内蒙古包头市中考数学三模试卷（含详细解析）

这是一份内蒙古包头市中考数学三模试卷（含详细解析），共47页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2a3）2＝4a6D．a6÷a3＝a2
2．（3分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
3．（3分）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108°B．120°C．126°D．132°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若AE＝3，则△BCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）
11．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．5xa+2by8与﹣4x2y3a﹣4b是同类项，则a+b＝﹣3
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为1：2
C．m、n是整数，若2m＝a，2n＝b，则2m+3n＝a+3b
D．的算术平方根是3
12．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形ABCD为平行四边形时．；④若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
二、填空题。（每空3分，共24分）
13．（3分）不等式组的最小整数解为 ．
14．（3分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是 ．
15．（3分）化简：＝ ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为 ．
17．（3分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若AB＝8，四边形ADBF的面积为40．则AC＝ ．
18．（3分）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
19．（3分）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
三、解答题。（共60分）
21．（10分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
22．（10分）我市为达成“移动5G乡乡通”的建设目标，截止2020年12月，全市范围内已成功建成5G基站429个．如图，在坡度i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小聪在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°，点A、B、C、D均在同一平面内．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度．
（2）求基站塔AB的高．
23．（10分）某旅游区的湖边有一个观赏湖中音乐喷泉的区域，该区域沿湖边有一条东西向的长为32m的栏杆．考虑到观景安全和效果，旅游区计划设置一个矩形观众席，该观众席一边靠栏杆，另三边用现有的总长为60m的移动围栏围成，并在观众席内按行、列（东西向为行，南北向为列）摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）旅游区库存的500张座椅是否够用？请说明理由．
24．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠ABD＝30°，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：2AD2＝DE•AB；
（3）若BC＝1，求BF的长．
25．（10分）已知△ABC中，点D、E分别在边AD、AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①试说明△ADB∽△AEC；
②若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，当DE∥AC时，若点E恰好落在BC边中点处，求的值；
③若∠ABC＝90°，AB＝CB，当点E恰好落在AB边上时，延长CE交BD于M，若BE＝2AE，求的值．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，联结AC、BC．
（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如果点P在抛物线上，CB平分∠ACP，求点P的坐标；
（3）如果点Q在抛物线的对称轴上，△DBQ与△ABC相似，求点Q的坐标．
内蒙古包头市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每题3分，共36分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2a3）2＝4a6D．a6÷a3＝a2
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，2a﹣a＝a，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据完全平方公式，（a﹣1）2＝a2+1﹣2a，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据积的乘方与幂的乘方，（2a3）2＝4a6，那么C正确，故C符合题意．
D．根据同底数幂的除法，a6÷a3＝a3，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
2．（3分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：C．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
4．（3分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】正方形的性质；估算无理数的大小；全等三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】先由4＜5＜9，得2＜＜3，进而推导出1＜＜2，再由介于整数n和n+1之间，得n＜＜n+1，于是得n＝1．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴＜＜，
∴2＜＜3，
∴1＜＜2，
∵介于整数n和n+1之间，
∴n＜＜n+1，
∴n＝1，
故选：A．
【点评】此题考查实数大小的比较、算术平方根的性质、无理数近似值的估算等知识与方法，估计出及的近似值的范围是解题的关键．
5．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】加权平均数．
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁．
【解答】解：甲的平均成绩＝90×60%+90×40%＝90（分），
乙的平均成绩＝95×60%+90×40%＝93（分），
丙的平均成绩＝90×60%+95×40%＝92（分），
丁的平均成绩＝90×60%+85×40%＝88（分），
∵93＞92＞90＞88，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故选：B．
【点评】此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
6．（3分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108°B．120°C．126°D．132°
【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若AE＝3，则△BCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据作图过程可得MN是垂直平分BC，然后根据含30度角的直角三角形可得CD的长，进而可得△BCD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：MN是垂直平分BC，
∴DE⊥BC，点E是BC的中点，CD＝BD，
∵∠BAC＝90°，
∴BE＝CE＝AE＝3，
∴BC＝2CE＝6，
在Rt△CDE中，CD＝＝2，
∴BD＝CD＝2，
∴△BCD的周长为BD+CD+BC＝6+4，
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值（ ）
A．B．C．D．
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；圆周角定理．
【分析】延长AO交⊙O于点D，连接DB，然后根据题意，可以求得cs∠ADB的值，再根据圆周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，从而可以得到cs∠ACB的值．
【解答】解：延长AO交⊙O于点D，连接DB，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴cs∠ADB＝＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cs∠ACB的值是．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出∠ADB的余弦值．
9．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【解答】解：由题意得，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
10．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）
【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【分析】延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，利用点A的坐标可求得线段AD，OD，OA的长，由题意：△OA′D′≌△OAD，可得对应部分相等；利用OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，可得△A′OE为等腰三角形，可得OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1；利用△OED′∽△CEO，得到比例式可求线段OC，则点C坐标可得．
【解答】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，
∵A（1，2），
∴AD＝1，OD＝2，
∴OA＝．
由题意：△OA′D′≌△OAD，
∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．
则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，
∴△A′OE为等腰三角形．
∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．
∵EO⊥OC，OD′⊥EC，
∴△OED′∽△CEO．
∴．
∴．
∴OC＝2．
∴C（2，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
11．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．5xa+2by8与﹣4x2y3a﹣4b是同类项，则a+b＝﹣3
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为1：2
C．m、n是整数，若2m＝a，2n＝b，则2m+3n＝a+3b
D．的算术平方根是3
【考点】命题与定理．
【分析】根据同类项的概念，二元一次方程组的解法，正多边形与圆，幂的运算，算术平方根的定义，逐项判断即可．
【解答】解：A、由同类项的概念得：，
解得：，
则a+b＝，故此命题错误；
B、设正三角形的边长BC为2a，
设三角形ABC的外接圆圆心为O，连接OD，作AD⊥BC于D，则BD＝a，
∴OD＝＝＝a，
∵正四边形的边长为2a，
∴对角线长为：＝2a，
∴正四边形的外接圆半径为a，
∴边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为：：3，故此命题错误；
C、2m+3n＝2m•23n＝2m•（2n）3＝ab3≠a+3b，故此命题错误；
D、＝9，9的算术平方根是3，故此命题正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断，涉及同类项的概念，解二元一次方程组，正多边形与圆，幂的运算，算术平方根等代数与几何方面的知识，全面掌握这些知识是正确判断命题真假的前提．
12．（3分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形ABCD为平行四边形时．；④若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【考点】抛物线与x轴的交点；平行四边形的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，即可判断③正确；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，判断出④正确．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故③正确；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
二、填空题。（每空3分，共24分）
13．（3分）不等式组的最小整数解为 ﹣3 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．
【解答】解：，
解①得x≤2，
解②得x＞﹣4，
不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
不等式组的最小整数解为﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14．（3分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是 1.2 ．
【考点】方差；算术平均数．
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，
∴（10+9+a+12+9）÷5＝10，
解得：a＝10，
∴这组数据的方差是[（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）2]＝1.2．
故答案为：1.2
【点评】本题考查方差和平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（3分）化简：＝ 1 ．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式＝•（m+2）
＝
＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为 67.5° ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故答案为：67.5°．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△DAF≌△ABE，从而求出∠ADF的度数．
17．（3分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若AB＝8，四边形ADBF的面积为40．则AC＝ 10 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质；三角形的面积．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AD＝BD＝DC，易证△AEF≌△DEF，利用全等三角形的性质，可得出AF＝BD，进而可得出四边形ADBF是菱形，过点A作AM⊥BC于点M，根据四边形ADBF的面积为40及三角形的面积计算公式，可求出AC的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD＝DC．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形ADBF是菱形．
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示．
∵S菱形ADBF＝BD•AM＝40，
∴BC•AM＝S△ABC＝40，
又∵S△ABC＝AB•AC，AB＝8，
∴AC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、菱形的判定与性质以及三角形的面积，利用菱形及三角形的面积计算公式，找出菱形ADBF的面积与△ABC的面积相等是解题的关键．
18．（3分）如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，
∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
19．（3分）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 1+﹣π ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S⊃ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．
【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，
∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，
∴AD＝＝，BD＝AB＝，
∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠OBC＝75°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，CM＝OC＝＝1，
∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）
＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC
＝+×﹣﹣
＝1+﹣π．
故答案为1+﹣π．
【点评】此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．
20．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BM的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴＝，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴＝，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴＝，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴＝，
解得b＝，
即CN＝，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴＝，
∴＝，
解得BM＝，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题。（共60分）
21．（10分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 50 人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是 108° ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据B景点的人数和所占的百分比求出总人数，再用360°乘以A部分所对占的百分比，即可得出A部分所对应的扇形圆心角度数；
（2）用总人数减去其他旅游景点的人数，再补全统计图即可；
（3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出两位老师在同一个小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%＝50（人），
扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是：360°×＝108°；
故答案为：50，108°；
（2）C景点的人数有：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：
（3）根据题意有四种情形：AA，AB，BA，BB，其中两位老师在同一个小组的有2种情况，
则两位老师在同一个小组的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图．
22．（10分）我市为达成“移动5G乡乡通”的建设目标，截止2020年12月，全市范围内已成功建成5G基站429个．如图，在坡度i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小聪在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°，点A、B、C、D均在同一平面内．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度．
（2）求基站塔AB的高．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）过点C、D分别作AB的垂线，分别交AB的延长线于点F、E，过点D作DM⊥CF于M，由斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，再由勾股定理可求出答案；
（2）设DE＝12a米，由坡度表示BE，进而表示出CF，再证△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，然后由锐角三角函数定义列方程求出DE，进而求出AB．
【解答】解：（1）过点C、D分别作AB的垂线，分别交AB的延长线于点F、E，过点D作DM⊥CF于M，如图所示：
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得：CM2+DM2＝CD2，
即（12k）2+（5k）2＝132，
解得：k＝1（负值舍去），
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
∴D处的竖直高度为5米，
答：D处的竖直高度为5米；
（2）∵CF⊥AB，DE⊥AB，DM⊥CF，
∴四边形DEFM是矩形，
∴EF＝DM＝5米，DE＝MF，
斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，MF＝12a米，
∵∠ACF＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF＝CF＝CM+MF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）（米），
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，
∴≈，
解得：a≈，
∴DE＝12a≈21（米），AE＝7+12a≈28（米），BE＝5a≈（米），
∴AB＝AE﹣BE≈28﹣≈19（米），
答：基站塔AB的高约为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（10分）某旅游区的湖边有一个观赏湖中音乐喷泉的区域，该区域沿湖边有一条东西向的长为32m的栏杆．考虑到观景安全和效果，旅游区计划设置一个矩形观众席，该观众席一边靠栏杆，另三边用现有的总长为60m的移动围栏围成，并在观众席内按行、列（东西向为行，南北向为列）摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）旅游区库存的500张座椅是否够用？请说明理由．
【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）根据题意列出不等式60﹣2x≤32，则可得出答案；
（2）方法一：设观众席内的座位数为y，由题得y＝x（60﹣2x），其中14≤x＜30，其中x为整数，由二次函数的性质得出y的最大值为450，则可得出结论；
方法二：由题得观众席内座位数为x（60﹣2x），其中14≤x＜30，其中x为整数，因为x（60﹣2x）﹣500＝﹣2（x﹣15）2﹣50，所以x（60﹣2x）＜500，则可得出结论．
【解答】解：由题意可得每行的座椅数为：60﹣2x，
∵栏杆总长为32m，且每个座位为占地面积1m2的正方形，
∴60﹣2x≤32，
解得x≥14，
∴x的最小值为14；
（2）解法一：
设观众席内的座位数为y，
由题得y＝x（60﹣2x），其中14≤x＜30，其中x为整数，
所以 y＝﹣2x2+60x，
＝﹣2（x﹣15）2+450，
所以y的最大值为450，
因为450＜500，
所以库存的500张座椅够用．
答：旅游区库存的500张座椅够用．
解法二：
由题得观众席内座位数为x（60﹣2x），其中14≤x＜30，其中x为整数，
因为x（60﹣2x）﹣500＝﹣2x2+60x﹣500＝﹣2（x﹣15）2﹣50，
又因为﹣2（x﹣15）2≤0，
所以﹣2（x﹣15）2﹣50＜0，
所以x（60﹣2x）＜500，
所以库存的500张座椅够用．
答：旅游区库存的500张座椅够用．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠ABD＝30°，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：2AD2＝DE•AB；
（3）若BC＝1，求BF的长．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】（1）求出∠BDO＝90°，再根据切线的判定得出即可结论；
（2）先判断出△ADO∽△ABD，得出AD2＝AO•AB，再判断出DE＝2AO，即可得出结论；
（3）解直角三角形求出OD、根据勾股定理求出BD，连接DF，根据相似三角形的判定得出△BFD∽△BDE，得出比例式，再代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AO•AB，
∵DE是⊙O的直径，
∴DE＝2OA，
∴2AD2＝DE•AB；
（3）解：设OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝OC+BC＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝，
∴BE＝＝，
连接DF，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
即∠DFB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBF＝∠DBE，
∴△BFD∽△BDE，
∴，
∴，
解得：BF＝．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，作出辅助线构造出相似三角形是解（3）的关键．
25．（10分）已知△ABC中，点D、E分别在边AD、AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①试说明△ADB∽△AEC；
②若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，当DE∥AC时，若点E恰好落在BC边中点处，求的值；
③若∠ABC＝90°，AB＝CB，当点E恰好落在AB边上时，延长CE交BD于M，若BE＝2AE，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
【分析】①由DE平行BC，根据SAS得△ADE∽△ABC，由△ADE绕点A逆时针旋转，得∠DAB＝∠EAC，即可得△ADB∽△AEC；
②由△ADB∽△AEC，DE∥AC时得△BME∽△BAC，得S△BME：S△BCA＝（EB：BC）2＝，由E为BC的中点，∠ACB＝30°，S△ADB：S△AEC＝，S△ADB＝＝，S△CEM：S△ABD＝；
③由△ABC 是等腰直角三角形，得BA：BC＝1：，由△ADB∽△AEC，得AD：AE＝AB：AC＝1：，利用AA得△EMB∽△EAC，得＝．
【解答】①证明：∵DE∥BC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABC（SAS），
∴AD：AE＝AB：AC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC＝a，
∵AD：AE＝AB：AC，
∴△ADB∽△AEC
②解：点E恰好落在BC边中点处，∠BAC＝90°，
∴AE＝EC＝BE，
∵DE∥AC，
∴∠BME＝90°，
∴DE垂直平分AB，
∴△BME∽△BAC，
∴BM：AB＝BE：BC＝EM：AC＝1：2，
∴ME＝12CA，BM＝AM，
∵ME∥CA，BM＝AM，
∴S△EMC＝S△AME＝S△BME，
∵S△BME：S△BCA＝（EB：BC）2＝14，
设S△ABC＝1，则S△EMC＝S△BME＝1，（这个面积等于1/4）
∵E为BC的中点，
∴S△AEC＝S△ABC＝，
∵∠ACB＝30°，
∴tan∠BAC＝ABAC＝tan30°＝⎷33，
∵△ADB∽△AEC，
∴S△ADB：S△AEC＝1：3，
∴S△ADB＝1/3×1/2＝，
∴S△CEM：S△ABD＝3/2．
③解：∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BA：AC＝1：，
∵△ADB∽△AEC，
∴AD：AE＝AB：AC＝1：，
设AD＝a，则AE＝a，
∵BE＝2AE，
∴AB＝3a，
BE＝2a，
∴AB＝BC＝3a，
Rt△BEC中，EC＝＝＝a，
∵△ADB∽△AEC，
∴AD：AE＝AB：AC＝BD：EC＝1：，
∴BD＝EC＝a，
∵∠MEB＝∠AEC，∠MBE＝∠ECA，
∴△EMB∽△EAC，
∴EM：AE＝BE：EC，
∴EM＝＝＝a，
∴＝．
【点评】本题考查相似三角形和勾股定理应用，掌握相似的性质和判定是解题关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，联结AC、BC．
（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如果点P在抛物线上，CB平分∠ACP，求点P的坐标；
（3）如果点Q在抛物线的对称轴上，△DBQ与△ABC相似，求点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A（1，0），B（3，0）两点的坐标代入函数解析式y＝ax2+bx﹣3，利用待定系数法即可求解；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，过点C作CE⊥y轴，垂足为C，交PH于点E，则HE⊥CE，∠OCE＝90°，由OB＝OC＝3可得∠OBC＝∠OCB＝45°，由CB平分∠ACP可得∠ACO＝∠PCE，求出tan∠ACO＝，得tan∠ACO＝tan∠PCE＝＝，设P（x，﹣x2+4x﹣3），即可求解；
（3）可得∠BDQ＝∠CBA＝45°，分两种情况，①当∠DBQ＝∠BCA时，②当∠DBQ＝∠BAC时，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）把点A（1，0），B（3，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点D的坐标为（2，1）；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，过点C作CE⊥y轴，垂足为C，交PH于点E，
∴HE⊥CE，∠OCE＝90°，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCE＝45°，
∵CB平分∠ACP，
∴∠ACB＝∠PCB，
∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCE﹣∠BCP，
∴∠ACO＝∠PCE，
∵tan∠ACO＝＝，
∴tan∠ACO＝tan∠PCE＝＝，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），
∴PE＝3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+4x，CE＝x，
∴，解得x＝0（舍去）或，
∴点P的坐标为（，﹣）；
（3）如图：设对称轴于x轴交于点M．
∵顶点D的坐标为（2，1），
∴BM＝DM＝1，
∴∠BDQ＝∠CBA＝45°，BD＝，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝2，BC＝＝3．
①当∠DBQ＝∠BCA时，△DBQ∽△BCA．
∴，即，
∴DQ＝，
∴QM＝DM﹣DQ＝1﹣＝，
∴Q的坐标是（2，）；
②当∠DBQ＝∠BAC时，△DBQ∽△BAC．
∴，即，
∴DQ′＝3，
∴Q′M＝DQ′﹣DM＝3﹣1＝2，
∴Q′的坐标是（2，﹣2）；
∵∠BDN＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，
∴∠BDN≠∠BAC．
∴点Q不可能在MD的延长线上，
综上所述，Q的坐标是（2，）或（2，﹣2）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，考查待定系数法求函数的解析式、二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，利用分类思想是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
10．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
11．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
16．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
21．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
25．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
26．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
27．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
28．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
29．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
30．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
31．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
32．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
33．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
34．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
35．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
36．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
37．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
38．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
39．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
40．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
41．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
42．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
43．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
44．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
45．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
46．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
47．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
48．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
49．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
50．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
51．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
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实用性
90
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95
85
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