四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1．某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．24种B．4种C．43种D．34种
2.已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B． C． D．
3．设函数fx在R上可导，其导函数为f'x，且函数gx=xf'x的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A．fx有2个极值点 B．f0为函数的极大值
C．fx有1个极小值 D．f−1为fx的极小值
4.已知函数，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是增函数
C．当时，有最小值D．在定义域内无极值
5.已知f(x)=ax2+lnx，且limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=6．若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直，则a+b=（ ）
A．43B．23C．13D．0
6．若函数fx=kx−6lnx−x2在区间1,+∞上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A．−∞,43 B．−∞,8 C．−∞,8 D．−∞,43
7．已知函数fx=4x2−3x,x≤0x−alnx,x>0，若∀x1≤0,∃x2>0，使得fx1=fx2成立，则a的取值范围为（ ）
A．−∞,0∪1,+∞B．−∞,0∪e,+∞
C．0,1D．0,e
8．已知实数x，y满足ex+x=1y−lny，则xe−x−y的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）
9．下列表述中正确的是（ ）
A．若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
B．ln2+lg2x'=1xln2
C．已知函数，则
D．若f(x)=2f'(1)x−x2+lnx+1，则f(1)=2
10．已知函数fx的导函数为f'x，对任意的正数x，都满足fxA．f1<2f12 B．f1<12f2 C．f1<4f12−2 D．f1>14f2+1
11．若函数fx=alnx−ax+1a∈R，gx=fx+32x2−1，则下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，fx≤0在定义域上恒成立
B．若经过原点的直线与函数fx的图像相切于点3,f3，则a=1ln3−1
C．若函数gx在区间32,4单调递减时，则a的取值范围为16,+∞
D．若函数gx有两个极值点为x1,x2x1≠x2，则a的取值范围为−∞,12
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．函数fx=ex−x+1在区间−1,1上的最大值是 .
13．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 种不同涂色方法；（用数字作答）
14． 已知函数fx=alnx，a∈R，若直线y=2x是曲线y=fx的切线，则a= ；若直线y=2x与曲线y=fx交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，且x1y1−9x2y2≥0，则a的取值范围是 .
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知函数fx=x2+aex−1在点1,f1处的切线与直线x+4y+2024=0垂直.
(1)求a的值；
(2)求fx的单调区间和极值.
16．（本小题满分15分）已知函数f(x)=x3−92x2+6x+aa∈R.
(1)求f(x)在−2,3上的最大值；
(2)若函数fx恰有1个零点，求a的取值范围.
17．（本小题满分15分）已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？
(4)可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？
18.（本小题满分17分）已知函数．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)探究：是否存在实数，使得函数在0,e2上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）已知函数f(x)=lnx−x+2，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线x=1e交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式fx>0的整数解的个数；
(3)当exx高二（下）第一次教学质量监测数学参考答案
一．DCBC ADBA 二．BD BC AC
三． 144 ，
15．解：（1）因为fx=x2+aex−1，所以f'x=2xex−1−x2+aex−1ex−12=2x−x2−aex−1， 分
则f'1=1−a，. 分
因为函数fx=x2+aex−1在点1,f1处的切线与直线x+4y+2024=0垂直，
故1−a×−14=−1，解得：a=−3； 分
（2）因为fx=x2−3ex−1，所以f'x=2x−x2+3ex−1=−x−3x+1ex−1， 分
令f'x=0，解得x=3或x=−1，令f'x<0得x>3或x<−1，令f'x>0得−1列表如下：
分
故fx的单调递减区间为−∞,−1和3,+∞，单调递增区间为−1,3， 分
fx的极大值为f3=6e2，极小值为f−1=−2e2. 分
16.解：（1）f'(x)=3x2−9x+6= 3x−1x−2， 分
可知x∈−2,1时，f'x>0，f(x)单调递增，x∈1,2时，f'x<0，f(x)单调递减，
x∈2,3时，f'x>0，f(x)单调递增， 分
所以f(x)max=maxf1,f3， 分
由f(1)=52+a，f(3)=92+a，
f(x)max=f3=92+a； 分
（2）f'(x)=3x2−9x+6= 3x−1x−2， 分
当x<1或x>2时，f'x>0，当1所以f(x)在−∞,1和2,+∞上单调递增，在1,2单调递减， 分
所以fx极大值=f1=52+a，fx极小值=f2=2+a， 分
当x→−∞时，fx→−∞，当x→+∞时，fx→+∞，
因为f(x)有1个零点，故a的取值范围. )−∞，−52−2，+∞ 分
17. 解：（1）分3步： ①先选百位数字有5种选法； = 2 \* GB3 ②十位数字有5种选法；
= 3 \* GB3 ③个位数字有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4=100个 分
（2）分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③十位数字也有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个. 分
（3）分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5×5=25个；
③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有5×5×4=100个；
因此，比1 000小的自然数共有6+25+100=131个． 分
（4）分4类：
①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3=6个；
④5420也满足条件；
故所求四位数共有120+48+6+1=175个. 分
18．解：（1）因为函数fx=lnx+ax+ax，所以定义域为：0，+∞.
f'x=1x+a−ax2=ax2+x−ax2， 分
当a=0时，f'x=1x>0，则fx在区间0，+∞上单调递增；分
当a≠0时，f'x=0，即ax2+x−a=0，Δ=1+4a2>0，
所以方程有两个实数根−1+1+4a22a，−1−1+4a22a. 分
①当a>0时，−1+1+4a22a>0，−1−1+4a22a<0，
所以fx在区间0，−1+1+4a22a上单调递减，在区间−1+1+4a22a,+∞上单调递增；分
②当a<0时，−1+1+4a22a<0，−1−1+4a22a>0，
所以fx在区间0，−1−1+4a22a上单调递增，在区间−1−1+4a22a,+∞上单调递减；分
综上所述：当a=0时，fx在区间0，+∞上单调递增；
当a<0时，fx在区间0，−1−1+4a22a上单调递增，在区间−1−1+4a22a,+∞上单调递减；
当a>0时，fx在区间0，−1+1+4a22a上单调递减，在区间−1+1+4a22a,+∞上单调递增；
分
（2）因为gx=fx−ax−2，则gx=lnx+ax−2，所以gx的定义域为0，+∞.
g'x=1x−ax2=x−ax2，令g'x=0，则x=a. 分
若a≤0时，gx在区间0,e2单调递增，没有最小值，不符合题意，舍去；分
若0此时最小值为ga=lna+1−2=2，则a=e3，不在范围内，舍去；分
若a≥e2时，gx在区间0,e2单调递减，
此时最小值为ge2=lne2+ae2−2=2，则a=2e2； 分
所以，存在实数a=2e2，使得函数gx=fx−ax−2在0,e2上的最小值为分
19．解：（1）f'(x)=1x−1，所以f'1e=e−1，又f1e=ln1e−1e+2=1−1e
所以该曲线在点P处的切线方程为:y−1−1e=(e−1)x−1e，即y=(e−1)分
（2）fx的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1x−1=1−xx，
当x∈0,1时，f'x>0，fx单调递增；
当x∈(1,+∞)，f'x<0，fx单调递减．
又f1e2=−1e2<0，f(1)=1>0，
f(3)=ln3−1>0，f(4)=ln4−2<0，
所以，不等式fx>0的整数解的个数为3．分
（3）不等式1+axe2−x−af(x)≤xe2−x−1
可整理为1+axex−2−alnxex−2−xex−2+1≤0，
令p(x)=xex−2，p'(x)=1−xex−2，
所以当x∈0,1，p'x>0，px单调递增，
当x∈(1,+∞)，p'x<0，px单调递减，
所以px≤p1=e，又x>ex−2，
所以令t=xex−2∈(1,e]，则a≤1lnt−1t−1
令ℎ(x)=1lnx−1x−1 (x∈(1,e])，
则ℎ'(x)=−1x(lnx)2+1(x−1)2=1x−1(lnx)2+x(x−1)2
令s(x)=(lnx)2−(x−1)2x(x∈(1,e])，
则s'(x)=2lnxx−1+1x2=2lnx−x+1xx
令q(x)=2lnx−x+1x，(x∈(1,e])，
则q'(x)=2x−1−1x2=−(x−1)2x2<0，(x∈(1,e])，
所以qx单调递减，qx所以s'x<0，sx单调递减，sx所以(lnx)2<(x−1)2x(x∈(1,e])，
所以1(lnx)2>x(x−1)2，ℎ'(x)=1x−1(lnx)2+x(x−1)2<0
所以ℎx单调递减，ℎ(x)≥ℎ(e)=1−1e−1 ，所以a≤1−1e−分
x
−∞,−1
−1
−1,3
3
3,+∞
f'x
−
0
+
0
−
fx
↘
极小值
↗
极大值
↘