a时，S最大=50a-a2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=，a≤x＜50+
当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，
则x=25+时，S最大=（25+）2=，
当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小
∴x=a时，S最大==，
综合①②，当0＜a＜时，-（）=＞0
＞，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米
当≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50-）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米．
【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解题的关键是注意分类讨论变量大小关系．
【题型10 现实生活问题】
【例10】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线 的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．

(1)求滑道所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制， ，请直接写出长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)米
(3)
【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，点到地面的距离为米，
设点坐标为，，代入 ，
解得，
点距地面的距离为米，距点的水平距离为 米，
的坐标 ，，
由题意得：，，
故设滑道所在抛物线的解析式为 ，
将的坐标，代入，得 ，
解得：，
则 ；
（2）令，，
解得： 不合题意，舍去，
又将 代入 ，
解得 ，
甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为 米．
（3）根据上面所得 ，， ，时，此时，
则点不可往左，可往右，则最小值为，
又，
，
．
长度的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
【变式10-1】（2010·甘肃兰州·中考真题）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
【答案】0.5
【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)
设函数解析式为y=ax2+bx+c
把A. B. C三点分别代入得出c=2.5
同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1
解得a=2，b=−4，c=2.5.
∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.
∵2>0
∴当x=1时,ymin=0.5米．
【变式10-2】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设 为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，
（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，
设此时抛物线的解析式为，
由于斜坡的坡度为，且米，
∴米，
而（米），
∴；
∵，
，坐标两点分别代入解析式中，得
，解得，
∴，
即，
即抛物线的顶点坐标为；
过点M作轴于F，交于G，
∵坡度为，
∴（米），
∴（米），
答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
【变式10-3】（2023·河北·统考二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案．
【详解】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：，
点B与点D关于对称轴对称，
；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点B代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得（舍）或，
所以茶几到灯柱的距离为3.2米，
故选：A．销售（吨）
3
4
5
6
7
获利（万元）
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7
x（米）
－6
－4
－2
0
2
4
6
y（米）
－3.02
－1.33
－0.31
0
－0.32
－1.33
－2.99
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
售价（元/件）
销售量（件）
100