四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：王丹 审题人：周莉
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等比数列中，若，则（ ）
A. 8B. 6C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】因为是等比数列，所以的偶数项也是等比数列，由此可以利用等比中项性质求出结果.
【详解】因为是等比数列，
∴成等比数列，
∴，且，
∴.
故选：A
2. 设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为
A. 2B. -1C. 1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义，求出在曲线上点处的导数，即求得在此点处切线的斜率．
【详解】由
根据导数的定义可得:.
在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率
故选：B
【点睛】本题考查导数的定义及极限的变形，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线上点处的切线率．属于基础题.
3. 向一个半球形水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的形状，判断水面高度随时间升高的快慢，判断可得出合适的选项.
【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢，
即图象越来越平缓，
故选：B.
4. 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个等差数列的公差，得到公共项的公差，从而得到新数列的通项公式，通过新数列中的项小于等于，从而得到的范围，得到答案.
【详解】等差数列2，6，10，…，190，公差为，
等差数列2，8，14，…，200，公差为，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为，首项为，
所以通项为，
所以，解得，
而，所以的最大值为，
即新数列的项数为.
故选：B.
【点睛】本题考查求两个等差数列的公共项组成的新数列，属于中档题.
5. 已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，
则满足，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：C.
6. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
7. 等差数列的前项和分别为，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果.
【详解】∵等差数列的前项和分别为，
且，
∴，
∵.
故选：A.
8. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A. 42B. 56C. 63D. 70
【答案】C
【解析】
【分析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，利用等比数列求和公式，结合，即可得到答案；
【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，
由，可得，解得，两边取对数得，
则，所以，
故需要的天数约为.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列 求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确.
故选：AD.
10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为的最小值
C.
D. 使得成立的的最大值为33
【答案】AC
【解析】
【分析】利用，作差求出的通项公式，即可判断A，根据二次函数的性质判断B，首先解出时的取值范围，则，利用计算判断C，直接解不等式，即可判断D.
【详解】因为，
当时，，
当时，,
所以，
经检验也符合上式，所以，故A正确.
由于二次函数的开口向下，对称轴为，
所以当或时取得最大值，即是的最大值，故B错误.
由解得，
所以
，故C正确.
由，
所以使成立的的最大值为，故D错误.
故选：AC
11. 过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设切点为，求得切线方程为：，将切线过点，代入切线方程，得到有两个解，结合，即可求解．
【详解】由题意，函数，可得
设切点为，则，
所以切线方程为：，
切线过点，代入得，即方程有两个不同解，则有，解得或．
故选：AD.
12. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为偶数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在数列中，若___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用数列的周期性求解.
【详解】解：因为在数列中，，
所以，
所以数列周期为，
所以，
故答案为：
14. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为______________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案.
【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，当时，；当时，；当时，；当时，.
当时，由可得，此时；
当时，由可得，此时.
综上所述，解集.
故答案为：.
15. 已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，则的最小值为___________.
【答案】20
【解析】
【分析】利用等比数列前项和的性质表示出,再表示成同一变量,然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列，
所以仍然构成等比数列,
所以
又成等差数列,
所以
所以
又正项等比数列,所以
所以 当且仅当时, 等号成立,
所以的最小值为20,
故答案为：20.
16. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有恒成立，运用配方法求出函数在上最大值即可．
【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,
不妨设，所以，即，
令，则，
所以函数在单调递增，
则恒成立，所以恒成立，
又函数，当时，等号成立，
所以， 所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知为等差数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和．
【详解】（1）设数列的首项为，公差为.
由题意得
解得
∴数列的通项公式
.
（2）由（1）得，
∴．
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等求和方法．
18. 函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数在区间上的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，求出，即可求出参数的取值范围；
（2）首先利用导数求出函数在定义域上的单调性，再分、两种情况讨论，即可得到函数在区间上的单调性.
【小问1详解】
因为，则，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为.
【小问2详解】
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时在区间上单调递减，
当时在区间上单调递减，在上单调递增.
19. 已知是数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】(1)利用公式法求解即可得出得通项公式；
(2)先求出的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解.
【详解】(1)当n=1时，=，
解得．
∵，①
∴当时，．②
①－②得，
整理得(n≥2)．
∴数列是以首项为2，公比为2的等比数列．
∴．
(2)由(1)得．
∴．
20. 已知函数.
（1）是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积；
（2）若直线是曲线与的公切线，求的值.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案；
（2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可.
【小问1详解】
解：因为，所以的图象在处切线的斜率为.
又，所以的图象在处的切线方程为，
则，故的面积为.
【小问2详解】
解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则
由点在切线上，得；
由点在切线上，得.
故，解得.
故.
21. 记.
（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；
（2）记是的导函数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系求解即可.
（2）先求导，再根据错位相减求解即可.
【小问1详解】
当时，.
当时，.
又当时，不满足上式，
所以
【小问2详解】
①
②
①-②得，
22. 设是公差大于1的等差数列，数列满足.已知，，，是和的等差中项.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据得出是等比数列，然后设出公差和公比，将条件用基本量来表达，进而求出公差和公比，进而求出答案；
（2）由（1）可得的前n项和应该用错位相减法，求出之和判断的增减性，求出的最大值，进而解出答案.
【详解】（1）∵，∴是等比数列.设数列公差为，数列的公比为q，由题意：或（舍），
∴.
（2）由（1），，∴……①
∴……②
由②-①得：，
∵，∴是一个递增数列.
∴，则.
∵对任意的，不等式恒成立，∴恒成立，又，
∴.