中考数学二轮复习 重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157755233"
\l "_Tc157755234" 题型01 将军饮马
\l "_Tc157755235" 题型02 蚂蚁爬行

题型01 将军饮马
模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短.
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.
【将军饮马之模型一 专项训练】
1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
5．（2020·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考一模）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长.
【将军饮马之模型二 专项训练】
1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 米．
2（2021下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为 ．
3．（2022下·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ．
5．（2022上·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度．
6．（2020·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．
7．（2015·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
8．（2022·山东烟台·统考一模）问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是和，，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点A关于l对称，与l交于点P）．
(1)在方案一中，______（用含a的式子表示）；
(2)在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，_______（用含a的式子表示）．
(3)①当时，比较大小：_______（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：______（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(4)请你参考方框中的方法指导，就a（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案还是方案二？
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小.
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长.
【将军饮马之模型三 专项训练】
1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；

（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
2．（2019下·河南南阳·七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.
①如图1，若，请直接写出______；
②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；
③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.
3．（2021上·江苏南京·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °．
模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小.
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长.
【将军饮马之模型四 专项训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为 ．
2．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．

3．（2023上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点、的坐标；
(2)连接交于点，求的面积．
(3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
4（2019·天津西青·校联考一模）如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．
（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
模型五、模型六的理论依据：垂线段最短.
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值
方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长.
模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值

方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长.
【将军饮马之模型五与模型六 专项训练】
1．（2015·山东泰安·统考二模）如图，在中，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，则的最小值为 ．
18．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是 ．
2．（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为 ．

3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线交两坐标轴于两点，点为直线上一点，则线段的最小值是 ．

4．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
5．（2022下·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
6．（2021上·河南南阳·八年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是 ．
模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边.
模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值

方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB
模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值.
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’
【将军饮马之模型七与模型八 专项训练】
1．（2020上·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为
29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．

2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与坐标轴分别交于B，C两点．

(1)若，求自变量x的取值范围；
(2)动点在x轴上运动．当n为何值时，的值最大？并求最大值．
3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数的图象与轴交于A、两点，与轴相交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点是对称轴上一动点，当有最大值时，求点的坐标．
4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出，当kx＋b<时，x的取值范围；
（3）若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．
5．（2016·广东揭阳·统考二模）如图，抛物线过点，交轴于点，点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动(点不与点重合)，过点作轴交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点在运动过程中线段长度的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点使最大?若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

6．（2021上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）请在图中作出关于轴的轴对称图形(的对称点分别是)，并直接写出的坐标；
（2）求的面积．
（3）在x轴上找一点P，使｜PA－PB｜最大．(在图中标出点P，保留作图痕迹)．
模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值.

方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0.
模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
【将军饮马之模型九 专项训练】
1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为，则的周长的最小值是（ ）

A．10B．12C．14D．16
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽六安·校考模拟预测）某数学探究小组探究一个动点问题，如图，在中，P为边上一个动点，点D在边上，已知，，，

请完成下列探究：
（1）当时，的值为 ；
（2）连接，若，则周长的最小值为 ．
4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．

模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？
方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN
模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值.
方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN
模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短.
【将军饮马之模型十与模型十一 专项训练】
1．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．

2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为 ．

3（2022上·广东广州·八年级统考期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
4．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
5（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）在中，，点E在边上，连接．

(1)如图1，交于点G，，若平分，且，请求出四边形的面积；
(2)如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于点H，连接，求证：；
(3)如图3，线段在线段上运动，点R在上，连接．若平分，，．求线段的和的最小值．
题型02 蚂蚁爬行
蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：
解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】
1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，长方体的长为，宽为，高为，B是的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（ ）

A．1B．C．D．
4．（2014·全国·九年级统考专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A．B．25C．D．35
5．（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
6．（2021·山东枣庄·校考一模）如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为 cm．
7．（2012·湖南衡阳·统考一模）如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．

8．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度至少为 m．

9．（2023上·贵州贵阳·八年级校联考期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
10．（2019·浙江台州·校考二模）如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图．
（1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置；
②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）；
（2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离；
（3） 在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并写出其中的一种方案．
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：
解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形
【蚂蚁爬行之模型二 专项训练】
55．（2021·湖南株洲·统考模拟预测）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3B．6C．9D．6
56．（2021·山东·统考三模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A．B．
C．D．10
57．（2022上·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14B．12C．10D．8
模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
【蚂蚁爬行之模型三 专项训练】
58．（2023·陕西西安·校考二模）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．
模型四：蚂蚁爬楼梯问题
【蚂蚁爬行之模型四 专项训练】
1．（2022下·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
2．（2023·吉林·模拟预测）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．15 dmB．17 dmC．20 dmD．25 dm
3．（2012下·浙江台州·八年级统考期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm．
模型五：蚂蚁爬圆锥问题
【蚂蚁爬行之模型五 专项训练】
1．（2022·浙江金华·校联考一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东湛江·统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ．

3．（2020·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为 ．

4（2023上·湖北武汉·九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
5．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
6．（2020·广东·统考一模）已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

7．（2022·广东潮州·校考一模）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
方法指导
当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵，，
∴与的符号相同．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
小结
前+上
AB=
最小值取决于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=
前+右
AB=
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
爬行半圈
最短距离=
爬行一圈
最短距离=
示意图
展开图
作法
最短距离
点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解
AB=
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程
AB=
=25
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线BC的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离
先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长