苏科版七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解课时训练

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1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、多项式的因式分解➽➼因式分解的判定
1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
举一反三：
【变式1】检验下列因式分解是否正确．
9b2－4a2＝(2a＋3b)(2a－3b)； （2）x2－3x－4＝(x＋4)(x－1)．
【答案】（1）不正确． （2）不正确．
【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确.
解：(1)∵(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2≠9b2－4a2，∴因式分解9b2－4a2＝(2a＋3b)(2a－3b)不正确．
(2)∵(x＋4)(x－1)＝x2＋3x－4≠x2－3x－4，∴因式分解x2－3x－4＝(x＋4)(x－1)不正确．
【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键.
【变式2】辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.
（1）；
（2）；
（3）
【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆
【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；
（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断；
（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.
解：（1）∵
∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；
（2）∵
∴原式错误，原因是公因式没有提完；
（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式
∴是整式乘法运算，不是因式，
∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆
【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.
类型二、多项式的因式分解➽➼已知因式分解结果求参数
2．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
【答案】，
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．
解：∵，小明看错了b，
∴，
∵，小张看错了a，
∴，
∴，．
【点拨】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．
举一反三：
【变式1】若是的一个因式，求的值．
【答案】
【分析】设另一个因式为，则有，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m、n值即可求解．
解：设另一个因式为，
则有，
即，
∴，，
∴，．
【点拨】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．
【变式2】已知有因式，求a的值，并将其因式分解．
【答案】，原式
【分析】首先根据题意“有因式”，可得出，进而得出当时，，然后把代入，即可算出的值，然后把的值代入，即可得到，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果．
解：∵有因式，
∴，即，
∴时，，
∴把代入，
可得：，
解得：，
∴把代入，
可得：，
∴
．
【点拨】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解．
类型三、多项式的因式分解➽➼公因式➽➼提取公因式
3．已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【答案】有公因式;公因式为(x+2)
【分析】分别将多项式A=3x2-12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解：多项式A、B、C有公因式，
∵A=，
B=，
C=
∴多项式A、B、C的公因式是：
【点拨】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键.
举一反三：
【变式1】多项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对多项式 与进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
解：∵，
，
∴ 与 的公因式为 ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
【变式2】下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【分析】将每一组因式分解，找公因式即可
解：A.，，有公因式，故不符合题意；
B.，，没有公因式，符合题意；
C.，，有公因式，故不符合题意；
D. 与有公因式，故不符合题意；
故选：B
【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键
4．因式分解：
；(2) ；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）用提公因式法解答；
（2）用提公因式法解答．
（1）解：原式
（2）解：原式
【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】把下列多项式因式分解：
；(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
【变式2】因式分解：．
【答案】
【分析】用提公因式法分解因式即可．
解：．
【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是准确找出公因式．