2021-2022学年北京市汇文中学教育集团高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市汇文中学教育集团高二（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2+1的单调递减区间是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）
2．（5分）函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x＝﹣3时取得极值，则a＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（5分）若在区间（a，b）内有f′（x）＞0且f（a）≥0，则在（a，b）内有（ ）
A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）＝0D．不能确定
4．（5分）在（x﹣）10的展开式中，x6的系数是（ ）
A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104
5．（5分）在（2x3+）n（n∈N*）的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．8D．10
6．（5分）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种
A．21种B．315种C．153种D．143种
7．（5分）登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是（ ）
A．30B．60C．120D．240
8．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．8个
10．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（ ）
A．π，0B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
11．（6分）若f（x）＝x3，f′（x0）＝3，则x0的值为 ．
12．（6分）y＝2x2+8过点P（1，2）的切线方程是 ．
13．（6分）若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为 ．
14．（6分）离散型随机变量的分布列为：
且Eξ＝2，则P1＝ ；P2＝ ．
15．（6分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 种．
16．（6分）已知，对于任意x∈R，ex≥ax+b均成立．
①若a＝e，则b的最大值为 ；
②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为 ．
三、解答题（共4小题，共64分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（15分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程f（x）＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
18．（15分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．
19．（17分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）
（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20．（17分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．
（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．
2021-2022学年北京市汇文中学教育集团高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）函数f（x）＝x3﹣3x2+1的单调递减区间是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）
【分析】求出函数的导数，令f′（x）＜0，解出即可．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，
解得：0＜x＜2，
故函数的递减区间是（0，2），
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
2．（5分）函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x＝﹣3时取得极值，则a＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x＝﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）＝0，代入求a值．
【解答】解：对函数求导可得，f′（x）＝3x2+2ax+3
∵f（x）在x＝﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）＝0⇒a＝5，验证知，符合题意
故选：D．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．
3．（5分）若在区间（a，b）内有f′（x）＞0且f（a）≥0，则在（a，b）内有（ ）
A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）＝0D．不能确定
【分析】利用导函数的符号，判断出函数f（x）在区间（a，b）内的单调性，利用单调性判断出函数值的大小．
【解答】解：∵在区间（a，b）内有f′（x）＞0
∴f（x）在区间（a，b）内递增
x∈（a，b）
∴f（x）＞f（a）
∵f（a）≥0
∴f（x）＞0
故选：A．
【点评】利用导数求函数的单调区间：遵循当导函数为正，函数单调递增；当导函数为负，函数单调递减．
4．（5分）在（x﹣）10的展开式中，x6的系数是（ ）
A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．
【解答】解：展开式的通项为
令10﹣r＝6得r＝4
∴展开式中x6的系数是9C104
故选：D．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
5．（5分）在（2x3+）n（n∈N*）的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．8D．10
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝∁nr（2x3）n﹣r（）r＝2n﹣rx3n﹣3r﹣2r
令3n﹣5r＝0可得n＝r．
当r＝3时，n最小为5．
故选：B．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．
6．（5分）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种
A．21种B．315种C．153种D．143种
【分析】根据题意，按选出科目的不同分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：
①一本语文、一本数学，有9×7＝63种取法，
②一本语文、一本英语，有9×5＝45种取法，
③一本数学、一本英语，有7×5＝35种取法，
则不同的选法有63+45+35＝143种；
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7．（5分）登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是（ ）
A．30B．60C．120D．240
【分析】本题可以采用分步计数原理来解，先将4个熟悉道路的人平均分成两组，再将余下的6人平均分成两组，前两个分组都是平均分组，然后这四个组自由搭配还有A22种，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：本题可以采用分步计数原理来解，
先将4个熟悉道路的人平均分成两组有．
再将余下的6人平均分成两组有．
然后这四个组自由搭配还有A22种，
故最终分配方法有×C42•C63＝60（种）
故选：B．
【点评】本题考查的是排列组合问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
8．（5分）甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率．
【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，
则P（A）＝，P（B）＝，
目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，
∴目标被击中的概率：
p＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]
＝1﹣
＝．
∴目标被击中的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
9．（5分）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．8个
【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，
则分3种情况讨论：
①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，
②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2×2＝4个比2000大的偶数，
③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22＝2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，
则一共有2+4+2＝8个比2000大的偶数，
故选：D．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，解题时注意“大于2000”的数字的特征，由此对四位数的千位数字进行分类讨论．
10．（5分）函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（ ）
A．π，0B．C．D．
【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．
【解答】解：函数，
∴f′（x）＝1﹣csx；
令f′（x）＝0，解得csx＝，
又x∈[0，π]，∴x＝；
∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
且f（）＝﹣sin＝﹣1，
f（0）＝0，f（π）＝π；
∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
11．（6分）若f（x）＝x3，f′（x0）＝3，则x0的值为 ±1 ．
【分析】先对函数f（x）进行求导，然后将x0代入导函数建立等量关系，求出x0即可．
【解答】解：∵f（x）＝x3
∴f′（x）＝3x2则f′（x0）＝3x02＝3
解的x0＝±1，
故答案为±1
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及导数的几何意义，属于基础题．
12．（6分）y＝2x2+8过点P（1，2）的切线方程是 4x+y﹣6＝0或12x﹣y﹣10＝0 ．
【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，把已知点的坐标代入，求得切点横坐标，进一步可得切线方程．
【解答】解：设切点为（t，2t2+8），
由y＝2x2+8，得y′＝4x，∴y′|x＝t＝4t，
可得过切点的切线方程为y﹣2t2﹣8＝4t（x﹣t），
把点P（1，2）代入并整理，得t2﹣2t﹣3＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
∴y＝2x2+8过点P（1，2）的切线方程是4x+y﹣6＝0或12x﹣y﹣10＝0．
故答案为：4x+y﹣6＝0或12x﹣y﹣10＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是基础题．
13．（6分）若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为 1 ．
【分析】根据所给的等式，给变量赋值，当x为﹣1时，得到一个等式，当x为1时，得到另一个等式，而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2＝（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入即可求得结果．
【解答】解：∵，
当x＝﹣1时，（﹣2）4＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4①
当x＝1时，（2）4＝a0+a1+a2+a3+a4②
而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2＝（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）
＝（2）4（﹣2）4＝1
∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2＝1，
故答案为1．
【点评】此题是个基础题．本题考查二项式定理的性质，考查的是给变量赋值的问题，结合要求的结果，观察所赋得值，当变量为﹣1时，当变量为0时，两者结合可以得到结果．
14．（6分）离散型随机变量的分布列为：
且Eξ＝2，则P1＝ ；P2＝ ．
【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望直接求解．
【解答】解：离散型随机变量的分布列为：
且Eξ＝2，
则，
解得P1＝，P2＝．
故答案为：，．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（6分）某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 42 种．
【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，②、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，
分2种情况讨论：
①、若甲排在第二、三、四的位置，
甲的排法有3种，
由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，
对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33＝6种情况，
则此时有3×2×6＝36种编排方案；
②、若甲排在第五的位置，
甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，
对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33＝6种情况，
则此时有1×1×6＝6种编排方案；
则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6＝42种；
故答案为：42．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，解题时注意排列、组合公式与分步、分类计数原理的综合运用．
16．（6分）已知，对于任意x∈R，ex≥ax+b均成立．
①若a＝e，则b的最大值为 0 ；
②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为 ﹣ ．
【分析】①若a＝e，可得b≤ex﹣ex恒成立，由y＝ex﹣ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；
②对于任意x∈R，ex≥ax+b均成立，即有b≤ex﹣ax恒成立，由y＝ex﹣ax求出导数和单调区间，可得b≤a﹣alna，
即a﹣b≥alna，由f（a）＝alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a﹣b的最小值．
【解答】解：①若a＝e，则对于任意x∈R，ex≥ex+b均成立，
即为b≤ex﹣ex恒成立，
由y＝ex﹣ex的导数为y′＝ex﹣e，
当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．
可得x＝1处，函数y取得最小值，且为0，
则b≤0，即b的最大值为0；
②对于任意x∈R，ex≥ax+b均成立，
即有b≤ex﹣ax恒成立，
由y＝ex﹣ax的导数为y′＝ex﹣a，
当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；
当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．
可得x＝lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，
则b≤a﹣alna，
即a﹣b≥alna，
由f（a）＝alna的导数为f′（a）＝lna+1，
可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；
0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．
可得a＝时，f（a）取得最小值﹣．
则a﹣b的最小值为﹣．
故答案为：0，﹣．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
三、解答题（共4小题，共64分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（15分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程f（x）＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
【分析】（1）求出f′（x）＝3ax2﹣b，利用当x＝2时，函数f（x）有极值﹣．列出方程组求解即可．
（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后推出a的范围即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）＝3ax2﹣b
由题意；，解得a＝，b＝4，
∴所求的解析式为f（x）＝．
（2）由（1）可得f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）
令f′（x）＝0，得x＝2或x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0
因此，当x＝﹣2时，f（x）有极大值，
当x＝2时，f（x）有极小值，
∴函数f（x）＝的图象大致如图．
由图可知：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点个数，考查分析问题解决问题的能力．
18．（15分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．
【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．
（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•＝，
故甲至少命中1次的概率为1﹣＝．
（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）＝，∴p＝．
若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，
则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．
而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为 ••（1﹣）•＝，
而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为 ••＝，
故两人共命中3次的概率为+＝．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．
19．（17分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）
（Ⅱ）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）＝，从而求出P（A）最小时n＝5．
（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，
则P（A）＝＝＝
∴P（A）最小时n＝5．
（Ⅱ）依题意有＝6个黑球，
设袋中白球的个数为x个，
记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，
则P（B）＝1﹣＝，整理，得：x2﹣29x+120＝0，
解得x＝5或x＝24（舍），
∴袋中红球的个数为4个，随机变量X的取值为0，1，2，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝，
∴X的分布列为：
EX＝．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20．（17分）已知函数f（x）＝ax2+bx和g（x）＝lnx．
（Ⅰ）若a＝b＝1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；
（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，消去b，可得a＝（m＞0），令u（m）＝（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：若a＝b＝1，即有f（x）＝x2+x，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+x﹣lnx，h′（x）＝2x+1﹣＝
＝，x＞0，
当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得h（x）在x＝处取得极小值，且为最小值，且h（）＝+﹣ln＞0，
即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），
f（x）＝ax2+bx的导数为f′（x）＝2ax+b，
g（x）＝lnx的导数为g′（x）＝，
可得2am+b＝，且n＝am2+bm＝lnm，
消去b，可得am2+1﹣2am2＝lnm，
可得a＝（m＞0），
令u（m）＝（m＞0），
则u′（m）＝，
当m＞时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜时，u′（m）＜0，u（m）递减．
可得u（m）在m＝处取得极小值，且为最小值，且u（）＝＝﹣，
则a≥﹣，
故a的取值范围是[﹣，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，分离参数法，考查运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/16 13:40:01；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111ξ
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