高中1.1.1 空间向量及其运算同步训练题

这是一份高中1.1.1 空间向量及其运算同步训练题，共12页。试卷主要包含了【考点】空间向量的加减法，【考点】空间向量的数量积运算等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，下列计算结果一定不等于0的是（ ）
A．AD1⋅B1CB．BD1⋅AC
C．DC⋅AD1D．BD1⋅B1C1
2．已知空间四边形OABC， M ，N分别是OA，BC的中点，且 OA=a， OB=b ， OC =c，用a，b，c表示向量 MN 为（ ）
A．12a+12b+12cB．12a−12b+12c
C．−12a+12b+12cD．−12a+12b−12c
3．如图，在底面 ABCD为平行四边形的四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，M是AC与BD的交点，若 AB=a ， A1D1=b ， A1A=c ，则下列向量中与 B1M 相等的向量是 （ ）
A．−12a+12b+cB．12a+12b+c
C．12a−12b+cD．−12a−12b+c
4．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E,F分别是AB,AD的中点，则 FE⋅DC 等于（ ）
A．14B．- 14C．34D．- 34
5．如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60º，则点Q运动的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
6．直三棱柱 ABC−A1B1C1 ，中， ∠BAC=90° ， AB=AC=2 ， AA1=2 ．则异面直线 AC1 与 CB1 所成角的余弦值为（ ）
A．−33B．33C．−36D．36
7．长方体 ABCD−A1B1C1D1 中 AB=AA1=2,AD=1 ， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为（ ）
A．1010B．3010C．21510D．31010
8．若向量 a=(0,1,−1),b=(1,1,0) ，且 (a+λb)⊥a ，则实数 λ 的值是（ ）
A．-1B．0C．-2D．1
9．在底面为锐角三角形的直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，D是棱 BC 的中点，记直线 B1D
与直线 AC 所成角为 θ1 ，直线 B1D 与平面 A1B1C1 所成角为 θ2 ，二面角 C1−A1B1−D 的平面角为 θ3 ，则（ ）
A．θ2θ3
10．在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中点， E ， F 分别是 CC1 ， AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于（ ）
A．427B．155C．33D．63
二、填空题
11．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若 AC1=xAB+2yBC+3zC1C ，则x+y+z
12．若 A(−1,2,3),B(2,−4,1),C(x，−1，−3) 是 BC 为斜边的直角三角形的三个顶点,则 x= .
13．已知 a=(5,3,1) ， b=(−2,t,−25) .若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是 .
14．已知四面体ABCD中， AB=a−2c ， CD=5a+6b−8c ，AC，BD的中点分别为E，F，则 EF = .
15．在正四面体O－ABC中， OA=a,OB=b,OC=c ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝ (用 a,b,c 表示)．
三、解答题
16．已知在直角梯形 ABC'D 中， ∠A=∠B=90° ， AD=AB=1,BC'=2 ，将 ΔC'BD 沿 BD 折起至 ΔCBD ，使二面角 C−BD−A 为直角.
（1）求证：平面 ADC⊥ 平面 ABC ；
（2）若点 M 满足 AM=λAC , λ∈[0，1] ，当二面角 M−BD−C 为45°时，求 λ 的值.
17．如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， CC1⊥ 平面 A1B1C1 ， D 为 AB1 的中点， B1C 交 BC1 于点 E ， AC⊥BC ， BC=AC=2 .
（1）证明： DE⊥ 平面 BB1C1C ；
（2）若 C1B⊥AB1 ，求二面角 A−B1C−A1 的余弦值.
18．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，已知 PA⊥ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=π2 ， PA=AD=2 ， AB=BC=1 .
（1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值；
（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】如图，
以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c
则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），
∴AD1= （﹣a，0，c）， B1C= （﹣a，0，﹣c）， BD1= （﹣a，﹣b，c）， AC= （﹣a，b，0）， DC= （0，b，0）， B1C1= （﹣a，0，0），
∴AD1 • B1C= a2﹣c2，当a＝c时， AD1 • B1C= 0，
BD1 • AC= a2﹣b2，当a＝b时， BD1 • AC= 0，
DC • AD1= 0，
BD1 • B1C1= a2≠0，
故答案为：D．
2.【考点】空间向量的加减法
【解答】如图所示，连接ON，AN，则 ON=12(OB+OC)=12(b+c) ， AN=12(AC+AB)=12(OC−2OA+OB)=12(−2a+b+c)=−a+12b+12c ，
所以 MN=12(ON+AN)=−12a+12b+12c .
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知：ON→=12（OC→+OB→），AN→=12（AB→+AC→），NM→=12（NA→+NO→）=−12（AN→+ON→），而NM→=−MN→.
3.【考点】空间向量的加减法
【解答】 B1M=B1B+BM=c+12BD=c+12(AD−AB)=−12a+12b+c ，故A符合题意.
故答案为：A .
4.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】由题意知 DB=2FE ，故 FE⋅DC=12DB⋅DC=12|DB|⋅|DC|cs60∘=14 .
故选A
5.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】如图，过点A引平面PDC的垂线，垂足为O，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 y 轴与直线DC平行，点P在 x 轴的负半轴上。
由题可知PA ⊥ 平面ADC，又 VA−PCD=VP−ACD ,求得点A到平面PCD的距离为： ℎ=32 ，所以 A(0,0,32) ， p(−12,0,0) ，设 Q(x,y,0) ，
所以 AQ=(x,y,−32) ， AP=(−12,0,−32) ，又直线AQ与棱AP所成角为60º，所以 cs60∘=|AP⋅AQ|AP|⋅|AQ|| ，整理得： y2=−3x+32 ，所以点Q的轨迹为抛物线。
故答案为：D
6.【考点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解答】由题意可知， AB,AC,AA1 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则 A(0,0,0) ， C1(2,0,2),C(2,0,0),B1(0,2,2) ．
∴AC1=(2,0,2),CB1=(−2,2,2) ．
∴cs=AC1⋅CB1|AC1||CB1|=−2+46×22=36 ．
异面直线 AC1 与 CB1 所成角的余弦值为 36 ．
故答案为：D．
7.【考点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解答】建立坐标系如图所示，
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， BC1 ＝(－1,0,2)， AE ＝(－1，2,1)，
cs〈 BC1 ， AE 〉＝ ＝ 3010 ，
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 3010 ，
故答案为：B。
8.【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算
【解答】解：由已知 a+λb=(0,1,−1)+λ(1,1,0)=(λ,1+λ,−1) ，
由 (a+λb)⊥a 得： (a+λb)⋅a=(λ,1+λ,−1)⋅(0,1,−1)=1+λ+1=0 ，
∴λ=−2 ，
故答案为：C.
9.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】解：由题可知，直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面为锐角三角形，D是棱 BC 的中点，
设三棱柱 ABC−A1B1C1 是棱长为 2 的正三棱柱，
以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，
AC 为 y 轴， AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A1(0,0,2) ， B1(3,1,2) ， C(0,2,0) ， D(32,32,0) ， A(0,0,0) ，
AC→=(0,2,0) ， B1D→=(−32,12,−2) ， A1B1→=(3,1,0) ，
∵ 直线 B1D 与直线 AC 所成的角为 θ1 ， θ1∈(0,π2] ，
∴csθ1=|B1D→⋅AC→||B1D→|⋅|AC→|=125 ，
∵ 直线 B1D 与平面 A1B1C1 所成的角为 θ2 ， θ2∈[0,π2] ，
平面 A1B1C1 的法向量 n→=(0,0,1) ，
∴sinθ2=|B1D→⋅n→||B1D→|⋅|n→|=25 ，
∴csθ2=1−(25)2=15 ，
设平面 A1B1D 的法向量 m→=(a,b,c) ，
则 m⋅A1B1=3a+b=0m⋅B1D=−32a+12b−2c=0 ，
取 a=3 ，得 m→=(3,−3,−32) ，
∵ 二面角 C1−A1B1−D 的平面角为 θ3 ，
由图可知， θ3 为锐角，即 θ3∈(0,π2) ，
∴csθ3=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=32574=1579 ，
∵csθ2>csθ3>csθ1 ，
由于 y=csθ 在区间 (0,π) 上单调递减，
∴θ2