2024年山东省潍坊市潍城区数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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数学试题
注意事项：
1．本场考试时间120分钟，试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共22小题，满分150分；
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚；
3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第Ⅰ卷 选择题（共44分）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，错选、不选均记0分）
1. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意；
故选：C．
2. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客人．将万吨用科学记数法表示为（ ）
A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中（），n为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：万，
故选：B.
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
找到从几何体的上看所得到的图形即可．
【详解】解：这个“堑堵”的俯视图是A图，
故选：A．
4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴、绝对值、负整数指数幂．由数轴可知，，再结合四个选项，直接找出答案．
【详解】解：由数轴可知，，
故，，，，
观察四个选项，选项D符合题意；
故选：D．
5. 如图，正五边形内接于为劣弧上的动点，则的大小为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，正多边形的性质，圆内接四边形的性质，掌握性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．
连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵正五边形的外接圆为，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∴；
故选：C．
6. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴、x轴分别交于C，D两点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，D. 连接，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角函数；
先求出，，即可判定A、B，再根据图象即可判断C，求出即可判断D；
【详解】令一次函数中分别为0，
解出，
，A错误；
，
，B错误；
根据图象可得，当或时，，C错误；
，
即，D正确；
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、算术平方根和立方根等知识点．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、算术平方根和立方根等运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：BD．
8. 如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由尺规作图痕迹可知为的垂直平分线，平分，可判断选项A，通过为的外角可判断选项C，由三角形内角和定理得，所以，而平分，知，继而，故，可判断选项C．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知为的垂直平分线，平分，
故A选项不符合题意；
∵，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
故C选项不符合题意；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项不符合题意；
∵，
∴，而 ，
∴，故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的意义，外角定理等，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
9. 如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A. 当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B. 当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C. 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D. 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是，A不合题意；
当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，D不符合题意．
故选：C．
10. 如图，圆柱体的母线长为2，是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为，沿母线与上底面直径形成的折线段爬行到C处的路径的长为．当圆柱体底面半径r变化时，为比较与的大小，记，则d是r的二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的图象都在r轴上方B. 该函数的图象的对称轴为
C. 当时，D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出解析式．
根据勾股定理表示出和，进而表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】如图所示，将圆柱展开
∴，
∴，
∴
∵
∴二次函数开口向上，
令，即
∴，或
解得，
∴二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该函数的图象不都在r轴上方，故A错误；
当时，，
∴，故C正确；
∵
∴该函数的图象的对称轴为，故B正确；
∵二次函数开口向上，
∴当时，
∴
∴
∴，故D正确．
故选：BCD．
第Ⅱ卷 非选择题（共106分）
说明：将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上．
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【详解】解：，
故答案：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
12. 已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，有理数无理数的定义，二次根式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
根据x是满足的整数，则求出或5，分别代入找出符合结果是有理数的即可．
【详解】解：∵x是满足的整数
∴或
∴或5，
当时，是无理数，不符合题意舍；
当时，是有理数，符合题意，
∴，
故答案为：5．
13. 已知关于x的一元二次方程的两个根为，且，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，注意根的判别式这个隐含的条件．
根据根与系数的关系，可得根据，解出的值，再根据，求出的取值范围，即可确定的值．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两实根，
，
，
，
解得或，
解得，
，
故答案为：2．
14. 如图，在中，，以B为圆心为半径画弧，分别交于点F，E，再以C为圆心为半径画弧，恰好交边于点E，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，平行四边形的性质，等边三角形的面积，明确题意，熟知知识点是解决本题的关键．
由，，得与等底同高，因此，所以转变为，分别求出，即可．
【详解】解：连接，交于点O，
由题意得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴与等底同高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
四、解答题（本大题共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）下面是小亮解一道不等式的步骤，请阅读后回答问题．
解不等式：
①小亮的解法有错吗？如果有，错在哪一步？并给出改正．
②小亮解不等式的过程中从第一步到第二步的变形依据是什么？
（2）先化简再求值：，已知．
【答案】（1）①有错，见解析；②不等式的基本性质1；（2），．
【解析】
【分析】本题考查了求不等式的解集以及分式的化简求值．
（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤，利用不等式的基本性质判断，正确解不等式即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）①小亮的解法有错，错在第四步，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
②小亮解不等式的过程中从第一步到第二步的变形依据是：不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，按要求完成下列问题．
（1）将向左平移2个单位长度得到，直接写出点的坐标；
（2）将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出的坐标；
（3）点C的坐标为，用作图的方法在x轴上确定一点M，使最小，并写出点M的坐标．
【答案】（1）见详解，
（2）见详解，
（3）见详解，
【解析】
【分析】本题考查了平移作图、旋转作图，轴对称的性质．
（1）先分别作出平移后的，再依次连接，即可作答．
（2）先分别作出旋转后的，再依次连接，即可作答．
（3）先作关于轴对称点，再连接，与轴的交点，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
∴；
【小问2详解】
解：如图所示：
∴；
【小问3详解】
解：作关于轴的对称点，
∴，
∵点C的坐标为，
∴连接，与轴的交点，即为，
∴，两点之间，线段最短，
∴．
17. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
（1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
【答案】（1）遮阳棚前端M到墙面的距离为米
（2）则加装的前挡板的宽度的长是米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可；
（2）过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果．
【小问1详解】
解：过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
米，
遮阳棚前端M到墙面的距离为米；
【小问2详解】
如图，过点E作，垂足为H，
在，米，，
米，
米，
米，
由（1）可知米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
加装的前挡板的宽度的长是米．
18. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数；
（2）表格中的__________；__________（填“>”“=”或“<”）；
（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由；
（4）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】（1）图见解析，；
（2）7.5，
（3）该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由见解析
（4）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解；
（2）根据中位数与方差的定义即可求解；
（3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
（4）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：甲快递公司在配送速度得9分的人数为（人），
补全频数直方图如图，
扇形统计图中圆心角α的度数为；
【小问2详解】
解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数．
，
，
，
故答案为：7.5，；
【小问3详解】
解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
甲更稳定，
应选择甲公司；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
19. 某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离米，米，米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．

同学们认为，可以从中选择适当的函数模型，近似的模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系．
（1）请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系，并求出函数表达式；
（2）请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球落地点到C点的距离更近；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）扣球的函数解析式为；吊球的函数解析式为
（2）两种击球方式都能使球过网；选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用：
（1）由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，据此利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出两个函数当时的函数值，然后与比较即可得到结论；由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【小问1详解】
解：由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，
把代入中得：，
∴，
∴扣球的函数解析式为；
把代入中得：，
∴，
∴吊球的函数解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
在中，当时，，
∵，
∴两种击球方式都能使球过网；
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
20. 如图，内接于，是直径，点E在圆上，连接，，交于点F，过点C作交的延长线于点D，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，正弦函数的定义．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）连接，利用圆周角定理求得，利用角的转化，求得，即可证明是的切线；
（2）利用垂径定理求得，，利用正弦函数求得，证明是等边三角形，再利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵是直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴的长为．
21. 某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案：
说明：月利润=月租费-月维护费．
设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元；
（2）如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？
（3）设按方案A租赁所得的月利润为，按方案B租赁所得的月利润为，记函数，求w的最大值．
【答案】（1）4800，3315
（2）如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；
（3）的最大值为元．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．
（1）用甲方案未租出的无人机数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲方案的月利润；乙方案租出的无人机租金乘以10，减去维护费用可得乙方案的月利润；
（2）先求出两个方案月利润函数关系式，再求时，x的值即可；
（3）根据题意得到函数，利用二次函数的性质求解即可．
小问1详解】
解：元，
当每个方案租出的无人机为10辆时，甲方案的月利润是48000元；
乙方案的月利润为元，
故答案为：4800，3315；
【小问2详解】
解：设甲方案的月利润为，乙方案的利润为，则：
，
乙方案的利润为，
当时，
，
解得或（不合题意，舍去），
答：如果按两种方案租赁所得月利润相等，那么租出的无人机数量是37架；
【小问3详解】
解：由题意得
，
∵，
∴函数有最大值，
又，
∴当时，有最大值，为元．
22. 【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．
请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证；
（2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证；
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可．
【详解】（1）证明：∵正方形
∴，
∵将沿折叠，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2），选择图2进行证明．
将沿折叠，
则，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而E为中点，
∴，
∴．
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2，
∵，E为中点，
∴，而
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∵，
∴；
第二种情况，当点P在点H右侧，如图3，
同理可求，此时，
∵，
∴ ，
∴，
同理可得，
∴，
∴，∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等角三角函数值相等，熟练掌握知识点是解决本题的关键．解
去分母，得
……
第一步
移项，得
……
第二步
合并同类项，得
……
第三步
系数化为1，得
……
第四步
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
乙
8
8
7
方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元．
方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元．