2020-2021学年北京市海淀区清华附中创新班七年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区清华附中创新班七年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）初一年级积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能聚沙成塔，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪就分别达800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的口粮!“800万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．800×104B．80×105C．8×106D．0.8×107
2．（2分）数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b＜|a|，则b的值不可能是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
3．（2分）若|a|＝13，|b|＝7，且a+b＞0，则a﹣b的值是（ ）
A．6或20B．20或﹣20C．6或﹣6D．﹣6或20
4．（2分）在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（ ）
A．﹣a﹣2b+3cB．a﹣2b+3cC．﹣a+2b﹣3cD．a+2b﹣3c
5．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．﹣（﹣3anb）4＝﹣81a4nb4
B．（an+1bn）4＝a4n+4b4n
C．（﹣2an）2（3a2）3＝﹣54a2n+6
D．（3xn+1﹣2xn）•5x＝15xn+2﹣10xn+1
6．（2分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”
译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”
设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．
7．（2分）若a与b互为相反数，则＝（ ）
A．﹣2020B．﹣2C．1D．2
8．（2分）关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．（2分）把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（ ）
A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）
C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）
10．（2分）若关于x的方程|x+1|+|x﹣1|＝a有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a＞0C．a≥1D．a≥2
二、填空题（共18分，每题2分）
11．（2分）﹣1.25的倒数的相反数是： ．
12．（2分）用四舍五入法对0.02021取近似数，保留两位有效数字，结果是 ．
13．（2分）代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣+6＝ ．
14．（2分）若a+b＝17，ab＝60，则（a﹣b）2＝ ．
15．（2分）若有理数x满足方程|1﹣x|＝1+|x|，则化简|x﹣1|的结果是 ．
16．（2分）已知关于x的方程a（x﹣3）+b（3x+1）＝5（x+1）有无穷多个解，则a+b＝ ．
17．（2分）设，则3x﹣2y+z＝ ．
18．（2分）若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是 ．
三、解答题（共64分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（24分）代数计算：
（1）求值：（﹣）÷（﹣）×|﹣2+（﹣3）2|；
（2）化简：5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）；
（3）分解：（m2﹣1）2﹣6（m2﹣1）+9；
（4）求解：；
（5）求解：4﹣3|2x﹣1|＝1；
（6）求解：|x﹣|2x+1||＝3．
20．（10分）（1）先化简再求值：当（a﹣1）2+|b﹣2|＝0时，求5ab﹣a3b2﹣ab+a3b2﹣ab﹣a3b﹣5的值．
（2）当2a﹣3b＝﹣1时，求4a2﹣6ab+3b的值．
21．（10分）方程解应用题：为让同学们幸福成长，年级准备组织师生秋游．关于租车问题；若只租45座的客车若干辆，则刚好坐满；若只租60座的客车，则可少租4辆，且余30个座位．
（1）若只租45座的客车，求需要多少辆车？
（2）已知一辆45座的客车租金每天2500元，一辆60座的客车租金每天3000元，若可以同时租用这两种类型的客车，则两种客车分别租多少辆省钱．（本小问直接写出答案即可）
22．（10分）三角形ABC的三条边长a，b，c满足a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，求证：a+c＝2b．
23．（10分）设a，b，c为整数，且一切实数x都有（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，求a+b+c的值．
四．附加题（共20分）
24．（4分）如下面表格，从第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
（1）x＝ ．
（2）从第一个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，则n的值为 ．
25．（4分）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：
取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；
将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；
再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；
…，
一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．
如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为 ；
（2）当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为 ．（用含n的式子表示）
26．（4分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数），如T（1，2）＝5m+10n．
（1）若T（﹣1，1）＝0且T（0，2）＝8，则m＝ ；
（2）当u2≠v2时，若T（u，v）＝T（v，u）对任意有理数u，v都恒成立，则＝ ．
27．（4分）进入初一：李华同学紧跟课堂落实知识，完成作业及时订正，因此对数学运算非常感兴趣，并自主探究了一种新运算“〇”，规则如下：对两个有理数a，b，定义a〇b＝．
（1）计算20〇21＝ ；
（2）若a1＝|x﹣1|，a2＝|x﹣2|，若a1〇a2＝0.5，则所有满足条件的x的和为 ．
28．（4分）数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若数轴上存在一点C，使得AC+2BC＝l，则称C为点A，B的“和l点”（其中AC，BC分别表示点C到点A，B的距离）．
（1）若点E在数轴上（不与A，B重合），若BE＝AE，且点E为点A，B的“和l点”，则l的值可能为 ；
（2）若点D在是点A，B的“和5点”，则点D表示的数可能为 ．
2020-2021学年北京市海淀区清华附中创新班七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共20分，每题2分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．（2分）初一年级积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能聚沙成塔，光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪就分别达800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人一年的口粮!“800万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．800×104B．80×105C．8×106D．0.8×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：800万＝800 0000＝8×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b＜|a|，则b的值不可能是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】根据数轴得到|a|＜2，根据题意解答即可．
【解答】解：由数轴可知，|a|＜2，
∵b＜|a|，
∴b不可能是2，
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴的概念、绝对值的性质，根据数轴确定|a|的范围是解题的关键．
3．（2分）若|a|＝13，|b|＝7，且a+b＞0，则a﹣b的值是（ ）
A．6或20B．20或﹣20C．6或﹣6D．﹣6或20
【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．
【解答】解：∵|a|＝13，|b|＝7，
∴a＝±13，b＝±7；
∵a+b＞0，
∴a＝13，b＝±7．
当a＝13，b＝7时，a﹣b＝6；
当a＝13，b＝﹣7时，a﹣b＝20；
所以a﹣b的值为6或20；
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．
4．（2分）在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（ ）
A．﹣a﹣2b+3cB．a﹣2b+3cC．﹣a+2b﹣3cD．a+2b﹣3c
【分析】先去括号，然后再添括号即可．
【解答】解：a﹣（2b﹣3c）＝a﹣2b+3c＝﹣（﹣a+2b﹣3c），
故选：C．
【点评】本题考查了去括号与添括号的知识，解答本题的关键是熟记去括号及添括号的法则．
5．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．﹣（﹣3anb）4＝﹣81a4nb4
B．（an+1bn）4＝a4n+4b4n
C．（﹣2an）2（3a2）3＝﹣54a2n+6
D．（3xn+1﹣2xn）•5x＝15xn+2﹣10xn+1
【分析】利用积的乘方运算法则（ab）n＝an•bn和幂的乘方法则（an）m＝amn，计算A，B，C三选项，计算出结果，以及利用乘法的分配律及单项式的乘法法则计算出结果，即可找出运算错误的选项．
【解答】解：A、﹣（﹣3anb）4＝﹣（﹣3）4•（an）4•b4＝﹣81a4nb4，本选项正确；
B、（an+1bn）4＝（an+1）4•（bn）4＝a4n+4b4n，本选项正确；
C、（﹣2an）2（3a2）3＝（﹣2）2•（an）2•33•（a2）3＝108a2n+6，本选项错误；
D、（3xn+1﹣2xn）•5x＝3xn+1•5x﹣2xn•5x＝15xn+2﹣10xn+1，本选项正确，
故选：C．
【点评】此题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则以及单项式的乘法法则，是一道基础题．学生做题时注意负号的取舍，以及运算时细心再细心，避免出错．
6．（2分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”
译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”
设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1）D．
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1），
故3（x+4）＝4（x+1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
7．（2分）若a与b互为相反数，则＝（ ）
A．﹣2020B．﹣2C．1D．2
【分析】若a与b互为相反数，则a+b＝0．将要求的式子适当变形，再利用完全平方公式化简即可得出结论．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a＝﹣b．
原式＝
＝
＝
＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数和分式的化简求值，利用完全平方公式进行化简是解题的关键．
8．（2分）关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用k表示出来，代入方程x＝﹣y求得k的值．
【解答】解：由x，y互为相反数得x＝﹣y，
代入（1）得y＝﹣1，
则x＝1，
把x＝1，y＝﹣1，
代入（2）得：2k﹣k﹣1＝10，
则k＝11．
故选：D．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
9．（2分）把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（ ）
A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）
C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）
【分析】先把x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3转化为（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4），因为前三项、后三项符合完全平方公式，然后根据平方差公式进一步分解．
【解答】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3
＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）
＝（x﹣1）2﹣（y+2）2
＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]
＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，本题的关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解．解题时要求同学们要有构造意识和想象力．
10．（2分）若关于x的方程|x+1|+|x﹣1|＝a有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a＞0C．a≥1D．a≥2
【分析】根据绝对值性质，题目去掉绝对值，需要分为x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1三种情况讨论，然后根据求得的值解不等式，从而求得a的取值范围．
【解答】解：当x＜﹣1时，
原式去绝对值得：﹣x﹣1﹣x+1＝a，
解得x＝﹣a，
∴﹣＜﹣1，
∴a＞2，
当﹣1≤x≤1时，
原式去绝对值得：x+1﹣x+1＝a，
解得：a＝2
当x＞1时，
原式去绝对值得：x+1+x﹣1＝a，
解得x＝a，
∴a＞1，
∴a＞2．
综上所述：a≥2，
故选：D．
【点评】本题将一元一次方程、绝对值、不等式进行结合，考查知识点较多，同时也考查了学生分类讨论思想的应用．
二、填空题（共18分，每题2分）
11．（2分）﹣1.25的倒数的相反数是： ．
【分析】直接利用倒数的定义化简，再利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣1.25＝﹣的倒数为：﹣，它的相反数是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了倒数、相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2分）用四舍五入法对0.02021取近似数，保留两位有效数字，结果是 0.020 ．
【分析】把万分位上的数字2进行四舍五入即可．
【解答】解：0.02021取近似数，保留两位有效数字，结果是0.020．
故答案为0.020．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
13．（2分）代数式3x2﹣4x+6的值9，则x2﹣+6＝ 7 ．
【分析】根据题意得3x2﹣4x+6＝9，求得x2﹣，再整体代入即可．
【解答】解：∵3x2﹣4x+6的值9，∴3x2﹣4x+6＝9，
∴x2﹣＝1，
∴x2﹣+6＝1+6＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查了代数式的值，解题的关键是把x2﹣作为整体．
14．（2分）若a+b＝17，ab＝60，则（a﹣b）2＝ 49 ．
【分析】利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a+b＝17，ab＝60，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝172﹣4×60＝49．
故答案为49．
【点评】本题考查了完全平方公式：完全平方公式的灵活使用是解决此类题目的关键，完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
15．（2分）若有理数x满足方程|1﹣x|＝1+|x|，则化简|x﹣1|的结果是 1﹣x ．
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≤0时，|1﹣x|＝1﹣x，1+|x|＝1﹣x，满足题意；
②当0＜x＜1时，|1﹣x|＝1﹣x，1+|x|＝1+x，不满足题意；
③当x≥1时，|1﹣x|＝x﹣1，1+|x|＝1+x，不满足题意．
综上可得：x≤0，故|x﹣1|＝1﹣x．
故答案为：1﹣x．
【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，有一定难度，解决此题的关键是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
16．（2分）已知关于x的方程a（x﹣3）+b（3x+1）＝5（x+1）有无穷多个解，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据题意，移项、去括号、将原方程整理成关于x的方程，最后根据题干所给条件列出方程组得出结果．
【解答】解：移项，得：a（x﹣3）+b（3x+1）﹣5（x+1）＝0，
去括号，得：ax﹣3a+3bx+b﹣5x﹣5＝0，
整理关于x的方程，得：（a+3b﹣5）x﹣（3a﹣b+5）＝0，
∵方程有无穷多解，
∴，
解得：．则a+b＝1．
故填：1．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程及解二元一次方程组，需要把握好题干条件，根据条件列出相应方程组，本题难度适中．
17．（2分）设，则3x﹣2y+z＝ 10 ．
【分析】先第一个方程两边都乘以2得出4x+2y+6z＝46，再减去第二个方程，即可得出答案．
【解答】解：方程2x+y+3z＝23两边都乘以2得：4x+2y+6z＝46，
减去x+4y+5z＝36得：3x﹣2y+z＝46﹣36＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了解三元一次方程组的应用，主要考查学生能否选择适当的方法求出代数式的值．
18．（2分）若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是 6 ．
【分析】把﹣12能写出几种两个数的积即可．
【解答】解：∵﹣12＝1×（﹣12）＝（﹣1）×12＝2×（﹣6）＝（﹣2）×6＝3×（﹣4）＝（﹣3）×4，
∴a＝±11或a＝±4或a＝±1，
共有6种，
故答案为：6．
【点评】本题考查十字相乘法，将常数项分解成两个因数的积是得出正确答案的关键．
三、解答题（共64分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（24分）代数计算：
（1）求值：（﹣）÷（﹣）×|﹣2+（﹣3）2|；
（2）化简：5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）；
（3）分解：（m2﹣1）2﹣6（m2﹣1）+9；
（4）求解：；
（5）求解：4﹣3|2x﹣1|＝1；
（6）求解：|x﹣|2x+1||＝3．
【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序进行计算即可；
（2）根据整式的乘法运算顺序进行计算即可；
（3）利用分解因式进行计算即可；
（4）利用加减消元法解方程组即可；
（5）根据绝对值的意义解方程即可；
（6）根据绝对值的意义解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）×（﹣6）×|﹣2+9|
＝1×7
＝7；
（2）原式＝5x3+10x2+5x﹣2x2+10x﹣3x+15
＝5x3+8x2+12x+15；
（3）原式＝（m2﹣1﹣3）2
＝（m2﹣4）2
＝（m+2）2（m﹣2）2；
（4）原方程组变形为：
，
②×15﹣①得﹣3y＝14，
解得y＝﹣，
把y＝﹣代入②得，x＝﹣，
∴原方程组的解为：；
（5）∵4﹣3|2x﹣1|＝1，
∴|2x﹣1|＝1，
∴2x﹣1＝±1，
∴2x﹣1＝1或2x﹣1＝﹣1，
解得x＝1或x＝0；
（6）∵|x﹣|2x+1||＝3，
∴x﹣|2x+1|＝±3，
∴|2x+1|＝x﹣3，或|2x+1|＝x+3，
∴2x+1＝±（x﹣3）或2x+1＝±（x+3），
解得x＝﹣4或x＝或x＝2或x＝﹣．
经检验，只有或x＝2或x＝﹣符合答案．
【点评】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、解二元一次方程组、一元一次方程、绝对值，有理数混合运算、分解因式，解决本题的关键是综合运用以上知识准确进行计算．
20．（10分）（1）先化简再求值：当（a﹣1）2+|b﹣2|＝0时，求5ab﹣a3b2﹣ab+a3b2﹣ab﹣a3b﹣5的值．
（2）当2a﹣3b＝﹣1时，求4a2﹣6ab+3b的值．
【分析】（1）先由偶次方和绝对值的非负性得出a和b的值，再将要求的式子合并同类项，然后代入a和b的值计算即可；
（2）将4a2﹣6ab+3b利用提取公因式法变形，再将2a﹣3b＝﹣1整体代入计算即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2．
∴5ab﹣a3b2﹣ab+a3b2﹣ab﹣a3b﹣5
＝（5ab﹣ab﹣ab）+（﹣a3b2+a3b2）﹣a3b﹣5
＝0﹣4a3b2﹣a3b﹣5
＝﹣4a3b2﹣a3b﹣5
＝﹣4×13×22﹣13×2﹣5
＝﹣16﹣2﹣5
＝﹣23．
（2）∵2a﹣3b＝﹣1，
∴4a2﹣6ab+3b
＝2a（2a﹣3b）+3b
＝﹣2a+3b
＝﹣（2a﹣3b）
＝﹣（﹣1）
＝1．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握偶次方和绝对值的非负性及整式的加减的运算法则是解题的关键．
21．（10分）方程解应用题：为让同学们幸福成长，年级准备组织师生秋游．关于租车问题；若只租45座的客车若干辆，则刚好坐满；若只租60座的客车，则可少租4辆，且余30个座位．
（1）若只租45座的客车，求需要多少辆车？
（2）已知一辆45座的客车租金每天2500元，一辆60座的客车租金每天3000元，若可以同时租用这两种类型的客车，则两种客车分别租多少辆省钱．（本小问直接写出答案即可）
【分析】（1）设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x人，根据人数与客车的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）等量关系为：45座客车能坐的人数+60座客车能坐的人数＝秋游的师生总人数，选取正整数解，比较即可．
【解答】解：设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x人，
由题意得45x＝60（x﹣4）﹣30，
解得x＝18，
答：只租45座的客车需要18辆；
（2）45×18＝810（人），
设租45座客车m辆，60座客车n辆，
由题意得45m+60n＝810，
∵m，n均为正整数，
∴m＝2，n＝12；m＝6，n＝9；m＝10，n＝6；m＝14，n＝3，
2500×2+3000×12＝41000（元）；
2500×6+3000×9＝42000（元）；
2500×10+3000×6＝43000（元）；
2500×14+3000×3＝44000（元）；
∵41000＜42000＜43000＜44000，
∴租45座的客车2辆，租60座的客车12辆最省钱．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
22．（10分）三角形ABC的三条边长a，b，c满足a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，求证：a+c＝2b．
【分析】首先把a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0写成（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，然后进行因式分解得到即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
【解答】证明：∵a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，
∴a2+6ab+9b2﹣（c2﹣10bc+25b2）＝0，
∴（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，
∴（a+3b+c﹣5b）（a+3b﹣c+5b）＝0，
即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b﹣c＞0，
∴a+8b﹣c＞0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴a+c＝2b．
【点评】本题主要考查了因式分解的知识点，解答本题的关键是把题干等式写成两个非负数的形式，进而求出a，b和c的关系，此题难度不大．
23．（10分）设a，b，c为整数，且一切实数x都有（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，求a+b+c的值．
【分析】先把（x﹣a）（x﹣8）+1整理成x2﹣（a+8）x+8a+1，再把（x﹣b）（x﹣c）整理成x2﹣（b+c）x+bc，再根据（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，得出一次项系数相等和常数项相等，得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc，先消去a，结合b，c都是整数，得到b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可分析出答案．
【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc，
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
即（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意．
四．附加题（共20分）
24．（4分）如下面表格，从第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
（1）x＝ 1 ．
（2）从第一个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，则n的值为 1213 ．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出x的值；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到表格中的数据以1，6，﹣2依次出现，再根据从第一个格子起，前n个格子中所填整数之和为2021，即可得到n的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
1+a+b＝a+b+x，
∴x＝1，
故答案为：1；
（2）由题意可得，
1+a+b＝a+b+x＝b+x+6，
解得x＝1，a＝6，
故表格中的数据以1，6，﹣2依次出现，
∵1+6+（﹣2）＝5，2021÷5＝404……1，
∴n＝404×3+1＝1213，
故答案为：1213．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数据．
25．（4分）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：
取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；
将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；
再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；
…，
一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．
如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为 32 ；
（2）当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为 1﹣（）n ．（用含n的式子表示）
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答】解：（1）根据题意知：第一阶段时，余下的线段的条数为2，
第二阶段时，余下的线段的条数为4＝22，
第三阶段时，余下的线段的条数为8＝23…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的条数为25＝32；
故答案为：32；
（2）根据题意知：第一阶段时，余下的线段长度为，
第二阶段时，余下的线段长度为×＝（）2，
第三阶段时，余下的线段长度为××＝（）3，
…
以此类推，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段长度为（）n．
∴当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为1﹣（）n，
故答案为1﹣（）n．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
26．（4分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数），如T（1，2）＝5m+10n．
（1）若T（﹣1，1）＝0且T（0，2）＝8，则m＝ 1 ；
（2）当u2≠v2时，若T（u，v）＝T（v，u）对任意有理数u，v都恒成立，则＝ 2 ．
【分析】（1）根据新定义的运算，列方程求出m的值即可；
（2）由T（u，v）＝T（v，u）可得一个关于u、v的关系式，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，
T（﹣1，1）＝（﹣m+n）（﹣1+2）＝﹣m+n＝0，即m＝n，
T（0，2）＝2n×4＝8，即8n＝8，n＝1，
∴m＝n＝1，
故答案为：1；
（2）由T（u，v）＝T（v，u）得，
（mu+nv）（u+2v）＝（mv+nu）（v+2u），
即，（m﹣2n）u2＝（m﹣2n）v2，
又u2≠v2，且对于任意有理数u，v都恒成立可得，
m﹣2n＝0，
所以＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解新定义运算的意义是关键．
27．（4分）进入初一：李华同学紧跟课堂落实知识，完成作业及时订正，因此对数学运算非常感兴趣，并自主探究了一种新运算“〇”，规则如下：对两个有理数a，b，定义a〇b＝．
（1）计算20〇21＝ 20 ；
（2）若a1＝|x﹣1|，a2＝|x﹣2|，若a1〇a2＝0.5，则所有满足条件的x的和为 4.5 ．
【分析】（1）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的新运算和分类讨论的方法，可以求得满足条件的x的值，然后把这些满足条件的x的值相加，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
20〇21＝＝＝20，
故答案为：20；
（2）当x＞2时，
∵a1＝|x﹣1|，a2＝|x﹣2|，a1〇a2＝0.5，
∴a1＝x﹣1，a2＝x﹣2，
∴＝0.5，
解得，x＝2.5；
当1≤x≤2时，
∵a1＝|x﹣1|，a2＝|x﹣2|，a1〇a2＝0.5，
∴a1＝x﹣1，a2＝2﹣x，
∴＝0.5，
解得，x＝1.5；
当x＜1时，
∵a1＝|x﹣1|，a2＝|x﹣2|，a1〇a2＝0.5，
∴a1＝1﹣x，a2＝2﹣x，
∴＝0.5，
解得，x＝0.5；
由上可得，满足条件的x的值是2.5、1.5、0.5，
∵2.5+1.5+0.5＝4.5，
∴所有满足条件的x的和为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
28．（4分）数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若数轴上存在一点C，使得AC+2BC＝l，则称C为点A，B的“和l点”（其中AC，BC分别表示点C到点A，B的距离）．
（1）若点E在数轴上（不与A，B重合），若BE＝AE，且点E为点A，B的“和l点”，则l的值可能为 或16 ；
（2）若点D在是点A，B的“和5点”，则点D表示的数可能为 1或 ．
【分析】（1）需要分类讨论：①当点E在BA延长线上时，②当点E在线段AB上时，③当点E在AB延长线上时，
根据BE＝AE，先求点E表示的数，再根据AE+2BE＝1，即可得出结论
（2）设点D表示的数为y，根据“和5点的定义分两种情况列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）分三种情况：
①当点E在BA延长线上时，
∵不能满足BE＝AE，
∴该情况不符合题意，舍去
②当点E在线段AB上时，可以满足BE＝AE，
设点E表示的数为x，则2﹣x＝[x﹣（﹣2）]，
解得x＝．
l＝AE+2BE＝．
③当点E在AB的延长线上时，
∵BE＝AE，
∴BE＝AB＝4，
∴点E表示的数为6
∴l＝AE+2BE＝8+8＝16．
综上所述：l＝或l＝16．
故答案为：或16．
（2）∵点D是数轴上点A、B的“和5点”，
∴AD+2BD＝5．
∵AB＝4，
∴点D在线段AB上或AB的延长线上．
设点D表示的数为y，由AD+2BD＝5得，
y﹣（﹣2）+2（2﹣y）＝5或y﹣（﹣2）+2（y﹣2）＝5，
解得y＝1或y＝，
∴点D表示的数为1或．
故答案为：1或．
【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“和l点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．
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x
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b
x
6
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