甘肃省天水市第二中学2023-2024学年高二下学期第一次检测考试（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分 时间：120分钟）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项符合题目要求.
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由导数运算法则及复合函数的导数依次判断即可.
【详解】对于A，，A错误；对于B，因是常数，则，B错误；
对于C，，C正确；对于D，，D错误．
故选：C
2. 若离散型随机变量的分布列如下图所示．
则实数的值为（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意，，解得，
所以实数的值为.
故选：C
3. 已知，则等于（ ）．
A. 11B. 10C. 8D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求得函数的导数，求得，得到，即可求得的值.
【详解】由题意，函数，可得，
令，可得，解得，所以，
所以.
故选：B.
4. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在处取得极小值
C. 函数在处取得极值
D. 函数只有一个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】由图象得出函数的单调性以及极值.
【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误；
在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误；
当时，；当时，，即函数在上单调递增，
在上单调递减，即函数在出取得极大值，
且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确.
故选：D.
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，函数在上单调递减，即在时恒成立，解在时恒成立即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，即在时恒成立，
，，所以只要即可，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
6. 已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）
A. -1B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解
【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．
故选：B
7. 为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游､民俗人文游､自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）.设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量，则的数学期望是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，先得到选择“科技体验游”的概率与其它选择的概率，则可以写出选择“科技体验游”的学校数为随机变量X可能取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，再根据数学期望定义计算出数学期望.
【详解】依题意知，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“民俗人文游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为．
X可能的取值为0，1，2，3．
则，
，
，
．
X的分布列为：
.
故选：A.
8. 对于函数，下列说法不正确的有（ ）
A. 在处取得极大值
B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单调性求最值判断A、B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.
【详解】函数的定义域为，易得，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，即最大值，即，故A、 B正确，
令，即，解得，可得只有一个零点，故C错误，
易知，且结合单调性知，
即成立，故D正确.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 曲线的切线与曲线有且只有一个公共点
B. 设函数，则导函数恒成立
C. 函数在附近单调递增
D. 某质点沿直线运动，位移y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系为，则时的瞬间时速度为4
【答案】BD
【解析】
【分析】举特例判断选项A；求导并确定导数值符号判断选项B；求导确定导数在2附近的导数值符号判断选项C；利用导数的物理意义计算判断选项D作答.
【详解】对于A，函数，，，则函数图象在点处切线，
由解得：或，即曲线在点处切线与曲线有两个公共点，A不正确；
对于B，函数定义域为，，B正确；
对于C，在函数中，，当时，，即在上递减，C不正确；
对于D，依题意，，当时，，即时的瞬间时速度为4，D正确.
故选：BD
10. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记A为“男生甲被选中”，为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】7人选3人共有种选法，分别求出事件A，B，AB所包含的基本事件的个数，再利用古典概型公式即可求出，，，即可判断ABC，利用条件概率公式即可判断D.
【详解】解：由题意得，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.
【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”.
对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”.
对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知，
二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”.
对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处切线的斜率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的运算法则计算即可.
【详解】由题意可知，则时，
即曲线在处切线的斜率是.
故答案为：
13. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______________.
【答案】0.054##
【解析】
【分析】由全概率公式计算．
【详解】设表示这个人患流感，表示这个人分别来自三地，
由已知，，，
，，，
．
故答案为：0.054
14. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则成立时的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】设函数，则，即函数在上单调递减；
因为为奇函数，所以为偶函数，因此在上也单调递增；
又，所以，
当时，；当时，；
当时；当时，；
故应填答案．
四､解答题：本题5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，．设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（1）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
（2）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件即可求解；
（2）至多有一次命中，分为甲投篮3次，且都没命中，以及甲投篮3次，且恰有1次投篮命中，分类即可求解.
【小问1详解】
记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A
因为甲每次投篮命中概率为，
所以甲投篮一次且没有命中的概率为．
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为，
所以．
【小问2详解】
记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B．
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮3次，且都没命中的概率为，
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为．
所以．
16. 已知函数在点处有极小值.
（1）求；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）
（2）递增区间为，递减区间为
【解析】
分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）知，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间.
【小问1详解】
由函数，可得，
因函数在点处有极小值，可得，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
17. 某校高二年级学生参加全市的数学调研考试（满分150分），现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如下表．
（1）若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率；
（2）考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据题干中的表格，可以得出、乙两班中成绩不低于120分的人数，设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，利用排列组合即可求解其概率.
（2）根据题意，得出X的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，求解数学期望.
【小问1详解】
解：设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7和6，
∴，
∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为．
【小问2详解】
易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人，
∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
∴，，，
，
∴X的分布列为
∴X的数学期望为．
18. 已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求切线的方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得导数，得到，求得，再由，得出切点坐标为，进而求得切线方程；
（2）令，得到，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，转化为和的图象有两个交点，结合图象，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，函数，可得，
则，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
可得，解得，所以，
可得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即直线的方程为.
【小问2详解】
解：由题意，函数的定义域为，
令，即，
当，可得，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，且当时，，时，，
要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点，
如图所示，结合图象，可得，
即实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，记函数的最小值为，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果；
（2）根据（1）的单调性求出，再利用导数可证不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为，
,
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.0
1
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
X
0
1
2
3
P
班级
考试成绩（单位：分）
甲班
106，112，117，120，125，129，129，135，141，146
乙班
103，114，116，119，124，128，131，134，139，143
X
0
1
2
3
P