2020-2021学年北京市昌平二中高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市昌平二中高一（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）sin750°的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知角α的终边经过点P（3，﹣1），则2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）下列函数中，在[0，]上递增，且周期为π的偶函数是（ ）
A．y＝sinxB．y＝cs2xC．y＝tan（﹣x）D．y＝|sinx|
4．（5分）函数y＝sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝
5．（5分）已知向量||＝1，||＝2，且（+）⊥，则＜，＞等于（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
6．（5分）已知tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，则tanα的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，如果acsB＝bcsA，那么△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
8．（5分）设函数f（x）＝tan（x+φ），命题“f（x）是奇函数”是“f（0）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如图为一直径为6m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系式y＝Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下），则有（ ）
A．，A＝3B．，A＝3
C．，A＝6D．，A＝6
10．（5分）设函数f（x）＝4||，若存在实数x1，x2，…，xn，满足当x1＜x2＜…＜xn时，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+……+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2021，则正整数n的最小值为（ ）
A．505B．506C．507D．508
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）
11．（5分）弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为 ．
12．（5分）sin15°﹣cs15°＝ ．
13．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC边的中点，F为CD边上的动点（可以与端点重合），则＝ ，的最大值为 ．
14．（5分）函数f（x）＝cs2x+csx的最小值为 ．
15．（5分）已知函数，若函数f（x）在上具有单调性，且，则＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，x∈[0，2π]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1．
①f（）＝ ；
②若f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（14分）已知，且α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求α+β的值．
18．（14分）已知函数．
（1）用“五点法”画出f（x）在一个周期内的闭区间上的简图；
（2）写出f（x）的对称中心．
19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cs2x+a，（a为常数），求：
（1）f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在上的最小值为2，求f（x）在上的最大值．
20．（14分）在△ABC中，已知b＝5，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：；
条件②：a＝4
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
21．（14分）已知，．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，
①求ω的值；
②当时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数的m取值范围．
（2）若函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，3π]上恰有5个零点，求ω的取值范围．
2020-2021学年北京市昌平二中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．（5分）sin750°的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：sin750°＝sin（2×360°+30°）＝sin30°＝．
故选：D．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2．（5分）已知角α的终边经过点P（3，﹣1），则2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．
【解答】解：因为角α的终边经过点P（3，﹣1），
所以．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，在[0，]上递增，且周期为π的偶函数是（ ）
A．y＝sinxB．y＝cs2xC．y＝tan（﹣x）D．y＝|sinx|
【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可得出结论．
【解答】解：对于A，y＝sinx为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝cs2x为偶函数，周期T＝＝π，但在[0，]上递减，不符合题意；
对于C，y＝tan（﹣x）为奇函数，不符合题意；
对于D，y＝|sinx|为偶函数，周期T＝π，当∈[0，]时，y＝sinx为增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，属于基础题．
4．（5分）函数y＝sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝
【分析】令2x+＝求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可．
【解答】解：令2x+＝，∴x＝（k∈Z）
当k＝0时为D选项，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．
5．（5分）已知向量||＝1，||＝2，且（+）⊥，则＜，＞等于（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【分析】根据可得出，进而可求出，然后根据向量夹角的余弦公式可求出的值，进而可求出的值．
【解答】解：∵||＝1，||＝2，且（+）⊥，
∴，解得，
∴，且，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，则tanα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知tanα＝tan[（α﹣β）+β]，结合两角和的正切公式即可直接求解．
【解答】解：因为tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，
则tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角差的正切公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．
7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，如果acsB＝bcsA，那么△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【分析】根据图形得，在直角△ACD和直角△BCD中，两次利用正弦定理得到bsinA＝asinB，又因为bcsA＝acsB，所以得到tanA＝tanB，而∠A和∠B为锐角，所以∠A＝∠B，所以三角形为等腰三角形．
【解答】
解法1：过C作CD⊥AB，垂足为D，
在直角△ACD中，根据正弦定理得：＝，
解得CD＝bsinA，
在直角△BCD中，根据正弦定理得：＝，
解得CD＝asinB，
所以bsinA＝asinB，
又因为bcsA＝acsB
两个等式联立得：tanA＝tanB，
而∠A和∠B为锐角，所以∠A＝∠B，
所以三角形为等腰三角形；
解法2：∵acsB＝bcsA，
∴＝，又根据正弦定理＝，
∴＝，即sinBcsA﹣sinAcsB＝0，
∴sin（B﹣A）＝0，又A和B都为三角形的内角，
∴A＝B，
即三角形为等腰三角形．
故选：D．
【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及运用同角三角函数基本关系的能力．
8．（5分）设函数f（x）＝tan（x+φ），命题“f（x）是奇函数”是“f（0）＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，不一定存在f（0）＝0，利用充要条件的定义即可求得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝tan（x+φ），
由条件：“f（0）＝0”，
∴函数的图象关于原点对称，函数是一个奇函数，
当函数是一个奇函数时，函数在原点处不一定有定义，
∴不一定存在f（0）＝0，
∴命题“f（x）是奇函数”是“f（0）＝0”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查条件的判断，本题解题的关键是当函数是一个奇函数时，不一定在原点处有定义，所以不一定有函数值等于0，属于基础题．
9．（5分）如图为一直径为6m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系式y＝Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下），则有（ ）
A．，A＝3B．，A＝3
C．，A＝6D．，A＝6
【分析】根据题意求出A的值，利用转速求周期和ω的值．
【解答】解：由题意知，水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，
所以A＝3；
又水轮每分钟旋转2圈，所以转一圈需要30秒，
所以T＝30＝，
解得ω＝．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数模型的构建与应用问题，也考查分析解决问题的能力，是基础题．
10．（5分）设函数f（x）＝4||，若存在实数x1，x2，…，xn，满足当x1＜x2＜…＜xn时，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+……+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2021，则正整数n的最小值为（ ）
A．505B．506C．507D．508
【分析】利用函数f（x）＝4||，得到f（x）的值域，从而得到|f（x1）﹣f（x2）|≤4，然后迭加得到2021≤4（n﹣1），根据选项进行判断即可．
【解答】解：由y＝sinx的值域可得f（x）∈[0，4]，即|f（x1）﹣f（x2）|≤4，
故|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤4（n﹣1），即2021≤4（n﹣1），
当n＝506时，4（n﹣1）＝2020＜2021，
当n＝507时，4（n﹣1）＝2024＞2021，
故正整数n的最小值为507．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置）
11．（5分）弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为．
【分析】设扇形的圆心角为α，半径为R，根据扇形的弧长和面积公式列方程组求出α的值．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，
则扇形的弧长为αR＝π，...①
扇形的面积为αR2＝3π，...②
由①②解得R＝6，α＝．
所以这个扇形的圆心角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的弧长和面积计算问题，是基础题．
12．（5分）sin15°﹣cs15°＝．
【分析】由题意利用两角和差的三角公式，计算求得结果．
【解答】解：sin15°﹣cs15°＝sin（45°﹣30°）﹣cs（45°﹣30°）＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°﹣cs45°cs30°﹣sin45°sin30°
＝﹣﹣×﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题．
13．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC边的中点，F为CD边上的动点（可以与端点重合），则＝ 0 ，的最大值为 12 ．
【分析】画出图形，建立坐标系，然后求解向量的数量积，以及向量数量积的最大值即可．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，则E（2，2），D（0，4），F（x，4），x∈[0，2]，
所以＝（2，2）•（﹣2，2）＝0，
当F在C处时，的最大值为（2，2）•（2，4）＝12．
故答案为：0；12．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
14．（5分）函数f（x）＝cs2x+csx的最小值为．
【分析】利用二倍角公式以及二次函数的性质，结合余弦函数的值域，求解函数的最小值即可．
【解答】解：函数f（x）＝cs2x+csx＝2cs2x+csx﹣1，
当csx＝时，函数取得最小值：2×﹣1＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，是基础题．
15．（5分）已知函数，若函数f（x）在上具有单调性，且，则＝ 0 ．
【分析】由题意利用正弦函数的单调性求得φ的范围，根据图象的对称性求得φ的值，可得函数的解析式，从而求得要求式子的值．
【解答】解：函数，若函数f（x）在上具有单调性，
∴2×+φ≥，且 2×+φ≤，∴﹣≤φ≤﹣．
∵，＝，故f（x）的图象关于点（，0）对称，
故 f（）＝sin（+φ）＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣）．
则＝sin（﹣）＝sin2π＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，x∈[0，2π]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1．
①f（）＝；
②若f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣2π] ．
【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[x]的定义，可得所求值；
②由题意可得a＜f（x）﹣x＝2[sinx]+3[csx]﹣x对任意x∈[0，2π]都成立，分别讨论x在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[x]的定义，可得所求范围．
【解答】解：①f（）＝2+3＝2+3＝20+3﹣1＝；
②若f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，
即为a＜f（x）﹣x＝2[sinx]+3[csx]﹣x对任意x∈[0，2π]都成立，
当x＝0或x＝2π时，f（x）﹣x＝1+3＝4或4﹣2π；
当x＝时，f（x）﹣x＝2+1﹣＝3﹣；
当x＝π时，f（x）﹣x＝1+﹣π＝﹣π；
当x＝时，f（x）﹣x＝+1﹣＝﹣；
当0＜x＜时，sinx∈（0，1），csx∈（0，1），
可得a≤20+30﹣＝2﹣；
同理可得当＜x＜π时，可得a≤20+3﹣1﹣π＝﹣π；
当π＜x＜时，可得a≤2﹣1+3﹣1﹣＝﹣；
当＜x＜2π时，可得a≤2﹣1+30﹣2π＝﹣2π．
综上可得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2π]．
故答案为：；（﹣∞，﹣2π]．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[x]的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（14分）已知，且α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求α+β的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和差和的三角公式，计算求得结果．
（2）先求出α+β的范围，再求出α+β的余弦值，可得α+β的值．
【解答】解：（1）∵，∴，∴，，
∴＝+（﹣）×＝．
（2）∵，∴，∵，∴．
∵，∴α+β∈（0，π），
cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝﹣×＝﹣，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差和的三角公式，属于中档题．
18．（14分）已知函数．
（1）用“五点法”画出f（x）在一个周期内的闭区间上的简图；
（2）写出f（x）的对称中心．
【分析】（1）利用列表、描点、连线，在坐标系中画出函数的图象即可；
（2）根据余弦函数的性质求出f（x）的对称中心．
【解答】解：（1）根据题意列表如下；
在坐标系中画出图象，如图所示；
（2）令2x+＝kπ+，k∈Z，
解得x＝+，k∈Z；
所以f（x）＝cs（2x+）的对称中心为．
【点评】本题考查了五点法画三角函数的图象应用问题，也考查了函数的对称问题，是基础题．
19．（14分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cs2x+a，（a为常数），求：
（1）f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在上的最小值为2，求f（x）在上的最大值．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin2x﹣2cs2x+a＝sin2x﹣2×+a＝sin（2x﹣）+a﹣1，
由，
，
所以，f（x）的单调递增区间为．
（2）∵，∴0≤2x≤π，∴，∴，
∴．
由函数的最小值为﹣1+a﹣1＝2，得a＝4，∴f（x）在上的最大值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20．（14分）在△ABC中，已知b＝5，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：；
条件②：a＝4
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】选①（I）由已知结合正弦定理可求sinB，sinC，然后结合和差角及诱导公式可求；
（II）结合正弦定理及三角形面积公式即可求解；
选②：（I）结合同角平方关系先求sinB，然后结合正弦定理即可求解；
（II）由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】解①：（Ⅰ）因为，
所以．
所以．
所以．
（Ⅱ）由正弦定理．
得，
S△ABC＝＝＝，
解②：（Ⅰ）由，
得，
由正弦定理，
得．
（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，得．
即2c2﹣9c﹣18＝0，
解得c＝6（舍）．
S△ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
21．（14分）已知，．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，
①求ω的值；
②当时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数的m取值范围．
（2）若函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，3π]上恰有5个零点，求ω的取值范围．
【分析】（1）①根据题意，由数量积的运算性质可得f（x）的解析式，由三角函数周期的计算方法可得ω的值，
②结合f（x）的解析式求出f（x）max，进而可得mt2+mt+3≥2即mt2+mt+1≥0恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，求出2ωx﹣的取值范围，结合正弦函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝＝2＝＝2sin（2ωx﹣），
①若函数f（x）的最小正周期为π，则＝π，解可得ω＝1，
②若，即，则有，变形可得
则有f（x）max＝2，
对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，即mt2+mt+3≥f（x）max，
而mt2+mt+3≥2即mt2+mt+1≥0恒成立，
当m＝0时，1≥0成立，
当m≠0时，有，解可得0＜m≤4；
综上0≤m≤4；
（2）根据题意，若g（x）＝f（x）+1＝0，即g（x）＝2sin（2ωx﹣）+1＝0，变形可得sin（2ωx﹣）＝﹣，
又由0≤x≤3π，则有﹣≤2ωx﹣≤6ωπ﹣，
若函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，3π]上恰有5个零点，则有4π﹣≤6ωπ﹣＜5π+，即4π≤6ωπ＜5π+，
解可得：，即ω的取值范围[，）．
【点评】本题考查三角函数的性质以及数量积的计算，涉及函数零点的判定定理，属于中档题．
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﹣
2x+
0
π
2π
f（x）
1
0
﹣1
0
1