广西贺州市昭平县部分学校2024届高三下学期一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
与互为共轭复数，
所以.
故选：D.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化抛物线方程为标准形式，再写出准线方程即可.
【详解】抛物线，即，所以抛物线的准线方程为.
故选：A
3. 已知m，n为不同的直线，为不同的平面，若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由给定条件可得，再利用面面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得，
若，则或，“”不是“”的充分条件；
若，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，而，
于是，又，因此，即“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知等比数列的公比，且数列是一个递减的数列，则的值可以为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，写出等比数列的通项，再分类探讨数列单调性即可得解.
【详解】等比数列的公比，则，显然是递增的，
当时，数列是递增的，不符合要求；
当时，数列是递减的，符合题意，则恒成立，
所以的值可以为.
故选：C
5. 已知为第二象限角且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式求解即得.
【详解】由为第二象限角，得，由，得，
所以.
故选：C
6. 某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，且使用寿命不少于1200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概率为0.9．第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1000小时的概率为0.6且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布求出第一批电子元件的使用寿命不少于1000小时的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，，则，
由正态分布的对称性知，使用寿命X的期望，则，
所以在1000小时内这两个元件都能正常工作概率为.
故选：B
7. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征得出过A，B，C三点的截面图形，由面积求出原正方体的棱长，进而求出外接球半径即可得解.
【详解】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形，
设原正方体棱长为，则正六边形边长为，其面积为，解得，
因此原正方体的棱长为，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径为该点到点的距离，所以外接球的表面积为.
故选：D
8. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆，圆心为，半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，的最小值为：，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某同学记录了连续5天的平均气温．已知这组数据均为整数，中位数为19，唯一众数为21，极差为4，则（ ）
A. 该组数据中最小的数据可能为16B. 该组数据的平均数大于19
C. 该组数据的第70百分位数是21D. 将该组数据从小到大排列，第二个数字是18
【答案】BCD
【解析】
【分析】由中位数、极差、众数的定义求出该组数据从小到大为，再对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由题意设该组数据从小到大为，
则，因为极差为4，所以，所以，
对于A，该组数据中最小的数据为，故A错误；
对于B，该组数据从小到大为，因为这组数据均为整数，则，
该组数据的平均数为：，故B正确；
对于C，该组数据的第70百分位数为：，
故该组数据的第70百分位数为第四个数即，故C正确；
对于D，该组数据从小到大为，第二个数字是18，故D正确.
故选；BCD.
10. “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C.
D. 过点作垂直的延长线于H，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.
【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得，
于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确.
B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误.
C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确.
D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，因此.故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 为增函数
C. 若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先令，求出，再令，即可判断A；令，结合已知判断的符号，即可判断B；根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性即可判断D.
【详解】对于A，令，则，所以，
令，则，所以，
所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，
又因为当时，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又是奇函数，且，
所以函数为增函数，故B正确；
对于C，由，得，
所以，解得，故C错误；
对于D，，
即，故D正确
故选：ABD
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若集合，则集合__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合，再根据并集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故答案为：.
13. 已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为______
【答案】
【解析】
【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
14. 已知函数，且，将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的值域，由给定不等式求出，求出的图象平移后的函数解析式，作出图形，数形结合求解即得.
【详解】依题意，函数的值域为，的值域为，
由，得，且，解得，
，将的图象向右平移个单位长度后，
得，在同一坐标系内作出函数的图象，
观察图象知，，取中点，连接，由对称性知，，
由，得，即，，
由，得，则，
解得，于是，则，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决两个正余弦型函数图象交点问题，利用诱导公式化成同名函数，作出对应图象是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 随着近年来的生活质量提高，饮食结构改变，生活压力增加，中青年人也逐渐成为动脉粥样硬化性心血管疾病的高危人群．血脂异常是的重要危险因素之一，有效控制血脂异常，对防治具有重要意义．某公司计划研究一种新的降脂单抗药物，药物研发时，需要对志愿者进行药效实验．该公司统计了800名不同年龄的志愿者达到预期效果所需的疗程数，得到如下频数分布表：
把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，疗程数低于5次的为效果明显，不低于5次的为效果不明显．
（1）补全下面的列联表．
（2）判断以35岁为分界点，根据小概率值的独立性检验，能否认为治疗效果与年龄有关．
参考公式：．
附表：
【答案】（1）答案见解析
（2）能认为
【解析】
【分析】（1）根据题意求出相关数据，进而可得出答案；
（2）根据公式求出，再对照临界值表即可得解.
【小问1详解】
由题意，效果不明显的青年有人，
效果明显的青年有，
效果不明显的中年有，
效果明显的中年有，
故列联表如下：
【小问2详解】，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为治疗效果与年龄有关．
16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）选择条件①②③，利用等比数列的通项公式及前n项和列出方程，求出首项、公比即可得解.
（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列n项和公式计算即得.
【小问1详解】
由是递增的等比数列，，得数列的公比，且，
选择条件①，，则，即，于是，
所以的通项公式是.
选择条件②，，即，由，解得，
所以的通项公式是.
选择条件③，，则，
而，解得，即有，
所以的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
17. 已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若关于x的方程有且只有一个解，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，
在上是增函数.
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导函数的正负得出函数的单调区间；
（2）关于x的方程有且只有一个解，令，求出的单调区间，即可求解.
【小问1详解】
对函数求导可得：
，
因为，则，
所以由可得，
解得或，
所以当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数.
【小问2详解】
因为关于x方程有且只有一个解，即，
也即，令，
则是减函数，
因为，所以函数在上是增函数，在上是减函数，
又因为当时，；；当时，；
所以实数的取值范围为或.
18. 某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，E为弧的中点．
（1）证明：平面．
（2）直线与所成角的余弦值为．
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，利用向量共线证得线面平行.
（2）由（1）的坐标系，利用已知求出，进而求出平面的法向量，再求出线面角的正弦；求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
设上下底面圆的圆心分别为，连接，在底面内过点作，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
由，得，
则，显然，即，
而点不在直线，于，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
（i）由（1）知，，则，
由直线与所成角的余弦值为，得，解得，
则，而，设平面的法向量，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）由（i）知，平面的法向量，，
设平面的法向量，则，令，得，
于是，显然二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
19. 已知O为坐标原点，点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点P的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）过点作斜率分别为的直线，其中交于点C，D两点，交于点E，F两点，且M，N分别为的中点，直线与直线l交于点Q，若的斜率为，证明为定值，并求出该定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，化简可得结果；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，由斜率公式求出Q点坐标，从而求出，证明为定值可得结果.
【小问1详解】
设点，根据题意，得到，化简得，
即的轨迹方程为.
【小问2详解】
设，联立，
化简得，
设，依题意，
则，M为的中点，所以，
设，同理可得，
因为直线与直线l交于点Q，设，所以，
即，化简得，
，所以，所以，
故为定值，并该定值为.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、斜率公式、向量数量积、向量平行与垂直等进行转化求解.1次
40
50
50
90
次
100
60
100
50
次
61
75
55
43
10次以上
7
7
5
7
效果
年龄
合计
青年
中年
效果不明显
效果明显
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
效果
年龄
合计
青年
中年
效果不明显
效果明显
合计