2021-2022学年北京市黄冈中学朝阳学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市黄冈中学朝阳学校高二（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点P（x，y），其中x∈{1，2}，y∈{1，3，4}，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（ ）
A．6B．12C．8D．5
2．（5分）展开式中x的系数为（ ）
A．﹣20B．﹣10C．10D．20
3．（5分）函数f（x）＝﹣4x+4在区间[﹣3，3]上的最大值为（ ）
A．B．1C．7D．
4．（5分）设，则a0+a1+a2+a3+a4的值为（ ）
A．1B．0C．16D．15
5．（5分）若随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）是（ ）
A．0B．C．D．1
6．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为．若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）设函数f（x）＝+lnx，则（ ）
A．x＝时f（x）取到极大值B．x＝时f（x）取到极小值
C．x＝2时f（x）取到极大值D．x＝2时f（x）取到极小值
10．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③B．①④C．②③D．③④
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）曲线在x＝1处切线的斜率为 ．
12．（5分）的展开式中常数项是 ．
13．（5分）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．
14．（5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝ ．
15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，若a＝1，则f（x）的零点个数为 ；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是 ．
三、解答题。共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（10分）在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作．为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据，求a的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[3，4）的概率；
（Ⅱ）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[0，1）和[1，2）的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[0，1）中至少有1人的概率；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数．
18．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+3．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y＝f（x）的单调性．
19．（12分）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛．在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为．
（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；
（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值．
21．（12分）第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著．下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据．
东部地区（单位：年）
西部地区（单位：年）
（1）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率；
（2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＞3．
2021-2022学年北京市黄冈中学朝阳学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知点P（x，y），其中x∈{1，2}，y∈{1，3，4}，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（ ）
A．6B．12C．8D．5
【分析】本题是一个分步计数问题，A集合中选出一个数字共有2种选法，B集合中选出一个数字共有3种结果，由分步原理即可得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先从A集合中选出一个数字共有2种选法，
再从B集合中选出一个数字共有3种结果，根据分步计数原理得，
∴共有C21C31＝6，
故选：A．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个与坐标结合的问题，加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据．
2．（5分）展开式中x的系数为（ ）
A．﹣20B．﹣10C．10D．20
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．
【解答】解：由于展开式的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•x5﹣2r，令5﹣2r＝1，求得r＝2，
可得展开式中x的系数为＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）＝﹣4x+4在区间[﹣3，3]上的最大值为（ ）
A．B．1C．7D．
【分析】求出函数的极值和端点值，作比较最大的即为最大值．
【解答】解：，
令f′（x）＞0，解得﹣3＜x＜﹣2或2＜x＜3；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2，
所以f（x）在（﹣3，﹣2）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，
所以，
所以函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．
4．（5分）设，则a0+a1+a2+a3+a4的值为（ ）
A．1B．0C．16D．15
【分析】令x＝1即可求解．
【解答】解：由题意令x＝1，
则a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
5．（5分）若随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E（X）是（ ）
A．0B．C．D．1
【分析】根据期望公式计算即可．
【解答】解：E（X）＝（﹣1）×+0×+1×＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了期望公式的应用，属于基础题．
6．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先计算P（AB）、P（A），再利用P（B|A）＝，即可求得结论．
【解答】解：由题意，P（AB）＝＝，P（A）＝＝
∴P（B|A）＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为．若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．
【解答】解：由题意可得：投第一球、第二球的概率情况为：，，或，，
则他第2球投进的概率为：p＝×+（1﹣）×＝．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，
射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，
∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，
∴至少有两次击中目标的概率为C320.62×0.4+C330.63＝＝
故选：A．
【点评】本题考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．
9．（5分）设函数f（x）＝+lnx，则（ ）
A．x＝时f（x）取到极大值B．x＝时f（x）取到极小值
C．x＝2时f（x）取到极大值D．x＝2时f（x）取到极小值
【分析】可求得f′（x）＝，然后判断f（x）的单调性，再得到f（x）的极值点和极值即可．
【解答】解：∵f（x）＝+lnx（x＞0），∴f′（x）＝，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴当x＝2时，f（x）取到极小值．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③B．①④C．②③D．③④
【分析】直接利用函数的导函数的图象，进一步画出函数的图象，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值进一步判断①②③④的结论．
【解答】解：根据函数的导数f′（x）的图象，
整理出函数f（x）的图象，
如图所示：
对于①，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，故①错误；
对于②，f（x）有1个极大值点，2个极小值，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值f（x）的值域为[1，3]，故③正确；
对于④，如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和导函数的图象的关系，函数的极值和函数的端点值的关系，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）曲线在x＝1处切线的斜率为 ﹣1 ．
【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝1代入，由导数的几何意义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，曲线，其导数y′＝﹣，
则y′|x＝1＝﹣1，即曲线在x＝1处切线的斜率为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．
12．（5分）的展开式中常数项是 15 ．
【分析】求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，即可求解常数项．
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝x2（6﹣r）＝x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，解得r＝4，
所以的展开式中常数项是＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，特定项的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 25 种．
【分析】根据题意，计算从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法数，再计算选出3名代表全是男生的方法数，相减即可．
【解答】解：从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法数为C＝35，
从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为C＝10，
所以从5名男生和2名女生中，选出3名代表要求至少包含1名女生的方法数为35﹣10＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了排列组合问题，属于基础题．
14．（5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝ ．
【分析】先利用分布列的性质求出p，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可得，，则，
所以E（ξ）＝0×+1×＝，
D（ξ）＝×（0﹣）2+×（1﹣）2＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分布列的性质，数学期望和方差的求解，解题的关键是掌握数学期望和方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝ 0.8 ．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（1，σ2），
所以正态曲线关于X＝1对称，
又P（X≤0）＝0.2，
所以P（X＜2）＝1﹣P（X≥2）＝1﹣P（X≤0）＝1﹣0.2＝0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了正态分布的理解和应用，正态分布曲线的对称性的运用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，若a＝1，则f（x）的零点个数为 1 ；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是 （0，1） ．
【分析】当a＝1时，求导得f′（x），分析f（x）的单调性，进而可得f（x）max＝f（1）＝0，故f（x）的零点个数为1；对f（x）求导得f′（x）＝，分两种情况：当a≤0时，当a＞0时，讨论f（x）的单调性，最值，即可得出答案．
【解答】解：当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，
f′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝0，
所以f（x）的零点个数为1，
f′（x）＝﹣a＝，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）不会有两个零点，
当a＞0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜，f（x）单调递增，
令f′（x）＜0，得x＞，f（x）单调递减，
所以f（x）max＝f（）＝ln﹣a×+1＝ln，
若f（x）有两个零点，则ln＞0，
所以＞1，有a＞0，
故a的取值范围为（0，1）．
故答案为：1；（0，1）．
【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
三、解答题。共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（10分）在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作．为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据，求a的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[3，4）的概率；
（Ⅱ）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[0，1）和[1，2）的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[0，1）中至少有1人的概率；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质能求出a．随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[3，4）的频率为0.1，由此能求出从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在[3，4）的概率．
（Ⅱ）设“抽取的2人其中学习时间在[0，1）中至少有1人”为事件A，由图中数据可知：该天居家自主学习时间在[0，1）和[1，2）的人分别有2人和3人．设在[0，1）的2人分别为a，b，在[1，2）的3人分别A，B，C，从这5人中任选2人，利用列举法能求出学习时间在[0，1）中至少有1人的概率．
（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数．
【解答】解：（Ⅰ）因为（0.02+0.03+0.05+a+0.15×2+0.2+0.3）×1＝1，
所以a＝0.1．
由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[3，4）的频率为0.1×1＝0.1，
所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，
这名学生该天居家自主学习时间在[3，4）的概率为0.1．
（Ⅱ）设“抽取的2人其中学习时间在[0，1）中至少有1人”为事件A，
由图中数据可知：该天居家自主学习时间在[0，1）和[1，2）的人分别有2人和3人．
设在[0，1）的2人分别为a，b，在[1，2）的3人分别A，B，C，
则从这5人中任选2人的样本空间＝{ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC}，共有10个样本点，
事件A＝{ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC}，共有7个样本点，
所以学习时间在[0，1）中至少有1人的概率为．
（Ⅲ）样本平均数：
＝5.38．
样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时．
【点评】本题考查概率频率分布直方图的应用，考查概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+3．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y＝f（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求出f（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得原函数的导函数，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝xlnx﹣x+3，得f′（x）＝lnx，
∴f′（1）＝ln1＝0，又f（1）＝2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝lnx（x＞0），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，是基础题．
19．（12分）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛．在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为．
（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；
（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率．
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．
【解答】解：（1）设“甲恰有两轮获胜”为事件A，则；
（2）设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，
“选中乙与机器人比赛”为事件A2，
“战胜机器人”为事件B，
根据题意得，，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝＝，
所以战胜机器人的概率为．
【点评】本题考查了概率问题的求解，解题的关键是掌握相互独立事件的概率乘法以及条件概率的含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax在x＝1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出导函数，利用f（x）在x＝1处取得极值，f'（1）＝0，求解a即可．
（2）求出f'（x）＝3x2+6x﹣9．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x3+3x2﹣ax，
所以f'（x）＝3x2+6x﹣a．
因为f（x）在x＝1处取得极值，
所以f'（1）＝0，即3+6﹣a＝0，解得a＝9
经检验，符合题意．………………（5分）
（2）由（1）得f（x）＝x3+3x2﹣9x．
所以f'（x）＝3x2+6x﹣9．
令f'（x）＞0，得﹣4≤x＜﹣3或1＜x≤4；
令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为[﹣4﹣3），（1，4]，单调递减区间为（﹣3，1）．
所以f（x）的极大值为f（﹣3）＝27，极小值为f（1）＝﹣5
又f（﹣4）＝20，f（4）＝76，
所以f（1）＜f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（4）
所以f（x）的最大值为76，最小值为﹣5…………………（14分）
【点评】本题考查函数的对数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21．（12分）第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著．下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据．
东部地区（单位：年）
西部地区（单位：年）
（1）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率；
（2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）
【分析】（1）设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年”为事件A，利用古典概型概率公式求解即可．
（2）X的可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望．
（3）通过数据比较，推出．
【解答】解：（1）东部地区共有10个省份，其中2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个．
设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年”为事件A，
则P（A）＝．………………（3分）
（2）东部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个，
西部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有6个，共8个．
则X的可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以X的分布列为
．………………（12分）
（3）．……………………（14分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＞3．
【分析】（Ⅰ）首先求得导函数的解析式，然后分别确定切点坐标和切弦的斜率即可求得切线方程；
（Ⅱ）首先确定函数的单调性，然后结合函数的零点所在的区间进行恒等变形，最后利用基本不等式的结论即可证得题中的不等式．
【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且，
因为f（1）＝e+1，f′（1）＝e﹣1，
故所求的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x+2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 为（0，+∞）上的增函数．
因为，
所以存在唯一的，使．
从而有，
因为x∈（0，x0） 时，f′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（0，x0） 上单调递减，在区间（x0，+∞） 上单调递增．
所以．
所以f（x）＞3．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．
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﹣1
0
1
P
x
﹣1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
ξ
0
1
P
p
北京
天津
河北
上海
江苏
浙江
福建
山东
广东
海南
2020年
12.6
11.3
9.8
11.8
10.2
9.8
9.7
9.8
10.4
10.1
2010年
11.7
10.4
9.1
10.7
9.3
8.8
9.0
9.0
9.6
9.2
重庆
四川
贵州
云南
西藏
陕西
甘肃
青海
宁夏
新疆
广西
内蒙古
2020年
9.8
9.2
8.8
8.8
6.8
10.3
9.1
8.9
9.8
10.1
9.5
10.1
2010年
8.8
8.4
7.7
7.8
5.3
9.4
8.2
7.9
8.8
9.3
8.8
9.2
X
﹣1
0
1
P
x
﹣1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
ξ
0
1
P
p
北京
天津
河北
上海
江苏
浙江
福建
山东
广东
海南
2020年
12.6
11.3
9.8
11.8
10.2
9.8
9.7
9.8
10.4
10.1
2010年
11.7
10.4
9.1
10.7
9.3
8.8
9.0
9.0
9.6
9.2
重庆
四川
贵州
云南
西藏
陕西
甘肃
青海
宁夏
新疆
广西
内蒙古
2020年
9.8
9.2
8.8
8.8
6.8
10.3
9.1
8.9
9.8
10.1
9.5
10.1
2010年
8.8
8.4
7.7
7.8
5.3
9.4
8.2
7.9
8.8
9.3
8.8
9.2
X
0
1
2
P