内蒙古名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份内蒙古名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，从6人，设数列的前项和为，，，则，已知，若，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.
1.在数列中，，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知某社区门口有8个停车位，甲、乙各开一辆汽车同时到该社区办事，则两辆车不同的停放方法有（ ）
A.15种B.56种C.28种D.64种
3.已知函数，则（ ）
A.B.1C.D.2
4.在高台跳水运动中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水面的高度（单位：米）满足关系式，若时，的平均变化率是米/秒，则在时的瞬时变化率是（ ）
A.米/秒B.15米/秒C.米/秒D.25米/秒
5.从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ）
A.60种B.80种C.90种D.150种
6.已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.在的展开式中，形如的所有项的系数之和是（ ）
A.256B.C.1512D.
8.某企业2023年的电力消耗为千瓦时，由于设备更新，该企业计划从今年（2024年）开始，每年比上一年的电力消耗减少，则该企业当年的电力消耗不超过千瓦时的最早的年份是（参考数据：，）（ ）
A.2031年B.2030年C.2029年D.2028年
二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设数列的前项和为，，，则（ ）
A.B.
C.对任意的，，D.对任意的，
10.已知，若，则（ ）
A.B.
C.D.
11.已知函数，，若对任意的成立，则的取值可能是（ ）
A.1B.C.3D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，含的项的系数是______.
13.某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有______种.
14.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列.若为1阶等比数列，且，，则______；若数列是2阶等比数列，且，，，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
甲、乙等6名同学周末参加环保活动，活动结束后他们站成一排拍照留念.
（1）求甲、乙相邻的不同站法种数；
（2）求甲、乙都不站两端的不同站法种数.
16.（15分）
设正项等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有3个零点，求的取值范围.
18.（17分）
设数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）求；
（3）若对任意的，成立，求的取值范围.
19.（17分）
已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：对一切，都有.
高二数学考试参考答案
1.D 因为，所以，则，.
2.B 甲车停放的方法有8种，乙车停放的方法有7种，由分步计数原理可得两辆车不同的停放方法有种.
3.A 由题意可得，则，解得.
4.C 由题意可得，解得，则，从而，故.
5.B 甲被选中时，不同的选派方案有种；甲没被选中时，不同的选派方案有种.故满足条件的不同的选派方案有种.
6.A 因为，所以.当时，.因为在上无极值，所以在上恒成立，当时，.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故.当时，，则.综上，.
7.D 形如的所有项，即展开式中的所有项，令，得的所有项的系数之和是.
8.C 记2024年为第1年，则该企业第年的电力消耗为千瓦时.由题意可得，则，即，即，则，即2029年开始，该企业当年的电力消耗不超过千瓦时.
9.ACD 因为，所以，所以是公差为1的等差数列.因为，所以，所以，所以，，则，，，故A正确，B错误.由，得，所以，则C正确.由等差数列的性质可得，，成等差数列，则，故D正确.
10.ABD 令，得，解得，则A正确.令，得，令，得，则，故B正确.展开式的第项，则，故C错误.令，则.设，则.令，得，则，故D正确.
11.AB 由题意可得，则，即.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，故.
12.84 的展开式的第项.令，得，则.
13.59 第一种情况：小明参加了足球兴趣班和篮球兴趣班，共有种方案.第二种情况：小明只参加了一种球类兴趣班，共有种方案.故小明参加兴趣班的不同方案有种.
14.（或）； 因为为1阶等比数列，所以，所以为正项等比数列.设数列的公比为，则解得故.因为是2阶等比数列，所以，所以.因为，，所以，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，，，，…，是首项为2，公比为2的等比数列，则.
15.解：（1）甲、乙相邻的站法有种.
（2）第一步：确定甲、乙两人的位置，有种.
第二步：确定其他4人的位置，有种.
故甲、乙都不站两端的不同站法有种.
16.解：（1）设的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
即，即，
解得或.
因为，所以，
则.
（2）由（1）可得,
则
.
17.解：（1）由题意可得.
令，得或
当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为有3个零点，所以.
当时，，，
解得；
当时，，，
则，解得.
综上，的取值范围是.
18.解：（1）因为，所以，所以，
因为，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
故.
（2）由（1）可得，①
则，②
由①-②，得，
即，
故.
（3）因为，所以.
当为奇数时，对任意的，恒成立，则；
当为偶数时，对任意的，恒成立，则.
综上，的取值范围是.
19.（1）解：由题意可得，
则，.
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得.
（2）证明：设，，
则.
设，则.
易证是上的增函数，且.
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，
所以存在唯一的，使得，
则当时，，当时，，
故在与上单调递增，在上单调递减.
因为，，所以在上恒成立，
当或时，等号成立，即对一切，都有.