2020-2021学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣690°的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）已知，α在第二象限，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
A．y＝sinx+1B．y＝|sinx|C．y＝﹣csxD．y＝tanx
4．（4分）已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，2），B（3，4），C（5，0），则cs∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）的图像是由y＝sin2x的图像经过怎样的变换得到的（ ）
A．向左平移B．向右平移
C．向左平移D．向右平移
6．（4分）下列函数中，在区间上是单调增函数的是（ ）
A．B．y＝cs4x
C．D．
7．（4分）下列各式的值等于的是（ ）
A．sin15°cs15°
B．
C．
D．2cs215°﹣1
8．（4分）下列各式的值不等于1的一个是（ ）
A．sin126°cs36°+cs254°
B．
C．
D．
9．（4分）函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）在一个周期上的简图如图，则ω，φ的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，D，E分别是AB和BC的中点，则＝（ ）
A．8B．﹣8C．10D．﹣10
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为 ．
12．（5分）1弧度的角是指；建立了度量角的弧度制后，弧度与角度的换算关系为：360°＝2πrad，这是因为
．
13．（5分）直角坐标系xOy中，以原点O为顶点，以x轴正半轴为始边，那么，角π﹣α的终边与α的终边关于 对称；角的终边与α的终边关于 对称．
14．（5分）已知||＝8，||＝4．若＜，＞＝，则＝ ；若＜，＞＝，则＝ ．
15．（5分）给出下列命题：
①；
②tan4＞tan3；
③；
④．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）作图题．
（Ⅰ）已知，在所给坐标系中作出并指出角α的正弦线和余弦线；
（Ⅱ）用五点法作出函数在一个周期内的简图．
17．（14分）在△ABC中，已知tanA＝﹣2，．
（Ⅰ）求csA；
（Ⅱ）求sinC．
18．（14分）已知．
（Ⅰ）求f（x）的零点；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx+3cs2x﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值及相应的x的值．
20．（14分）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
21．（15分）已知，是两个单位向量，＝2﹣，＝+sinθ，＝3，θ∈[0，2π]．
（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）若，求||的最大值及相应的θ值；
（Ⅲ）若，（）•（﹣）＝﹣，求证：tanθ＝﹣1．
2020-2021学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）﹣690°的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意，利用终边相同的角的表达方式，得出结论．
【解答】解：∵﹣690°＝﹣2×360°+30°，∴﹣690°的终边和30°的终边相同，
而30°的终边在第一象限，故﹣690°的终边在第一象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查终边相同的角的表达方式，属于基础题．
2．（4分）已知，α在第二象限，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简求解．
【解答】解：因为，α在第二象限，
所以csα＝﹣＝﹣，
则tanα＝＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3．（4分）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
A．y＝sinx+1B．y＝|sinx|C．y＝﹣csxD．y＝tanx
【分析】结合三角函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：根据正弦函数的性质可知，y＝sinx+1为非奇非偶函数，A不符合题意；
y＝|sinx|，y＝﹣csx为偶函数，不符合题意；
根据正切函数的性质可知，y＝tanx为奇函数且在（0，）上单调递增，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
4．（4分）已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，2），B（3，4），C（5，0），则cs∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用两点间的距离公式的应用和余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，2），B（3，4），C（5，0），
所以|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝；
所以．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：两点间的距离公式，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（4分）的图像是由y＝sin2x的图像经过怎样的变换得到的（ ）
A．向左平移B．向右平移
C．向左平移D．向右平移
【分析】将函数整理成y＝sin[2（x+）]，再根据函数图象“左加右减”的平移原则，得解．
【解答】解：＝sin[2（x+）]，
所以可由y＝sin2x的图像向左平移个单位得到．
故选：C．
【点评】本题考查函数图象的变换，理解函数图象“左加右减”的平移原则是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6．（4分）下列函数中，在区间上是单调增函数的是（ ）
A．B．y＝cs4x
C．D．
【分析】根据题意，x∈[﹣，0]时，对选项中的函数在各自区间的单调性进行分析、判断是否满足题意即可．
【解答】解：对于A，x∈[﹣，0]时，x﹣∈[﹣，﹣]，y＝sin（x﹣）不单调，不符合题意；
对于B，x∈[﹣，0]时，4x∈[﹣2π，0]，y＝cs4x不单调，不符合题意；
对于C，x∈[﹣，0]时，x+∈[﹣，]，y＝cs（x+）不单调，不符合题意；
对于D，x∈[﹣，0]时，∈[﹣，0]，y＝sin单调递增，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图像和性质，是基础题．
7．（4分）下列各式的值等于的是（ ）
A．sin15°cs15°
B．
C．
D．2cs215°﹣1
【分析】利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可得到答案．
【解答】解：sin15°cs15°＝sin30°＝，故A不符合题意；
＝cs＝，故B不符合；
＝tan45°＝，故C符合；
2cs215°﹣1＝cs30°＝，故D不符合．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查倍角公式的应用，属于基础题．
8．（4分）下列各式的值不等于1的一个是（ ）
A．sin126°cs36°+cs254°
B．
C．
D．
【分析】A，利用诱导公式将角度统一化为54°，再由同角三角函数的平方关系，得解；
B，由两角和的余弦公式，得解；
C，由两角和的正切公式，得解；
D，根据同角三角函数的关系式化简即可．
【解答】解：A，sin126°cs36°+cs254°＝sin（180°﹣54°）cs（90°﹣54°）+cs254°
＝sin54°sin54°+cs254°＝sin254°+cs254°＝1，即A不符合题意；
B，cs（﹣x）cs（+x）﹣sin（﹣x）sin（+x）＝cs[（﹣x）+（+x）]＝cs＝0，即B符合题意；
C，＝tan（21°+24°）＝tan45°＝1，即C不符合题意；
D，＝＝＝1，即D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．（4分）函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）在一个周期上的简图如图，则ω，φ的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由图可得最小正周期T，再由T＝求得ω的值，然后将最低点（，﹣2）代入函数解析式，求得φ的值，即可．
【解答】解：由图知，最小正周期为T＝（﹣π）×2＝π，
所以ω＝＝3，
图中最低点的坐标为（，﹣2），将其代入函数解析式中，有﹣2＝2sin（3•+φ），
所以φ＝2kπ﹣，k∈Z，
因为φ∈[0，2π]，所以φ＝．
故选：B．
【点评】本题考查利用图象求函数解析式，理解ω，φ的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10．（4分）直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，D，E分别是AB和BC的中点，则＝（ ）
A．8B．﹣8C．10D．﹣10
【分析】可以取为基底向量，然后利用基底将表示出来，再结合数量积的定义计算即可．
【解答】解：取为基底向量，则，，，
所以，，
故＝＝
＝＝﹣10．
故选：D．
【点评】本题考查数量积的运算，以及向量的减法法则，属于基础题．
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为 ﹣．
【分析】根据任意角的三角函数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵角α的终边过点P（2，﹣1），
∴r＝，
故sinα＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查三角函数的定义的应用，比较基础．
12．（5分）1弧度的角是指；建立了度量角的弧度制后，弧度与角度的换算关系为：360°＝2πrad，这是因为
圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；圆周长等于2πr．
【分析】根据弧度制角的定义解答即可得解．
【解答】解：我们把圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad，
又圆的周长为2πr，周角等于360°，
所以360°＝2πrrad．
故答案为：圆周上长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；圆周长等于2πr．
【点评】本题考查了弧度制中角的定义，属于基础题．
13．（5分）直角坐标系xOy中，以原点O为顶点，以x轴正半轴为始边，那么，角π﹣α的终边与α的终边关于 y轴 对称；角的终边与α的终边关于 直线y＝x对称．
【分析】由题意，利用终边相同的角的定义，得出结论．
【解答】解：以原点O为顶点，以x轴正半轴为始边，
∵角π﹣α的终边与α的和为π，故角π﹣α的终边与α的终边关于y轴对称；
∵角的终边与α的和等于，∴角的终边与α的终边关于直线y＝x对称，
故答案为：y轴；直线y＝x．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
14．（5分）已知||＝8，||＝4．若＜，＞＝，则＝ 16 ；若＜，＞＝，则＝ ﹣16 ．
【分析】利用平面向量数量积的定义求解．
【解答】解：因为||＝8，||＝4．若＜，＞＝，
则＝＝8×4×cs＝16；
同理若＜，＞＝，则＝﹣16．
故答案为：16；﹣16．
【点评】本题考查数量积的定义，属于基础题．
15．（5分）给出下列命题：
①；
②tan4＞tan3；
③；
④．
其中正确命题的序号是 ②③ ．
【分析】利用诱导公式和三角函数的单调性一一判断即可得解．
【解答】解：函数y＝sin x是（﹣，0）上的增函数，0＞﹣＞﹣＞﹣，因此sin（﹣）＞sin（﹣），①不正确；
函数y＝tanx是（，）上的增函数，＜3＜π＜4＜，因此tan4＞tan3，②正确；
cs（﹣）＝cs（2π+）＝cs＝﹣，cs（）＝cs＝﹣，因此cs（﹣）＞cs（），③正确；
sin＝sin＝sin，sin（﹣）＝sin＝sin，因为y＝sinx在（，π）单调递减，所以sin＜sin，所以sin＞sin（﹣），故④不正确．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了诱导公式和三角函数的单调性的应用，考查了函数思想，属于基础题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）作图题．
（Ⅰ）已知，在所给坐标系中作出并指出角α的正弦线和余弦线；
（Ⅱ）用五点法作出函数在一个周期内的简图．
【分析】（Ⅰ）根据三角函数线的定义即可作出角α的正弦线和余弦线；
（Ⅱ）根据五点作图法的知识，按照“列表”，“描点”，“连线”步骤即可作出函数在一个周期内的简图．
【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴交于点M，则角α的正弦线和余弦线如图所示，其中MP是角α的正弦线，OM是角α的余弦线；
（Ⅱ）由题意，①列表：
②描点：在平面直角坐标系中描出点（，0），（，3），（，0），（，﹣3），（，0）；
③连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，如图所示：
④这样就得到了函数在一个周期内的简图．
【点评】本题考查了三角函数线的定义以及五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
17．（14分）在△ABC中，已知tanA＝﹣2，．
（Ⅰ）求csA；
（Ⅱ）求sinC．
【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数的关系式，即可得解；
（Ⅱ）由C＝π﹣（A+B），结合诱导公式与两角和的正弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：（Ⅰ）∵tanA＝﹣2，∴＝﹣2，即sinA＝﹣2csA，
又sin2A+cs2A＝1，∴4cs2A+cs2A＝1，解得，
∵tanA＜0，∴A∈（，π），∴csA＝﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA＝﹣2csA＝，
∴sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB
＝＝＝．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的关系式，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18．（14分）已知．
（Ⅰ）求f（x）的零点；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求出f（x）的零点．
（Ⅱ）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，
令 f（x）＝0，求得，令 ，求得，
∴函数f（x）的零点是x＝kπ+，k∈Z．
（Ⅱ） 令 ，
求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是 ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点和单调性，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx+3cs2x﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值及相应的x的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+cs2x+2sinxcsx+2cs2x﹣2＝2sinxcsx+2cs2x﹣1＝sin2x+cs2x＝
函数f（x）的最小正周期是π．
（Ⅱ）∵，
由于2x∈[0，π]，整理得，故，所以；
∴f（x）min＝﹣1．此时，解得，
整理得．
此时，即x＝．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20．（14分）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得P，Q两点的坐标．
（Ⅱ）先求得MN、PM、QN的值，再根据梯形的面积公式，二倍角公式，化简梯形的面积，再根据正弦函数的定义域和值域，求出四边形PQNM的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵∠BOP＝θ，圆的半径为1，∴点P坐标为（csθ，sinθ）．
∵将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，点Q的坐标为，即Q坐标为（﹣sinθ，csθ）．
（Ⅱ）由题意，MN＝OM+ON＝csθ+sinθ，MP＝sinθ，QN＝csθ，
四边形PQNM的面积S＝×MN×（PM+QN）＝（csθ+sinθ）×（csθ+sinθ）＝（1+sin2θ），
∵0°＜θ＜90°，∴0°＜2θ＜180°，
∴当2θ＝90°时，即θ＝45°时，Smax＝1，
∴四边形PQNM的面积的最大值为1．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，梯形的面积公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21．（15分）已知，是两个单位向量，＝2﹣，＝+sinθ，＝3，θ∈[0，2π]．
（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）若，求||的最大值及相应的θ值；
（Ⅲ）若，（）•（﹣）＝﹣，求证：tanθ＝﹣1．
【分析】（Ⅰ）根据向量共线的充要条件列出方程求解；
（Ⅱ）利用模长公式结合数量积的运算，将模长表示成三角函数的形式，然后将问题转化为三角函数的值域问题求解；
（Ⅲ）根据向量垂直，则数量积为零，构造出关于θ对应的三角方程求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，故，
又因为θ∈[0，2π]，所以，或．
（Ⅱ）由于，所以，
即，又，
所以，
所以＝＝+6×
＝＝sin2θ+sinθ+7……①，
由于θ∈[0，2π]，所以sinθ∈[﹣1，1]，所以当sinθ＝1时，即时，①式的最大值等于9，
所以当时，的最大值等于3．
（Ⅲ）证明：因为，所以，
所以，（）•（﹣）＝
＝+（﹣1﹣sinθ）（﹣1﹣csθ）+（﹣1﹣csθ+1+sinθ）
＝﹣1+（﹣1﹣sinθ）（﹣1﹣csθ）＝sinθ+csθ+sinθcsθ，
所以，
令sinθ+csθ＝t，
则（sinθ+csθ）2＝t2，，所以，所以t2+2t＝0，解得t＝0，或t＝﹣2，
又因为，
所以，故舍去t＝﹣2，
所以t＝0，即sinθ+csθ＝0，显然csθ≠0，
所以tanθ＝﹣1．
【点评】本题综合考查了平面向量数量积的运算与三角函数的化简求值及证明问题，属于中档题．
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2x﹣
0
π
2π
y
0
3
0
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