河南省名校联盟2024届高三下学期4月教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省名校联盟2024届高三下学期4月教学质量检测数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知点 P是圆 C ，过双曲线 C，已知抛物线Γ等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若 a+2i2-3i为纯虚数,a∈R,则a=
A.3 B.4 C.-3 D.-4
2.设集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},若A⊆B,则a=
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为π/2的扇形，则该圆锥的母线长为
A. 52 B.3 C. 72 D.4
4.已知函数 fx=2sin2x-π3cs2x+π3,则下列结论正确的是
A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)在( -π8π4上单调递增
C. f'(x)为偶函数 D. f(x)的最小值为 32
5.已知点 P(m,n)是圆 C :x²+y²=8上的任意一点，则( m-n214m+n2+1的最大值为
A.25 B.24 C.23 D.22
6.过双曲线 C.x24-y2=1的左焦点 F₁ 作倾斜角为θ的直线l交C于M，N两点，若 MF1=3F1N,则|csθ|=
A.1010 B.31010 C.255 D.55
7.将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为
A.56 B.84 C.126 D.210
8.已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x+1)f(y),且 f(0)=2，则下列结论错误的是
A. f(1)=1 B. f(x)为偶函数
C. f(x)是周期函数 D.f10=1512
二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2023年7 月 31日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)，如下图所示：
下列说法正确的是
A.从2023年1月到 2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第75 百分位数为51.9%
B.从 2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为3.8%
C.从 2022年7月到 2023年7月,制造业采购经理指数(PMI)呈下降趋势
D. PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到 2023年3月，经济处于扩张活跃的状态
10.已知抛物线Γ: y²=16x,,过点 N(6,0)作直线l₁,l₂,直线l₁与Γ交于A,C两点,A在x轴上方,直线l₂与Γ交于B,D 两点,D在x轴上方,连接AB,CD,AD,BC,若直线AB过点M(2，0)，则下列结论正确的是
A.若直线AB 的斜率为1，则直线CD的斜率为 13
B.直线CD过定点(18,0)
C.直线AD 与直线BC 的交点在直线x=-4上
D.△ABN 与△CDN的面积之和的最小值为 1602
11.已知定义在R上的奇函数 f(x)连续,函数f(x)的导函数为f'(x).当x>0时,.f'(x) csx >fxsinx+e⋅f'x,，其中e为自然对数的底数，则
A. f(x)在R上为减函数
B.当x>0时,f(x)f3π2
D.∫(x)在 R上有且只有1个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,若( aₙ=λn+1,a₁₀=21,则 λ=.
13.太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2 的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O 且两端点M，N 分别在两个半圆弧上，点P 是大圆上一动点，则 PM⋅PN的最小值为 ▲ .
14.已知正四棱台. ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径 r=22,AB=2A1B1,则异面直线 A₁B₁与 DD₁所成角的余弦值为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a, b,c, a=2,55sinA=1-csA.
(1)求 cs A;
(2)若AD为△ABC的中线,且. AD=3,,求△ABC的面积S.
16.(15分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,且 ∠ABC=π3,,平面 PAC⊥平面AB-CD. F为PA的中点,且CF=PF,PC=4,BC=2,PB=PD,M,N分别为PB,PD的中点.
(1)证明:BD⊥AC.
(2)设DM交平面 NAC于点 H,求平面ABC与平面ABH夹角的余弦值.
17.(15分)
某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习 APP”学习的时长(单位:小时):35,43,90,83,50,45,82,75,62,35.时长不低于 80 小时的教师评为“研修先进个人”.
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率.
(2)若该市所有教师的学习时长 X 近似地服从正态分布 Nμσ²,其中 σ=10,μ为抽取的 10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则n为何值时,P(ξ=10)的值最大?
附：若随机变量 X 服从正态分布N(μ,σ²),则.P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ--2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18.(17分)
如图所示，在圆锥内放入两个球O₁，O₂，它们都与圆锥的侧面相切(即与圆锥的每条母线相切)，且这两个球都与平面α相切，切点分别为 F₁，F₂，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，F₁，F₂为椭圆Γ的两个焦点.设直线 F₁F₂分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球O₁，O₂相切于 C，D 两点，已知|AC|= 2-3,|AD|=2+3.以直线 F₁F₂为x轴，在平面α内，以线段 F₁F₂的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线x=4上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接AM，BN，设直线AM与BN交于点P.证明:点 P 在直线x=4上.
19.(17分)
已知b>0,函数 f(x)=(x+a) ln(x+b)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0.
(1)求a,b的值;
(2)若方程 fx=1e(e为自然对数的底数)有两个实数根x₁，x₂，且. x₁hx₂,故x₂'>x₂①. ………13分易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为g(x)=-x，
令T(x)=f(x)-g(x)=(x-1) ln(x+1)+x,
则 T'x=2xx+1+lnx+1=2-2x+1+lnx+1,易知T'(x)在(--1,+∞)上单调递增.…………………………………………14分
又 T'0=0,,所以当x∈(-1,0)时, T'xgx₁,所以 x₁'