湖北省十四校协作体2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖北省十四校协作体2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷（原卷版+解析版），文件包含湖北省十四校协作体2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷原卷版docx、湖北省十四校协作体2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
数学试卷
命题单位：襄阳市第五中学、夷陵中学
★祝考试顺利★
注意事项：
1.本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，用签字笔将答案写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出 在复平面内对应的点的坐标得答案．
【详解】
即的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .
故选C.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，所以，
所以，
故选：D.
3. 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三点共线，三点共线，三点共线，用表示，可求的值.
【详解】由三点共线，设，
由三点共线，设，
则有，解得，
所以，
由三点共线，设，
则有.
故选：B.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和差的余弦公式结合商数关系式可求两角的正切的乘积.
【详解】由题设有，
整理得到，
若，则或，此时的正切不存，不合题意；
故 ，故，
故选：C.
5. 中所对的边分别为，若，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】余弦定理求得，则，由，代入求值即可.
【详解】由，得，
由余弦定理得，
，则有，所以，
.
故选：A
6. 锐角中，的中点分别为，且所对的边分别为，若三角形内点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量运算，化简条件等式，证明点为的垂心，连接并延长交与点，由此可求.
【详解】因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点为的垂心，
连接并延长交与点，
所以，
，
所以，
故选：C.
7. 的三边为满足，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数性质由条件证明，由条件结合指数函数性质可得，根据余弦定理和大边对大角即可判断三角形形状.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，
所以
所以,
由
，
故为锐角三角形，
故选：C.
8. 平面内有向量满足，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值.
【详解】，则有，如图，，
，
延长至，使得，
，，则有，得，
.
当三点共线且在线段上时，的最小值是.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的，若此题有两个正确选项得3分，若此题有三个正确选项，选对一个得2分；有选错的得0分.
9. 现有向量，满足，这三组向量中共线的组数可能有且仅有（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件进行分类讨论，列举出A,C,D三个选项的可能情况即可，利用反证法判断B错误.
【详解】若至少有两个为，不妨设，
则，，
满足条件，
此时三组向量中两两共线的有3组，D正确
若有且仅有1个为，
不妨设， ，均为非零向量，则
，，，
所以，此时，可能共线，也可能不共线，
此时三组向量中两两共线的有2组或3组，C正确，
若向量，，均为非零向量，且向量，，两两互相垂直，
则，
此时三组向量中两两共线的有0组，A正确，
若三组向量中两两共线的有1组，则向量，，均为非零向量，
不妨设共线，不共线，不共线，
与矛盾，B错误，
故选：ACD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. ，，则
B. ，，则
C. ，，则
D. ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由条件等式平方相加，结合两角差余弦公式，平方关系化简可求，即可判断，对于B，结合两角和差余弦公式和正弦公式化简求，再由二倍角正切公式求，即可判断，对于C，结合两角和差正弦公式化简，由此可求，即可判断，对于D，利用两角和差正弦公式，结合同角关系可得，化简判断D.
【详解】对A，因为，，
分别平方可得，，，
相加可得，，
所以，A正确；
对B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，B错误；
对C，因，
所以，
所以，又，
所以，C错误；
对D，因为，
，
，
所以，
所以，
所以，D正确；
故选：AD.
11. 的三条高交于一点H，所对的边分别为，下列说法中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先利用奔驰定理，从而结合题干得到和的关系，据此即可判断 A选项，根据A选项的结论即可判断 B选项，根据A选项的结论以及余弦定理即可判断C选项，利用函数用和表示出，根据和的关系用表示出，据此即可判断D选项.
【详解】根据奔驰定理可得，
其中，
延长交于点，
因为，则，
又，
所以，
同理可得，
所以，，
所以，故错；
由可知B正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，故C正确；
因为，，
所以 ，
又，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出和的关系，利用此结论即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的最小值为_______
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的模的公式求，再结合三角函数知识求其最小值.
【详解】因为
所以，
化简得，
所以，
设，
则，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为，
故答案：.
13. 已知三角函数，又已知函数满足如下条件为的一个零点，为的一条对称轴，且在区间上单调.则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】由零点和对称轴可构造方程组求得和，由此可得为奇数，利用在上单调，可得，对范围内的逐个验证可得的最大值.
【详解】因为是的一个零点，所以；
因为是的一条对称轴，所以；
由得：，所以，
因为在区间上单调，设函数的周期为，
则，所以，
所以，所以的可能取值为，
当时，，，
因为，
为一个零点，为的一条对称轴，
由，可得，
函数在不单调，
所以函数在上不单调，不满足要求，
当时，，，
因为，
为的一个零点，为的一条对称轴，
由，可得，
函数在不单调，
所以函数在上不单调，不满足要求，
当时，，，
因为，
为的一个零点，为的一条对称轴，
由，可得，
函数在单调递减，
所以函数在上单调，满足要求，
所以的最大值为.
故答案为：.
14. 的最大值为，则复数的模为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，令，，从而将问题转化成的最大值是，再利用柯西不等式，得到，即可求出结果.
【详解】，
令，，则，
原条件转化为的最大值是，
由柯西不等式，，当且仅当时取等号，
所以的最大值是，则有，
所以复数的模为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算： ；
（2）求值：
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据复数三角表示的除法运算计算即可；
（2）先化切为弦，然后根据辅助角公式，诱导公式及倍角公式化简即可得解.
【详解】
；
（2）
.
16. 如图，正方形中，分别为线段上的点，满足，连接交于点．

（1）求证：；
（2）设，求的最大值和的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）的最大值为1；的最大值为
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；
（2）根据三点共线可得，利用向量的坐标运算可得，进而结合基本不等式求最值.
【小问1详解】
如图，建立平面直角坐标系，

不妨设，
则，
可得，
因为，可知，所以.
【小问2详解】
因为三点共线，且，可知，
由（1）可知，
则，
又因为，则，
可得，
则，
若，则；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：的最大值为1；
又因为，
当且仅当，即时，等号成立；
所以的最大值为.
17. 如图，三角形中，所对的边分别为，满足，，为线段上两点，满足.
（1）判断的形状，并证明；
（2）证明：；
（3）直接写出的最小值.
【答案】（1）等边三角形，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定边边转角，得到，，即可求出结果；
（2）作，连接，过作的延长线于，
根据几何关系，利用，，得到，，在，利用勾股定理，即可证明结果；
（3）利用三角开面积公式和正弦定理，得到，不妨令，则，得到，求出的最大值，即可解决问题.
【小问1详解】
等边三角形，证明如下，
因为，由正正弦定理得到，即，
所以，又，所以，
得到，又，所以，
又，由正弦定理得，
又，所以，得到，
又，所以，，故为等边三角形.
【小问2详解】
如图，作，连接，过作的延长线于，
由（1）知，所以，得到，
又，所以，在中，，
又，，所以，
所以，又，所以，得到，
在中，,
即.
【小问3详解】
因为，
在中，，在中，，
所以，
不妨令，则，
所以，
当时，即，取到最大值，
此时最小，最小值为.
18. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，若，恒成立，求时t的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论的象限，化简函数，再求其值域，
（2）利用（1）的结论求的最小值，化简条件，解不等式求t的最大值.
【小问1详解】
当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
所以函数的值域为，
【小问2详解】
因为，恒成立，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或，
所以或，
又，
所以，
所以，
所以t的最大值为.
19. 向量外积（又称叉积）广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量与的叉积，规定的模长为，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且.
（1）直接写出结果：① ;② ;
（2）空间直角坐标系中有向量，
①若，用含的坐标表示；
②证明：；
（3）如图2所示，平面直角坐标系中有三角形OAB，，试探究表达式.
【答案】（1）；
（2）①；②证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据外积的定义，结合外积的模长即可求解，
（2）设单位向量，根据外积定义得，，即可根据外积定义代入化简求解，
（3）根据三角形的面积公式与外积表达，即可结合（2）的坐标运算求解.
【小问1详解】
，故；
由于，所以，但是与的方向相反，
故；
【小问2详解】
①由题意可设x、y、z方向的单位向量，则， ，
，
综上，.
②

，得证.
【小问3详解】
由（2）问知.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.