山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题

这是一份山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A.4B.6C.7D.8
2.抛物线：的焦准距是（ ）
A.B.C.3D.6
3.在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ）
A.B.C.D.
4.展开式的常数项为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ）
A.1.4C.1.5
7.已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A.B.C.D.
8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为M、N，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.正方体中，E，F分别为棱利的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线与EF所成角为60°
D.平面截正方体所得截面为等腰梯形
10.已知正实数a，b，c，且，x，y，z为自然数，则满足恒成立的x，y，z可以是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
11.已知椭圆：左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于，两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.离心率D.若，则
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为______.
13.将函数的图像上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为______.
14.图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆心角为.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
16.（15分）
欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.
（1）求，，，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前和.
17.（15分）
已知双曲线：左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于E，F两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
18.（17分）
定义，已知函数，其中.
（1）当时，求过原点的切线方程；
（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
19.（17分）
甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
（1）若，，求甲获胜的概率；
（2）若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；
②设随机变量取到观测值的概率为，即
；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
表1：甲得分的一组观测值
附：若随机变量X，Y的期望，都存在，则.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（或）13.14.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（1）如图，以的中点为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知各点坐标如下：
，，，，，
因此，，，
由得.
由得.
，，平面
所以平面.
（2）设直线与平面所成的角为.
由（1）可知，，，
设平面的法向量.
由即可取
所以.
因此，直线与平面所成的角的正弦值.
16.（1）由题意可知，，，
由题意可知，偶数与不互素，所有奇数与互素，
所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
所以①
②
所以①②得
所以.
17.（1）设双曲线的两渐近线方程分别为，
点到双曲线两渐近线的距离乘积为，
由题意可得：
解得，，
则双曲线的方程为；
（2）设直线的方程为，
由，互相垂直得的方程，
联立方程得
消得，成立，
所以，
所以点坐标为，
联立方程得，所以，
所以点坐标为，
根据对称性判断知定点在轴上，
直线的方程为，
则当时，
，
所以定点坐标为.
18.（1）
令
在单调递增，单调递减，且
令在单调递增，而
又，，而
所以当时，，当时，
所以当时，，当时，
所以
所以在和单调递增，单调递减
（i）当时，，设切点
则此切线方程为
又此切线过原点，
所以，解得
即此时切线方程是
（ii）当时，所以
设切点为，此时切线方程，
又此切线过原点，所以解得
所以此时切线方程
综上所述，所求切线方程是：或
（2）（i）当时
由（1）知，在和单调递增，单调递减，
且，，
此时有两个零点
（ii）当时，
当时，
由（1）知：在递增，递减，且
所以时，，而
所以在只有一个零点，没有零点
（iii）当时，
此时得
由（1）知
当时，只有一个零点，
要保证只有一个零点，只需要当时，没有零点
得
19.（1）记甲获胜为事件，甲抢到3道题为事件，甲抢到2道题为事件，甲抢到1道题为事件，甲抢到0道题为事件，
则，
，
，
而，
，
，
，
所以
.
（2）①，，，
所以；
因为，
由表中数据可知，
所以，.
②略
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
1
0
0
1
1
0
0
0
题目
11
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20
得分
0
1
1
0
0
0
1
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
B
D
C
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
AB