江西省五市九校协作体2024届高三下学期第二次联考数学试卷（Word版附解析）

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填空题：12. -105 13. 2 14.
15.【解答】解：（1）当m＝1时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．
则集合{1，2，3，4，5}的非空子集数为25﹣1＝31，
其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23﹣1＝7，
全为偶数的子集数为22﹣1＝3，
所以所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率P（A）＝．……………………（5分）
（2）当m＝2时，î的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（î＝0）＝＝，
P（î＝1）＝2×＝，
P（î＝2）＝2×＝，
P（î＝3）＝＝，
P（î＝4）＝2×＝，
∴î的分布列为：
……所以î的数学期望E（î）＝+＝．…………（13分）
16.【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣（x﹣1），
其定义域为，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴函数f（x）的增区间为（0，1）．………………………………………………………………（4分）
（2）①由f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），得，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增；………………………………………………………（6分）
若，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当a≤0时，f（x）单调递增，x∈（0，1]时，f（x）max＝f（1）＝0，满足题意；…………（8分）
当时，在x∈（0，1]时，f（x）max＝f（1）＝0，满足题意；…………………………（10分）
当时，即a＞1，在，
令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）＞g（1）＝0，即a﹣lna﹣1＞0，不满足题意，
综上，a的取值范围是{a|a≤1}；……………………………………………………………………（15分）
17.【解答】解：（1）设BC1∩B1C＝O，连接OA，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为B1C及BC1的中点，
又AC⊥AB1，∴OA＝OC＝OB1，
又AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，即BC1⊥OA，
而OA，B1C为平面AB1C内的两条相交直线，∴BC1⊥平面AB1C1．…………………………（6分）
（2）∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C，AB∩BC1＝B∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，即OA⊥OB1，
从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz
∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，
∵AB＝BC，∴，
∴，
设是平面B1AA1的法向量，
则，即，取x＝1，得，
设是平面C1AA1的法向量，
则，同理可取，
∵cs＜，＞＝＝，∴二面角B1﹣AA1﹣C1的余弦值为．…………………（15分）
18. 解析】（1）由题意可设双曲线，
则，解得，
所以双曲线的方程为.………………………………………………………（4分）
（2）（i）设，直线的方程为，
由，消元得.
则，且，
；…………………（9分）
或由韦达定理可得，即,
，
即与的比值为定值.
（ii）设直线，
代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得：，解得.
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，
同理可得，
由（i）中结论可知，
得，所以，
故，
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，
故的取值范围为.………………………………（17分）
另解：由于双曲线的渐近线方程为，
如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，
所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），
所以.
同理，过点作两渐近线的平行线与，
由于点在双曲线的右支上，
所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），
所以.
由（i）中结论可知，
得，所以,
故
19. 【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，
因为成立，成立，不成立，
所以不是“数列”.……………………………………………………………………（3分）
（2）由是首项为的“数列”，则，，
由是等比数列，设公比为，
由，
则，
两式作差可得，
即
由是 “数列”，则，对于恒成立，
所以，
即对于恒成立，
则，即，
解得，，，
又由，，则，即
故所求的，数列的通项公式……………………………………………………（9分）
（3）设函数，则，令，
解得，当时，，
则在区间单调递减，
且，
又由是 “数列”，
即 ，对于恒成立，
因为，则，
再结合，
反复利用，
可得对于任意的，,
则，
即，则，
即，，，，
相加可得，
则,
又因为在上单调递增，
所以，
又，所以，
即，
故.………………………………………………………………………………（17分）
î
0
1
2
3
4
…………（10分）
P