中考数学三轮冲刺专题06 圆与射影定理结合型压轴题专题（2份打包，原卷版+解析版）

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射影定理模型：
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
1.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．
（1）+＝ ．
（2）若PN2＝PM•MN，则＝ ．
【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，
∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，
∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，
∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴＝1﹣，
∴+＝1，故答案为：1；
（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴由射影定理得：PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝QN，∴，∵，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即，设，则x2+x﹣1＝0，解得，x＝，或x＝﹣＜0（舍去）．
2．（北雅）如图，点在以为直径的半圆上运动（不与、重合），于点，过点作与平行交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）求证：与相切；
（3）若，求的值．
【解答】（1）解：是直径，，；
（2）证明：，，，，，
是半径，与相切；
（3）解：，，，，
，，，，，，，，同理得，，，，设，，，，（舍或．
3．（长沙中考）如图，点，，在上运动，满足，延长至点，使得，点是弦上一动点（不与点，重合），过点作弦的垂线，交于点，交的延长线于点，交于点（点在劣弧上）．
（1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记，，的面积分别为，，，若，求的值；
（3）若的半径为1，设，，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【解答】解：（1）是的切线．证明：如图，在中，，
．又点，，在上，是的直径．，．
又，．．是的切线．
（2）由题意得，，，．，
．．．又，，，．．．
又，．．．
由题意，设，．．．，．
．
（3）设，，．
如图，连接．
在中，．，．
在中，，．在中，．，．．在中，，．
．即．，最大值为与重合时，即为1．．
综上，，．
4.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；
（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；
(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），
∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；
5.（青竹湖三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，
CB的延长线交⊙O于点E．
求证：AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB．

解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径，
∴∠ADE＝90°∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE；
（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，由射影定理得：AE2＝AD×AF,∴AE2＝2×6,∴AE＝2cm；
（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∵CF:CD=n,令CD=1，则CF=n，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，由射影定理得：AE2＝AD×AF，∴AE2＝1×(n+2)，∴AE＝=CE，∵∠CAB＝∠DEC,
∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．
6.（长郡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE＝EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．
（1）求证：AH＝HD；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ＝，DF＝9，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE＝EC，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG＝90°，∴∠CBE＝∠CEG，∵∠CBE＝∠CDA，∠CEG＝∠DEH，∴∠CDA＝∠DEH，
∴HD＝EH，∵∠A+∠ADC＝90°，∠AEH+∠DEH＝90°，∴AH＝EH，∴AH＝HD；
（2）解：∵∠BDF＝90°， SKIPIF 1 < 0 ＝，令BD=4x，BF=5x，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，BD=12,
由射影定理得：BD2＝DF•DA，∴144＝9×DA，∴DA=16，又由射影定理得：AB2＝AF•DA，∴AB2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.
10.如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与过点 SKIPIF 1 < 0 的切线垂直，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求阴影部分的面积；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度（射影定理）.

【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．
∴AB＝BE＝×5＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，∴OH＝＝，CH＝OH＝，∴S△BOC＝×5×＝，
S扇形BOC＝×π×52＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；
（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，
∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∵∠ACB＝∠BHC＝90°，由射影定理得：
CH2＝BH•AH，设BH＝x，AH＝10-x，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或9(舍)，又由射影定理得：
CH2＝OH•HP，∴32＝4HP，解得：HP＝．
7.（雅礼）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．
（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；
（2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．

解：（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，
∴＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．
（2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，
∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．
（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝6，∴OD＝6，MC＝12，
∵＝＝，∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴＝＝，∴点P是BC的中点，
∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12，∴BM＝12，
由射影定理得：MC2＝MD×MB,∴122＝12×MD，∴MD＝4，∴＝．
8.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）①求证：点D是△PAB的内心
②若PA=13，sin∠APE= SKIPIF 1 < 0 ，求DE的长；
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求tanC.
【解答】（1）证明：连接OA，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠OBP＝90°，
在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴OA⊥PA，
∴直线PA是⊙O的切线；
（2）①由（1）得△OAP≌△OBP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APB，∵PA＝PB，∴PE⊥AB，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠DAP+∠OAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ADE＝∠OAD，
∴∠DAE＝∠DAP，∴AD平分∠PAB，同理可得出BD平分∠PBA，∴点D是△PAB的内心；
②解：作DF⊥AP于F，在Rt△APE中，AE＝PA•sin∠APE＝13×＝5，PE＝＝＝12，∵AD平分∠PAB，PE⊥AB，DF⊥AP，∴DE＝DF，∵S△APE＝S△APD+S△AED，∴×5×12＝×13×DE+×5×DE，解得：DE＝；
解：∵PE⊥AB，∴＝，∴∠DAE＝∠OCA，∵∠DEA＝∠AEC＝90°，由射影定理得：AE2＝CE•DE，∵设CD＝4x，AE＝3x，DE＝y，∴（3x）2＝（4x﹣y）•y，解得：y＝x或
y＝3x（不合题意，舍去），∴DE＝x，CE＝3x，在Rt△ACE中，tanC＝＝＝．
9.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连OE．若 SKIPIF 1 < 0 ，AB＝10，求CE的长．

【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC，
∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°，
∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；
∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10，
∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴DE＝＝＝4，由射影定理得：DE2＝CE×AE,∴16＝CE（10-CE），∴CE＝2或8（舍去），∴CE＝2．
10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；
（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，
连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，
∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，
∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．
11．如图，已知AB是半圆O直径，点C为半圆上一动点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，得到△ACE，AE交半⊙O于点F．
（1）求证：直线CE与⊙O相切；
（2）若∠OCA＝∠ECF，AD＝8，EC＝6，求CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，将△ACD沿AC翻折，得到△ACE，∴△ACD≌△ACE，∴∠EAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，∵∠AEC＝90°，∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EC，∴直线EC是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，∵CD＝CE＝6，AD＝8，
∴BD＝＝，AC＝＝10，∴AB＝8+＝，∵AC•BC＝AB•CD，∴BC＝＝＝7.5∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CFE＝∠DBC，
在△CEF和△CDB中，∴△CEF≌△CDB（AAS），∴CF＝BC＝7.5．
12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．
解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；
∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，
∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．
（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；
∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；
故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．
图形
推导过程
结论
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 ;
② SKIPIF 1 < 0 ;
③ SKIPIF 1 < 0