四川省广安市友实学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，
2选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚，
3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸､试卷上答题无效.
4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照.
5保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
第I卷选择题（60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，计算即可得的值.
【详解】由，故，故.
故选：D.
2. 下列说法错误的是（ ）
A.
B. 、是单位向量，则
C. 若，则
D. 任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【解析】
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
3. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标.
【详解】向量，，
所以与向量同向的单位向量为.
故选：B
4. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.
【详解】
如图，因，则，即，
解得：.
故选：A.
5. 已知向量在上投影数量为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的概念可得，求得，即可求解.
【详解】因为向量在上投影数量为，，所以，
所以，所以.
故选：C .
6. 已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底表示出向量，两边平方可求得.
【详解】因为，
所以
；
因此.
故选：A
7. 在中，“”是“是钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由向量减法以及模的运算公式平方可得，结合数量积的几何意义即可得解.
【详解】“”等价于“”，
所以
从而，显然A，B，C不共线，原条件等价于是钝角.
故选：C．
8. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.
【详解】取的中点，连接、，

则
，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的取值范围为．
故选：C
二､多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若，则与的夹角的范围是
C. 若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A.由向量在向量上的投影向量的定义判断；B.由，则判断；C.由平面向量的夹角判断；D.由是否为非零向量判断.
【详解】A.由向量在向量上的投影向量的定义知，向量在向量上的投影向量可表示为，故正确；
B. 因为，所以，又，所以与的夹角的范围是，故正确；
C.若是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为，故错误；
D.若，且都为非零向量时，，故错误；
故选：AB
11. 已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D. 在上的投影向量的模为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，根据条件写出所有点的坐标求解即可.
【详解】由题意可知：E为中点，则，
以E为原点，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，，，
设，，，，
所以，解得，即O是中点，，所以B正确；
，所以C正确；
因为，所以，所以A错误；
易知，，则在方向上的投影为，所以D正确.
故选：BCD.
12. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为6
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D.
【分析】对于A，因，，
则，解得，故A正确；
对于B，因为，则，解得，
所以，解得，故B错误；
对于C，因为，
而，当且仅当反向时，等号成立，
此时，解得或，
当，同向，舍去；
当，满足反向；故C正确；
对于D，若，则，
即，所以，
则
，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分（其中16题第一空3分，第二空2分）共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知向量，，若，则正数的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标形式可得的方程，故可得正数的值.
【详解】由题意得，，，
，解得（舍去）或.
故答案为：.
14. 在平行四边形中，，则__________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.
【详解】因为四边形为平行四边形，则，
，则，
故答案为：10.
15. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式计算即得.
【详解】向量，则，.
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
16. 在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________．
【答案】
【解析】
【详解】设AO与BC交于点D.
由角平分线定理知.
于是，.
又，则
.
因此，.
故答案为
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知不共线．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若向量与共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，可得三点共线；
（2）利用向量共线条件，设，列方程组求实数的值．
【小问1详解】
证明：，，
则有，可得且为公共点，
所以三点共线.
【小问2详解】
向量与共线，则存在唯一实数，使得，
可得，即，解得 .
18. 已知向量，,．
（1）若，求值；
（2）若向量，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直的坐标运算可求的值；
（2）根据数量积的坐标运算，结合三角函数的性质即可求解．
【小问1详解】
，,
若，则，
即，得，
；
【小问2详解】
，
则，
，
，
则，
即，
的值为．
19. 已知平面向量，的夹角为，且，，.
（1）当，求；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当，，两边平方，利用向量数量积求；
（2）当时，有，利用向量数量积求的值.
【小问1详解】
平面向量，的夹角为，且，，当，，
则，
所以.
【小问2详解】
当时，，
所以.
20. 已知平面上三点，，且，．
（1）若三点，，不能构成三角形，求的值；
（2）若为直角三角形，求的取值集合．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，分析可得向量，由向量平行的判断方法可得答案；
（2）根据题意，分类讨论三个内角分别是直角时的值，从而得到答案.
【小问1详解】
因为三点不能构成三角形，所以，，在同一条直线上，
，，解得．
【小问2详解】
由题意得，．
当是直角时，，,,解得；
当是直角时，，,,解得或；
当是直角时，，,,解得．
综上所述，的取值集合为：．
21. 已知函数① ②. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
（1）求的解：
（2）在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
【答案】（1）选择函数；选择函数；
（2）（i）选择函数；选择函数；（ii），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据解析式代入运算求解；
（2）根据题意，求出的坐标，根据向量模的坐标公式运算判断.
【小问1详解】
选择①，.
选择②，.
【小问2详解】
选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M 为 ，
；

所以，
所以 即.
选择②，线段的中点为C为，分别为，，,
线段中点M 为，
；
，又 ，
所以 即
22. 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
（1）若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
（2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.
【小问1详解】
解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
【小问2详解】
解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.