2023-2024学年广东省深圳第三高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳第三高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=4+3i1+i，其中i为虚数单位，则z+z−=( )
A. iB. 7iC. 7D. 1
2.设e为单位向量，|a|=2，当a,e的夹角为π6时，a在e上的投影向量为( )
A. 3eB. eC. 12eD. 32e
3.在△ABC中，a=2 3,b=2,B=π6，则A=( )
A. π3B. π6或5π6C. 2π3D. π3或2π3
4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，3ED=2AD，则BE=( )
A. −56AB+16ACB. −16AB−56ACC. −56AB−16ACD. −16AB+56AC
5.在△ABC中，2csin2A2=c−b(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状可能是( )
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
6.在复数范围内方程x2+4x+5=0的根为( )
A. −5和1B. −1和5C. 2±iD. −2±i
7.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为km．( )
A. 15B. 30 6C. 15 6D. 30 2
8.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=3EC，AE⋅BD=−12，则AF⋅BE的最大值为( )
A. 0B. 23C. 43D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知|a|=1，|b|=2，则下列说法正确的为( )
A. 若a⊥b，则a⋅b=0
B. 若a/​/b，则a与b的夹角为0°
C. 若a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量为a
D. |a+b|的取值范围为[0,3]
10.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若z∈R，则z=z−B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2+1=0，则z=iD. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2](S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边).现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3： 7，且△ABC的面积S△ABC=6 3，则下列结论正确的是( )
A. △ABC的周长为10+2 7B. △ABC的三个内角满足A+B=2C
C. △ABC的外接圆半径为4 213D. △ABC的中线CD的长为3 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，sinA：sinB：sinC= 3：4： 31，则A+B−C= ______．
13.已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|= 3，且b⊥(a−b)，则向量a与b的夹角的大小为______．
14.已知复数z满足|z|=1，则|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1．
16.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为π3．
(1)求(a+2b)⋅b；
(2)若(2a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量m=( 3,−sin A) ，n=(a,2c) ，且m→⊥n→ ．
(1)求C ；
(2)若c=2 3 ，且a+b=6 ，求a ，b 的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°，求∠ARB的余弦值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB．
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=4+3i1−i=(4+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+72i，
故z=12+72i，z−=12−72i，z+z−=1．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：e为单位向量，|a|=2，当a,e的夹角为π6时，
所以a在e上的投影向量为a⋅e|e|⋅e=|a|csπ6⋅e= 3e．
故选：A．
根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，由a=2 3,b=2，可得a>b，可得A>B，
又由正弦定理，得 3sinA=1sinπ6，可得sinA= 32，所以B=π3或B=2π3．
故选：D．
根据题意，结合正弦定理，列出方程，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由3ED=2AD，可得2AE=ED，所以AE=13AD，
因为AD为BC边上的中线，可得AD=12(AB+AC)，所以AE=16(AB+AC)，
所以BE=AE−AB=16(AB+AC)−AB=−56AB+16AC．
故选：A．
可得AE=16(AB+AC)，结合BE=AE−AB，即可求解．
本题考查向量的线性运算，考查三角形法则，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由已知sin2A2=c−b2c，得1−csA2=c−b2c，即csA=bc，
由正弦定理可得：csA=sinBsinC，
所以csAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
得csCsinA=0，
在△ABC中sinA≠0，所以csC=0，
又0