2023-2024学年河南省郑州市九校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市九校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，EB=EC，AB=AC，则此图中全等三角形有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
2.不等式x+12≥3x−2的解集为( )
A. x≥1B. x≤1C. x≥32D. x≤32
3.下列数学式子：①−3<0；②2x+3y≥0；③x=1；④x2−2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
4.若(m−2)x2m+1−1>5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为( )
A. m=0B. x<−3C. x>−3D. m≠2
5.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，AD平分∠BAC，DE是△ABD的中线，则S△ADE：S△ACD=( )
A. 4：5B. 5：4C. 16：25D. 5：8
6.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△ABC的面积等于 3，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为( )
A. 3
B. 33
C. 1
D. 2
7.如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠ABC=60°且∠BAC=∠DAE.当B、D、E三点共线时，∠BEC的度数为( )
A. 54°
B. 56°
C. 60°
D. 62°
8.如图，∠BAC为120°的等腰△ABC中，底边BC为3 3，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为( )
A. 2 3B. 2+ 3C. 3D. 3 3
9.如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=8cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t为s时，△POQ是等腰三角形．( )
A. 85B. 6C. 85或6D. 85或8
10.已知，如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下列结论中正确的序号是：①∠PAC=60°；②AC=AO+AP；③△OPC是等边三角形；④∠APO=∠DCO.( )
A. ①③④B. ②③C. ①②③D. ①③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若a12.关于x的方程4x−m+1=3x−2的解是负数，则m的取值范围是______．
13.在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，∠ACD=30°，则∠B= ______．
14.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°(点A，B，P是网格线交点)．
15.如图，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，△PBC的面积为2cm2，则△ABC的面积为______cm2．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)−x−1≤3x−5；
(2)3+2x2−1<1+2x5．
17.(本小题8分)
物流公司要建一个物流中转站，如下图按照设计要求，中转站到两个城镇A、B的距离相等，且到V字型公路m，n的距离也相等，则中转站P应建在什么位置(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8分)
为推进“书香社区”构建，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书的数量不少于文学类图书的两倍.请帮助社区设计最省钱的购书方案，并计算该社区至少要准备多少购书款？
19.(本小题9分)
如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，
求证：AD是EF的垂直平分线．
20.(本小题10分)
如图所示，在等边三角形ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证：BE=EF=FC．
21.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC=12，AB=20．
(1)试说明：CE=CF；
(2)试着求出线段CE的长．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．
(1)求证：BE=CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系：______
(3)若∠ACB=40°，∠ADE=20°，求∠DCB的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：图中的三角形有△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD，共3对．
故选：B．
根据SSS能得出△ABE≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAD，根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，根据全等得出BD=DC，根据SSS推出△EBD≌△ECD即可．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
2.【答案】B
【解析】解：去分母得x+1≥6x−4，
移项得−5x≥−5，
解得x≤1．
∴原不等式的解集为x≤1，
故选：B．
去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能正确运用不等式的基本性质解一元一次不等式是解此题的关键，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，难度适中．
3.【答案】C
【解析】解：①−3<0，是不等式，符合题意；
②2x+3y≥0，是不等式，符合题意；
③x=1，是等式，不符合题意；
④x2−2xy+y2，是多项式，不符合题意；
⑤x+1≠3，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个．
故选：C．
根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
4.【答案】B
【解析】解：根据不等式是一元一次不等式可得：2m+1=1且m−2≠0，
∴m=0
∴原不等式化为：−2x−1>5
解得x<−3，
故选：B．
根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．
此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出m的值．
5.【答案】D
【解析】解：作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴S△ADB：S△ACD=AB：AC=5：4，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△ADB=12S△ABD，
∴S△ADB：S△ACD=5：8，
故选：D．
作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DF，根据三角形的面积公式、三角形的中线的性质计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE交AD于点P′，
∵△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，
∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，AE=CE=1，
∴P′B=P′C，
P′E+P′C=P′E+P′B=BE，
根据两点之间线段最短，
点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长．
BE= BC2−CE2= 22−12= 3，
所以P′E+P′C的最小值为： 3，
故选：A．
根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB=PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长．
本题考查了轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是利用等边三角形的性质．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB
∵∠ADB=180°−∠ADE=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120°−60°=60°，
故选：C．
先分别证明△ABC和△ADE均为等边三角形，得到∠ADE=∠AED=60°，再证明△BAD≌△CAE得到∠AEC=∠ADB，求出∠ADB的度数即可．
此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各种判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=120°，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=120°−30°=90°，
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴CE=2AE，
∴BC=BE+CE=AE+2AE=3AE，
∵底边BC为3 3，
∴3AE=3 3，
∴AE= 3．
故选：C．
依题意得∠B=∠C=30°，根据DE垂直平分AB得AE=BE，则∠EAB=∠B=30°，进而∠CAE=90°，再根据直角三角形的性质得CE=2AE，则BC=3AE=3 3，据此可得AE的长．
此题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用相关性质进行推理计算的能力．
9.【答案】D
【解析】解：分两种情况：(1)当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP=OC−CP=OQ，
即8−3t=2t，
解得，t=85；
(2)当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，
∵∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，
即2t=3t−8，
解得，t=8，
故选：D．
根据等腰三角形的判定，分两种情况：(1)当点P在线段OC上时；(2)当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵∠BAC=120°，
∴∠PAC=180°−∠CAB=60°，
故①正确；
②③如图，在AC上取AE=PA，连接PE，OB，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵OC=OP，
∴OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠OPC+∠OCP=180°−∠OPB−∠OCB−∠OBP−∠OBC，
又∵∠OBP+∠OBC=∠ABC=30°
∴∠OPC+∠OCP=180°−30°−30°=120°
∴∠OCP=∠OPC=60°，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=CP，∠CPE+∠OPE=60°，
∴∠APO=∠CPE，
在△OPA与△CPE中，
PA=PE∠APO=∠EPCOP=CP,
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AC=CE+AE=AO+AP；
故②正确；故③正确；
④由②③知，∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
∴∠APO与∠DCO不一定相等，
故④错误，
故选：C．
根据平角的定义得∠PAC=180°−∠CAB=60°，可知①正确；在AC上取AE=PA，连接PE，可知△APE是等边三角形，再利用SAS证明△OPA≌△CPE，得AO=CE，可知②正确；由∠CPO=60°，OP=OC，可得△OPC是等边三角形，由∠ABO与∠DBO不一定相等，∠APO与∠DCO不一定相等，故④错误．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】解：两边都乘以−2，得
−2a>−2b，
两边都加−5，得
−5−2a>−5−2b，
故答案为：>．
根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．解答即可．
主要考查了不等式的基本性质．掌握：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解决问题的关键．
12.【答案】m<3
【解析】解：解方程得：x=m−3，
∵方程的解为负数，
∴m−3<0，
解得：m<3．
故答案为：m<3
先求出方程的解，然后根据解为负数，列不等式求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13.【答案】60°或30°
【解析】解：如图，当CD在△ABC 内时，
∵CD⊥AB，
∴∠A=90°−∠ACD=60°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
如图当CD在△ABC 外时，
∵CD⊥AB，
∴∠BAC=90°+∠ACD=120°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
故答案为：60° 或 30°．
根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数，然后再求出∠B的度数．
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；
14.【答案】45
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为45．
15.【答案】4
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△ABC=2S△PBC=4(cm2).
故答案为：4．
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△ABC=2S△PBC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
16.【答案】解：(1)−x−1≤3x−5，
−x−3x≤−5+1，
−4x≤−4，
x≥1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

(2)3+2x2−1<1+2x5，
5(3+2x)−10<2(1+2x)，
15+10x−10<2+4x，
10x−4x<2+10−15，
6x<−3，
x<−12，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】(1)按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：如图，作公路m，n所成锐角的角平分线，再作线段AB的垂直平分线，相交于点P，
则点P即为所求．

【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可知，中转站P在V字型公路m，n所成锐角的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点处，再根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可．
本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
依题意得：2x+3y=1544x+5y=282，
解得：x=38y=26．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
(2)设科技类图书的购买数量为m本，则文学类图书的购买数量为(100−m)本，依题意有：
m≥2(100−m)，
解得m≥2003，
∵文学类图书的单价低于科技类图书的单价，m为整数，
∴m=67时有最省钱的购书方案，
38×67+26×(100−67)
=2546+26×33
=2546+858
=3404(元)．
故该社区至少要准备3404元购书款．
【解析】(1)设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设科技类图书的购买数量为m本，则文学类图书的购买数量为(100−m)本，根据科技类图书的数量不少于文学类图书的两倍列出不等式求得m的范围，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准不等关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∵AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是EF的垂直平分线．
【解析】先求出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF，根据等腰三角形性质推出即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
20.【答案】证明：在等边三角形ABC中．
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°.
∴OE=OF=EF．
∴BE=EF=FC．
【解析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF=60°，∠OFE=60°.从而判定△OEF是等边三角形即OE=OF=EF，通过线段的等量代换求证即可．
此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于点G．

∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
在△ACF和△AGF中，
∠ACF=∠AGF=90 °∠CAF=∠GAFAF=AF，
∴△ACF≌△AGF(AAS)，
∴AC=AG=12，CF=GF，
∴BG=AB−AG=20−12=8，
∵∠ACB=90°，
∴BC= AB2−AC2= 202−122=16，
设CE=CF=x，则GF=x，BF=BC−CF=16−x，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BF2=BG2+FG2，
即(16−x)2=82+x2，
解得：x=6，
答：线段CE的长为6．
【解析】(1)证∠CFA=∠CEF，即可得出结论；
(2)过点F作FG⊥AB于点G.证△ACF≌△AGF(AAS)，得AC=AG=12，CF=GF，则BG=AB−AG=8，进而由勾股定理得BC=16，设CE=CF=x，则GF=x，BF=BC−CF=16−x，然后在Rt△BFG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE(三线合一)．
(2)∠ABC−∠ACB=2∠ADE
(3)解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
DB=DCDN=DM，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC−∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°−80°−40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°−∠EDC=30°．
【解析】(1)见答案；
(2)解：结论：∠ABC−∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC−∠ACB=∠ABM+∠CBM−∠ACB=∠AMB+∠CBM−∠ABC=∠MCB+∠CBM+∠CBM−∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案为∠ABC−∠ACB=2∠ADE
(3)见答案；
(1)利用等腰三角形三线合一即可证明．
(2)结论：∠ABC−∠ACB=2∠ADE.如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
(3)如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N.首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用(2)的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．