安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了分式方程的解是，已知实数满足，已知二次函数与，规定等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．的倒数是（ ）
A．2B．C．D．
2．新华社权威发布，2023年我国电影票房总收入约550亿元，观影人次约13亿人次，数据550亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图的几何体是圆柱的正中央挖去一个小圆柱形成的一个空心几何体，其主视图为（ ）
第3题图
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
6．某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（ ）
第7题图
A．B．C．D．
8．已知实数满足：，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的高，相交于点，点分别是AB，AC上的动点，连接FP，PQ，若，则的最小值是（ ）
第9题图
A．B．C．D．
10．已知二次函数与，规定：．下列结论：①关于的函数图象关于直线对称；②若直线与关于的函数图象有2个交点，则的取值范围是；③当时，随的增大而减小；④点在关于的函数图象上，若，则．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．因式分解：______．
12．如图，的半径为是的弦，若，则的长为______．
第12题图
13．如图，四边形是正方形，点的坐标分别为，点是的中点，直线交轴于点，交双曲线于点，连接，若，则的值是______．
第13题图
14．赵爽弦图是由标号为①、②、③、④的四个全等的直角三角形和标号为⑤的正方形构造而成，如图1，利用此图可以证明勾股定理．
（1）在图1中，，则的长是______；
（2）将图1的四个直角三角形进行变形，使③、④的三角形是等腰直角三角形，，如图2．若，则的值是______．
第14题图
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出线段（端点，是格点）和过格点的直线．
（1）画出关于直线对称的线段，使与与为对称点；
（2）在（1）的条件下，将线段进行某种平移，使平移后的对应点为，的对应点为，以为邻边作，画出．
第16题图
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．鑫鑫商贸销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲每台的实际售价比进价提高了，乙每台的实际售价比进价提高了，甲进价比乙高100元/台，甲实际售价比乙高70元/台，求甲、乙每台进价各是多少元？
18．小山顶建造的风力发电机的主塔的高为120米，在山脚测得塔顶的仰角，山坡的坡比为，求小山的高度．（精确到1米，参考数据：）
第18题图
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点是射线上一点，于，交于．
第19题图
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：．
20．乐高是开发动手能力的一门课，思睿同学用乐高玩具搭建了一些边长为1的小正方形和等边三角形的“城堡”图形．
观察图形，回答下列问题：
（1）图1的周长为12，图2的周长为19，图3的周长为26，图4的周长为______，，图的周长为______；
（2）我们把小正方形和等边三角形统称为“基本图形”，图1有6个基本图形，图2有12个基本图形，图3有20个基本图形，猜想：图5有______个基本图形；
（3）若图中的小正方形的个数比三角形的个数多90个，求的值．
六、（本题满分12分）
21．为了激发学生参与劳动的热情，某校开设了以“端午”为主题的手工课程：制熏香、制糕点、做香囊和包粽子．要求每位学生选择一门进行学习，数学兴趣社同学随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的条形和扇形统计图如下．四门课修完后，学校开展包粽子大赛，七、八、九年级各选10人参加比赛，得分情况如下所示．
参赛选手的得分（满分10分）记录如下：
七年级：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10
八年级：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10
九年级：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10
请根据上面的信息回答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图；
（2）参赛的30名同学得分的众数是______，______年级参赛选手得分的中位数最大，九年级参赛10名同学得分的方差是______；
（3）本校共有900名学生，“制糕点”课周三下午安排在食堂中，食堂的每张餐桌可安排6人学习制作，试估计上“制糕点”课大约需要安排多少张餐桌？
七、（本题满分12分）
22．在矩形中，分别是边的中点，点是上一点，连接，将沿翻折得到．
第22题图
（1）如图1，若点在上，求的度数；
（2）的平分线交于点，连接恰好平分．
①如图2，求证：；
②如图3，若点与重合，的延长线交于点，求的值．
八、（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴．
第23题图
（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标；
（3）已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值．
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
8．B 由得，，
∴选项A正确；由得，，代入得，
，
选项B错误；选项C正确；，两边同除以，，选项D正确．
9．D 如图，作点关于的对称点，连接，则垂直平分，
．
，
，
，当点共线且时，最小，此时为的长，
的最小值是．
第9题答案图
10．C 如图1，两函数的图象相交于和，当或时，，当时，关于的函数图象如图2，由图象可知①是正确的；直线与关于的函数图象有2个交点，则的取值范围是或，②是错误的；由图象得，③是错误的；关于函数图象关于直线对称，点关于直线的对称点也是图象上的点，，当时，随的增大而增大，④是正确的．故有2个结论是正确的．故选C．
第10题答案图
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 12．
13．4 如图，作轴于点点是的中点，点的坐标为，易求直线的解析式为：，
，把代入得，即点．
第13题答案图
14．（1）6 （2）
（1）设，则，在中，，即，解得（舍去），；
（2）设，则都是等腰直角三角形，
，
，
，
，即（负值舍去），
．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式，
当时，原式．
16．解：（1）如图，就是所画的图形；
（2）如图，就是所画的图形．
第16题答案图
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：设乙进价为元/台，则甲进价为元/台，可列方程为
，解得，
答：甲的进价为600元/台，乙的进价为500元/台．
18．解：如图，延长交于点，则，在中，，斜坡的坡比为，即，设，则．
在中，，
，即，解得，
答：小山的高度约是40米．
第18题答案图
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）如图，连接是的切线，
，；
（2）如图，作于点．是的切线，，
即，
，
，
，
是的直径，，
，
．
第19题答案图
20．解：（1）33，； （2）42；
（3）由题意知，图有个等边三角形，个小正方形．令，解得或（舍去），所以的值是9．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）60，补全条形统计图如图所示；
（调查学生的人数为（人），此时包粽子的人数为（人），制糕点的人数为（人））
（2）8，七，1.2；
（观察这30人的得分，得分为8的次数最多，有11次，这30个数据的众数为8；七年级参赛选手得分的中位数为8.5，八、九年级参赛选手得分的中位数为8，七年级参赛选手的中位数最大；
九年级参赛选手的得分的平均数为，
方差为．）
（3），答：“制糕点”课大约需要安排45张餐桌．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）连接．在矩形中，是边的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，即垂直平分，由翻折可知，是等边三角形，；
（2）①证明：，
，
，
，
；
②作的延长线于点，
，
由①可知，即，
，
，
．
（也可作于点）
第22题答案图
八、（本题满分14分）
23．解：（1）把代入，得，解得抛物线的函数解析式为顶点的坐标为；
（2）设，则，当时，，解得；
（3）延长交轴于．设，在中，，即
，解得．设直线的解析式为，代入
，得，解得的解析式为，联立，解得（舍去），，．
第23答案图
以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
A
D
B
B
D
C