云南省昆明市第十四中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】由数据特征可直接判断.
【详解】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；
平均数为，可能变，故B错；
中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；
方差为，有可能变，故D错.
故选：C
2. 的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 10B. －10C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数，先找出指定项系数有哪些项构成，再计算即可求解.
【详解】的展开式中，含项的系数是由两个因式相乘而得到的，
即“第一个因式的常数项乘第二个因式的一次项”+“第一个因式的一次项乘第二个因式的常数项”，
为，
其系数为.
故选：C.
3. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
4. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断B，由此得解.
【详解】对于A，若，，则有可能，故A错误；
对于B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，
又，即，所以，故B正确；
对于C，若，，则有可能，故C错误；
对于D，若，，则有可能，故D错误.
故选：B.
5. 已知两个点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“直线”给出下列直线：①，②，③，则这三条直线中有几条“直线”（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义得到点是以，为焦点的双曲线的右支，问题转化为看所给的直线与双曲线的右支是否有交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意知，
根据双曲线定义，可得点是以，为焦点的双曲线的右支，
所以点是双曲线右支与直线的交点，即“直线”须满足与双曲线的右支相交，
又由双曲线的渐近线方程为，
中，直线为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线没有公共点，
如图所示，所以不是“直线”；
中，如图所示，直线与双曲线的右支无交点，所以不是“直线”；
中，直线与双曲线的右支有一交点，如图所示，所以是“直线”．
故选：C．

6. 已知角的终边落在直线上，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【详解】因为角的终边落在直线上，所以，
.
故选：A.
7. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率.
【详解】
由题意结合椭圆定义可知：的周长为，，
又因为，
所以，又由，知，
故，因此椭圆的离心率为.
故选：A
8. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 函数关于直线对称
C. D. 的周期为3
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：令，代入判断A；令，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令判断C；令，利用周期性的概念判断D；解法二：构造函数，依次验证各选项即可.
【详解】解法一：
令，，则，解得，A正确；
令，则，
所以，即是偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，B正确；
令，则，
令，则，所以，C正确；
令，则①，
所以②，
①②联立得，
所以，，即的周期为，D错误；
解法二：
构造函数，
满足，且，
，A正确；
，
因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，
所以关于直线对称，B正确；
由余弦函数的图象和性质可知，C正确；
的周期，D错误；
故选：D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列正确的是（ ）
A.
B.
C. 对应的点在第三象限
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数模的概念，共轭复数的定义，复数的几何意义，复数乘法运算可依次判断各个选项.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，由共轭复数的定义可得，故B正确；
对于C，由复数的几何意义可得复数对应的点为在第四象限，故C错误；
对于D，，又，，故D正确.
故选：ABD.
10. 关于函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 区间上单调递减
C. 函数的最小正周期为
D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移个单位长度得到的函数为
【答案】AD
【解析】
【分析】代入即可验证对称中心，即可判断A，根据整体法即可判断B，根据周期公式即可判断C，根据函数伸缩平移变换即可求解D.
【详解】对于A，由于，
故的图象关于点对称，故A正确；
对于B，当时，，
由正弦函数单调性知在上单调递增，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C错误；
对于D，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，
再把图象向右平移个单位长度得到的函数为，故D正确.
故选：AD.
11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
C. 当三点不共线时，若点，则射线平分
D. 过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】设点，根据题意可求出的方程可判A；根据直线与圆有公共点列方程判断B；根据三角形内角平分线的性质可判断C；分析可得两圆的公共弦，求出公共弦所在直线方程可判断D.
【详解】对于A，设点，则由，可得，化简可得，故A正确；
对于B，曲线的方程为，圆心为，半径为，直线，即，
若直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，则的取值范围是，故B错误；
对于C，当三点不共线时，，则，
，，则，所以，
所以由角平分线定理的逆定理知射线平分，故C正确；
对于D，设曲线外一点，因为，，所以在以为直径的圆上.
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
化简得：，
因为两圆的公共弦，所以直线的方程为，
即，令，解得，则直线过定点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，则，
所以线路为通路的概率为.
故答案为：
13. 已知数列的前项和，当取最小值时，___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.
【详解】因为，则当时，，
又当时，，满足，故；
则，
又在单调递减，在单调递增；
故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.
故答案为：.
14. 已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】作图，分外接球的球心在棱锥内部和外部两种情况，运用勾股定理列式分别计算.
【详解】设正六棱锥，底面中心为，外接球半径为，底面正六边形的边长为，棱锥的高，
则，，，
当外接球的球心在棱锥内部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，，
所以正六棱锥的体积为.

当外接球的球心在棱锥外部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，，这与矛盾，不合题意舍去.

综上，该正六棱锥的体积为.
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了研究体育锻炼对某年龄段的人患某种慢性病的影响，某人随机走访了个该年龄段的人，得到的数据如下：
（1）定义分类变量、如下：，，以频率估计概率，求条件概率与的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析经常进行体育锻炼是否对患该种慢性病有影响．
附：
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式结合表格中数据可求得与的值；
（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【小问1详解】
解：由表格中的数据可得，
.
【小问2详解】
解：将列联表中的数据代入公式计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断经常锻炼对患有某种慢性病有影响，
此推断犯错误的概率不大于.
16. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角：
（2）若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；
（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，，结合面积公式运算求解.
【小问1详解】
因为，整理得，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
即，且，可得.
【小问2详解】
因为为角的角平分线，则，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），则，
所以的面积.
17. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1） （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）由（1）先用错位相减法求出，得证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，，
所以，解得，
所以，解得，
，.
【小问2详解】
由（1）得，令，
，①
则，②
①②式得，
，
化简整理得，
，，得证.
18. 在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面底面.
（1）证明：；
（2）为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由即可证明.
（2）求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连结，在中，，
所以，平面平面，
平面平面平面，
平面平面，
在等边三角形中，，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，即，故；
【小问2详解】
，设平面的法向量为，
则有，令，
设平面的法向量为，
则有，所以，令，则，
设平面与平面夹角为，则.
19. 已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.
（1）求C的标准方程；
（2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直且不过的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，最大值为6.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、椭圆的性质、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）通过直线斜率与倾斜角之间的关系，由可以得到，这样利用直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式、换元法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，
由题，面积最大值为，则，解得
所以椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，，
将代入，得，
，由得，
，，
由，得，即，，
整理得，
即，
所以，，
所以直线l：经过，且恒成立，
，
，
令，则，
所以，
当且仅当时取等号，即，时，的面积取最大值为6.
【点睛】关键点睛：由得到这是一个关键点，另外通过变形运用基本不等式也是关键点之一.
慢性病
体育锻炼
合计
经常
不经常
未患病
患病
合计