福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A. B. C. D. 5
3. 已知，则与夹角的余弦值为（ ）
A B. C. 0D. 1
4. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5. 如图，在四边形中，，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，a，b，c分别为A，B，C对边，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若是锐角三角形，则
B. 若，则
C. 若，则解此三角形的结果有一解
D. 若角C为钝角，则
7. 点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（ ）
A. 点是的垂心B. 点是的重心
C. 点是的外心D. 点是的内心
8. 设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A. 2B. 3C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分．
9. 若复数，则下列说法正确是（ ）
A. 虚部是
B. 若复数的共轭复数为，则
C. 在复数范围内，是方程的根
D. 若复数：满足，则最大值为6
10. 如图所示设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系．若﹐则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．在的仿射射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11. 的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. 角A的最大值为D. 面积的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题、本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为__________．
13. 如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是___________.

14. 如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，．计划在弧上设置一个收银台B，记，其中
（1）则_________（用表示）：
（2）若越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．
四、解答题、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．
（1）求复数；
（2）复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求B的值；
（2）若，，BD为的平分线，BE为中线，求的值.
17. 如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点．
（1）若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明）
（2）若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长.
18. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N，
（1）若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；
（2）若，求AN的值；
（3）求的最大值与最小值.
19. 在锐角中，，点O为的外心．
（1）若，求的最大值；
（2）若．
①求证：；
②求的取值范围．